3．位能增量 dE位
dE位 dm2 gH2 dm1 gH1
dm( H 2 H1 ) g
（三）能量方程 根据能量守恒与转换定律，加给体系的能量应
等于体系能量的增量。故
dQ dW dm( p1v1 p2 v2 ) dW损
dW 2 (C 2 C12 ) dm (u 2 u1 ) dm ( H 2 H 1 ) g 2
(二)体系能量的增量 气体所含能量有三种形式：动能、内能和位能。故 体系能量的增量应为这三种能量增量之和。 1．动能增量dE动
2 dm2 C2 dm1C12 dE动 2 2 dm 2 (C 2 C12 ) 2
2．内能增量 dE内
dE内 dm2u2 dm1u1
dm(u 2 u1 )
C C q外 (i 2 i1 ) 2
2 2 2 1
上式即为1千克流动气体的能量方程。由于此方程包 含了焓，故又称为焓方程。由焓方程知：外界加给气 体的热量和机械功，用于增大气体的动能和焓。 所以1千克气体的能量方程式可综合成
2 2 C2 C1 q外 dw (i2 i1 ) 2
d (mC u · r) dt
d (mCu r ) dm2C2u r2 dm 1C1u r 1
将上式代入动量矩定律数学表达式得
(C2u r2 C1u r1 ) M m
该式即为流动气体的动量矩方程。它表明，作用于 控制体内气体上外力的合力对任一轴线之力矩，等 于每秒钟内流出和流入该控制体内气体对同一轴线 的动量矩之差。
A dA , p dp )( A dA) ( p dp )dA 2
展开上式右边并略去二阶小量可得
Ps Adp
则有
（C2s C1s） (C2 C1 ) JZm dC Ps m m
§2—3 能量方程
能量方程是能量守恒和转换定律应用于流动气 体所得到的关系式。它表达了气体在流动过程中 能量的转换情形。 一、能量方程的推导 能量守恒和转换定律告诉我们：对一确定的体 系，加入的能量应等于体系能量的增量。据此， 我们可以推导出能量方程。控制体和体系的选取， 如图2—2—6所示。
(一)对体系加入的能量 1．热量 dQ 一般对气体加热有两种方式：从外界对气体加热如 在气流中燃烧燃料)，加热量用 dQ 表示； 外 从内部加热，即损失功转变成热加给气体，加热量用 dQ 表示。对气体加入的总热量为 内
所以得到
(C2 x C1x ) Px m
上式表明，单位时间内经截面2流出的动量和经截面1流 入的动量之差，等于控制区边界作用在两截面1、2之间 这块流体上的外力。该外力可由控制区边界给流体的分 布压力积分而来，重力可忽略不计。
二、动量方程的应用
沿图2—2—3中流管的S轴取一微段，设截面a的面积 为A ，压强为p，流速为C ，截面b的对应量分别为
dQ dQ外 dQ内
2．机械功 dW
dW 为体系中叶轮旋转对气体所作的功。 3．推动功 dW12
dW12 dm( p1v1 p2 v2 )
4．损失功 dW损
dW损是指各种流动损失所消耗机械能的总和。损 失功总是负值。
对体系加入的总能量为
dQ dW dm( p1v1 p2 v2 ) dW损
( 2C2 A2 dt)C2 x ( 1C1 A1dt)C1x m(C2 x C1x dt)
式中 m 1C1 A1 2C2 A2 是质量流量。 设流体所受控制区边界给它的作用力的合力在X轴 方向的分量为P，则其微元冲量为 Px dt 根据动量定理有：
。
x
(C2 x C1x )dt Px dt m
动量方程和动量矩方程 能量方程
介绍动量方程、动量矩方程 能量方程及其应用 三个方程的应用
动量方程和能量方程的应用 2/24
§2—2 动量方程和动量矩方程 一、动量方程 动量定理应用到流体的运动。取图2— 2—2所示的由流管两个横截面1、2和该两 截面之间流管的侧表面组成控制区，以该 区内的流体作为研究对象。设经时间后， 这块流体流到一个新的位置。计算这块流 体在单位时间内动量的变化。由于是定常 流，在之间流体的动量不变，因而所研究 的流体的动量变化就等于和这两块流体动 量之差。注意到动量是向量，则很容易写 出动量变化量在X坐标方向的投影为
CAdC
故
dp CdC
该式表明，气流沿流管作增速运动时，其压强必然 要降低；反之，减速时压强必然要升高。
三、动量矩方程 从力学中知道，作用于物体上外力的合力对任一 轴线之力矩，等于该物体对同一轴线之动量矩随时 间的变化率，即动量矩定律，其数学表达式为
M
将这一定律应用于流动气体，就可得到一维定常流的 动量矩方程。设有一维定常管流，控制体和体系取法 如图2—2—5所示。由于流场是定常的，区域 1 2 段内气体动量矩不变，气体动量矩的变化量等于区域 1 1和 2 2 段内气体动量矩之差，即
C2 dq外 dw d ( ) di 2
图 2-2-2