北 京 交 通 大 学2009~2010学年第一学期概率论与数理统计期末考试试卷(A 卷)答案一.(本题满分8分)某城市有汽车100000辆,牌照编号从00000到99999.一人进城,偶然遇到一辆车,求该车牌照号中含有数字8的概率. 解:设事件{}8汽车牌照号中含有数字=A ,所求概率为()A P .…………….2分()()40951.01091155=-=-=A P A P .…………….6分二.(本题满分8分)设随机事件A ,B ,C 满足:()()()41===C P B P A P ,()0=AB P ,()()161==BC P AC P .求随机事件A ,B ,C 都不发生的概率. 解:由于AB ABC ⊂,所以由概率的非负性以及题设,得()()00=≤≤AB P ABC P ,因此有()0=ABC P .…………….2分所求概率为()C B A P .注意到C B A C B A ⋃⋃=,因此有…………….2分 ()()C B A P C B A P ⋃⋃-=1…………….2分()()()()()()()ABC P BC P AC P AB P C P B P A P -+++---=1 83016116104141411=-+++---=.…………….2分 三.(本题满分8分)某人向同一目标进行独立重复射击,每次射击时命中目标的概率均为p ,()10<<p .求此人第6次射击时恰好第2次命中目标的概率. 解:{}次命中目标次射击时恰好第第26P{}次射击时命中目标次目标,第次射击中命中前615P =…………….2分 {}{}次射击时命中目标第次目标次射击中命中前615P P ⋅=…………….2分()()424115151p p p p p C -=⋅-=.…………….4分四.(本题满分8分)某种型号的电子元件的使用寿命X (单位:小时)具有以下的密度函数:()⎪⎩⎪⎨⎧≤>=1000100010002x x x x p .⑴ 求某只电子元件的使用寿命大于1500小时的概率(4分);⑵ 已知某只电子元件的使用寿命大于1500小时,求该元件的使用寿命大于2000小时的概率(4分). 解:⑴ 设{}小时于电子元件的使用寿命大1500=A ,则(){}()321000100015001500150021500=-===>=+∞+∞+∞⎰⎰x dx x dx x p X P A P .…………….4分 ⑵ 设{}小时于电子元件的使用寿命大0002=B ,则所求概率为()A B P . ()()(){}(){}()A P X P A P X X P A P AB P A B P 20002000,1500>=>>==.…………….2分而 {}()211000100020002000200022000=-===>+∞+∞+∞⎰⎰x dx x dx x p X P , 所以, (){}()4332212000==>=A P X P A B P .…………….2分五.(本题满分8分)设随机变量X 服从区间[]2,1-上的均匀分布,而随机变量⎩⎨⎧≤->=0101X X Y . 求数学期望()Y E . 解:(){}(){}1111-=⨯-+=⨯=Y P Y P Y E …………….2分 {}(){}0101≤⨯-+>⨯=X P X P …………….2分()()⎰⎰⎰⎰-∞-+∞-=-=0120003131dx dx dx x p dx x p X X313132=-=.…………….4分 六.(本题满分8分)设在时间t (分钟)内,通过某路口的汽车数()t X 服从参数为t λ的Poisson (泊松)分布,其中0>λ为常数.已知在1分钟内没有汽车通过的概率为2.0,求在2分钟内至少有1辆汽车通过的概率. 解:()t X 的分布列为(){}()tk e k t k t X P λλ-==!,()Λ,2,1,0=k .…………….2分因此在1=t 分钟内,通过的汽车数为 (){}λλ-==e k k X P k!1,()Λ,2,1,0=k .由题设,(){}2.001===-λe X P ,所以5ln =λ.…………….3分因此,(){}(){}()252425111!0521021125ln 220=-=-=⋅-==-=≥--e e X P X P λ.…………….3分 七.(本题满分8分) 设二维随机变量()Y X ,的联合密度函数为()⎩⎨⎧<<<<=其它020,101,xy x y x f 求:⑴ 随机变量Y 边缘密度函数()y f Y (4分);⑵ 方差()Y D (4分). 解:⑴ ()()⎰+∞∞-=dx y x f y f Y ,.因此,当0≤y 或者2≥y 时,()0=y f Y .…………….1分 当20<<y 时,()()2,2y dx dx y x f y f y Y ===⎰⎰∞+∞-. 所以, ()⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它202y y y f Y .…………….3分⑵ ()()34621203202====⎰⎰+∞∞-y dy y dy y yf Y E Y . ()()2821242322====⎰⎰∞+∞-ydy y dy y f y Y E Y …………….2分所以, ()()()()929162342222=-=⎪⎭⎫⎝⎛-=-=Y E Y E Y D .…………….2分八.(本题满分8分)现有奖券10000张,其中一等奖一张,奖金1000元;二等奖10张,每张奖金200元;三等奖100张,每张奖金10元;四等奖1000张,每张奖金2元.而购买每张奖券2元,试计算买一张奖券的平均收益. 解:设X :购买一张奖券所得的奖金. 则X 的分布律为所以,…………….2分 ()531000010002100001001010000102001000011000=⨯+⨯+⨯+⨯=X E …………….4分 再令Y 表示购买一张奖券的收益,则2-=X Y ,因此 ()()572532-=-=-=X E Y E (元).…………….2分 九.(本题满分8分)两家电影院竞争1000名观众,假设每位观众等可能地选择两个电影院中的一个,而且互不影响.试用中心极限定理近似计算:甲电影院应设多少个座位,才能保证“因缺少座位而使观众离去”的概率不超过1%?附:标准正态分布()1,0N 的分布函数()x Φ的某些数值表解:设甲电影院应设N 个座位才符合要求.设1000名观众中有X 名选择甲电影院,则⎪⎭⎫⎝⎛21,1000~B X .…………….1分 由题意,{}99.0≥≤N X P .而 ()500211000=⨯=X E ,()25021211000=⨯⨯=X D .…………….2分 所以,{}()()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-≤-=≤250500250500N X P X D X E N X D X E X P N X P99.0250500≥⎪⎭⎫⎝⎛-Φ≈N …………….3分查表得33.2250500≥-N ,所以有 84.53625033.2500=⨯+≥N . 所以,应至少设537个座位,才符合要求.…………….2分十.(本题满分8分) 设总体X 的密度函数为()⎩⎨⎧<<=其它0102x x x f , ()n X X X ,,,21Λ是从总体X 中抽取的一个简单随机样本.令()()n n X X X X ,,,max 21Λ=,试求()n X 的密度函数()()x f n . 解:总体X 的分布函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤=111002x x x x x F .…………….3分 因此()n X 的密度函数为()()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<⋅==--其它102121x x x n x f x F n x f n n n …………….4分⎩⎨⎧<<=-其它010212x nx n .…………….1分十一.(本题满分12分) 设总体X 的密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≤>=+ααβαβαββx x x x f 01,; ,其中1,0>>βα为参数,()n X X X ,,,21Λ是从总体X 中抽取的一个简单随机样本.⑴ 当1=α时,求未知参数β的矩估计量M βˆ(6分);⑵ 当1=α时,求未知参数β的最大似然估计量Lβˆ(6分). 解:⑴ 当1=α时,密度函数为()⎩⎨⎧≤>=--10111x x x x f βββ,; , 所以,()()1111-==⋅==⎰⎰⎰+∞-+∞--+∞∞-βββββαββdx x dx xx dx x xf X E ,; .…………….2分解方程:()1-=ββX E ,得解:()()1-=X E X E β.…………….2分 将()X E 替换成X ,得未知参数β的矩估计量为1ˆ-=X X Mβ.…………….2分 ⑵ 当1=α时,密度函数为()⎩⎨⎧≤>=--10111x x x x f βββ,; , 所以,似然函数为()()()111+-===∏ββββi n ni i x x f L ,;,()()n i x i ,,1,1Λ=>.…………….2分所以,()()()n x x x n L Λ21ln 1ln ln +-=βββ.对β求导,得()n x x x nL Λ21ln ln -=∂∂ββ.…………….2分 令0ln =∂∂βL ,得方程()0ln 21=-n x x x nΛβ. 解得 ()n x x x nΛ21ln =β.因此,β的最大似然估计量为 ()n X X X nΛ21ln ˆ=β.…………….2分十二.(本题满分8分) 设总体()2,~σμN X ,()n X X X ,,,21Λ是从总体X 中抽取的一个简单随机样本.X 与2S 分别表示样本均值与样本方差.令nS X T 22-=,求()T E ,并指出统计量T 是否为2μ的无偏估计量.解:()μ=X E ,()nX D 2σ=,…………….2分由 ()()()()22X E X E X D -=,得 ()()()()2222μσ+=+=nX E X D XE .…………….2分又 ()22σ=S E ,所以有…………….1分()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n S E X E n S X E T E 2222()2222μμσ=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n S E n .…………….2分 这表明nS X T 22-=是2μ的无偏估计量.…………….1分北 京 交 通 大 学2010~2011学年第二学期概率论与数理统计期末考试试卷(A 卷)参 考 答 案一.(本题满分8分) 在正方形(){}1,1,≤≤=q p q p D :中任取一点()q p ,,求使得方程02=++q px x 有两个实根的概率. 解:设=A “方程02=++q px x 有两个实根”,所求概率为()A P . 设所取的两个数分别为p 与q ,则有11<<-p ,11<<-q . 因此该试验的样本空间与二维平面点集(){}11,11,<<-<<-=q p q p D :中的点一一对应.…………………………………2分随机事件A 与二维平面点集(){}04,2≥-=q p q p D A :,即与点集()⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥=q p q p D A 4,2:…………………2分中的点一一对应.所以, ()241312412214113112=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⨯⎪⎪⎭⎫⎝⎛+==--⎰p p dp p D D A P A的面积的面积.…………………4分 二.(本题满分8分)从以往的资料分析得知,在出口罐头导致索赔的事件中,有%50是质量问题;有%30是数量短缺问题;有%20是产品包装问题.又知在质量问题的争议中,经过协商解决的占%40;在数量短缺问题的争议中,经过协商解决的占%60;在产品包装问题的争议中,经过协商解决的占%75.如果在发生的索赔事件中,经过协商解决了,问这一事件不属于质量问题的概率是多少?解:设=1A “事件属于质量问题”,=2A “事件属于数量短缺问题”, =3A “事件属于产品包装问题”.=B “事件经过协商解决”.所求概率为()B A P 1.…………………2分 由Bayes 公式,得 ()()()()()()()()()332211111A B P A P A B P A P A B P A P A B P A P B A P ++=…………………2分37735849.075.02.060.03.040.05.040.05.0=⨯+⨯+⨯⨯=.…………………2分所以,()()62264151.037735849.01111=-=-=B A P B A P .…………………2分三.(本题满分8分)设随机事件A 满足:()1=A P .证明:对任意随机事件B ,有()()B P AB P =. 解:因为()1=A P ,所以,()()0111=-=-=A P A P .…………………2分 所以,对任意的随机事件B ,由A B A ⊂,以及概率的单调性及非负性,有 ()()00=≤≤A P B A P , 因此有()0=B A P .…………………2分所以,对任意的随机事件B ,由B A AB B ⋃=,以及AB 与B A 的互不相容性,得 ()()()()()()AB P AB P B A P AB P B A AB P B P =+=+=⋃=0.………………4分四.(本题满分8分)设随机变量X 的密度函数为()⎩⎨⎧<<+=其它0102x bx ax x p ,并且已知()21=X E ,试求方差()X D . 解:由()1=⎰+∞∞-dx x p 及()()21==⎰+∞∞-dx x xp X E ,得()()32112ba dx bx ax dx x p +=+==⎰⎰+∞∞-,…………………2分 ()()432112ba dx bx ax x dx x xp +=+==⎰⎰+∞∞-.…………………2分由此得线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+2143132b a ba .解此线性方程组,得6,6-==b a .…………………2分 所以,()()()1035164166612222=⋅-⋅=-==⎰⎰+∞∞-dx x x x dx x p x XE ,所以,()()()()20121103222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=X E X E X D .…………………2分 五.(本题满分8分)经验表明,预定餐厅座位而不来就餐的顾客比例为%20.某餐厅有50个座位,但预定给了52位顾客,问到时顾客来到该餐厅而没有座位的概率是多少? 解:设X 表示52位预订了座位的顾客中来就餐的顾客数,则()8.0,52~B X .…………1分 则所求概率为()50>X P .…………………2分 ()()()525150=+==>X P X P X P …………………2分052525215151522.08.02.08.0⋅⋅+⋅⋅=C C 9330001278813.0=.…………………3分六.(本题满分10分)将一颗均匀的骰子独立地掷10次,令X 表示这10次出现的点数之和,求()X E (5分)与()X D (5分). 解:设k X 表示第k 次出现的点数,()10,,2,1Λ=k . 则1021,,,X X X Λ相互独立,而且∑==101k k X X .而k X 的分布列为 ()61==j X P k ,()6,,2,1Λ=j .…………………2分 所以,()()∑∑==⋅==⋅=616161j j k k j j X P j X E2721616161=⨯==∑=j j , ()10,,2,1Λ=k .…………………2分所以,由数学期望的性质,得()()35102727101101101=⨯===⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑===k k k k k X E X E X E .…………………2分()()∑∑==⋅==⋅=612612261j j k kj j X P jXE691916161612=⨯==∑=j j , ()10,,2,1Λ=k .…………………2分所以,由1021,,,X X X Λ的相互独立性,及数学期望的性质,得()()345510691691101101101=⨯===⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑===k k k k k X D X D X D .…………………2分七.(本题满分10分)设随机变量()1,0~N X ,求随机变量122+=X Y 的密度函数.解:由题意,随机变量X 的密度函数为()2221x X e x p -=π,()+∞<<∞-x .………1分设随机变量122+=X Y 的分布函数为()y F Y ,则有()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤=≤+=≤=211222y X P y X P y Y P y F Y ,…………………2分所以,当1≤y 时,()0=y F Y ;…………………1分 当1>y 时,()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-≤≤--=⎪⎭⎫⎝⎛-≤=2121212y X y P y X P y F Y⎰⎰------==210221212222221y x y y x dx edx eππ…………………2分因此有 ()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>=⎰--112221022y y dxey F y x Y π ,…………………2分 所以,随机变量122+=X Y 的密度函数为()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>⎪⎭⎫⎝⎛-⋅='=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1121212122212212y y y ey F y p y Y Y π ()⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=--10112141y y e y y π .…………………2分八.(本题满分10分) 设二维随机变量()Y X ,的联合密度函数为()⎩⎨⎧<<<=其它0103,x y x y x p , 求X 与Y 的相关系数Y X ,ρ. 解:()()4333,13102====⎰⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-dx x dy x dx dxdy y x xp X E x , ()()83233,103100====⎰⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-dx x ydy xdx dxdy y x yp Y E x,…………………2分()()5333,141322====⎰⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-dx x dy x dx dxdy y x p x X E x,()()513,1410222====⎰⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-dx x dy y xdx dxdy y x p y Y E x ,…………………2分()()103233,1041002====⎰⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-dx x ydy dx x dxdy y x xyp XY E x ,所以有 ()()()()16038343103,cov =⨯-=-=Y E X E XY E Y X ,…………………2分 ()()()()8034353222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=X E X E X D , ()()()()320198351222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=Y E Y E Y D ,…………………2分 因此,有()()()573320198031603,cov ,=⋅==Y D X D Y X Y X ρ.…………………2分 九.(本题满分10分)一生产线生产的产品成箱包装,假设每箱平均重kg 50,标准差为kg 5.若用最大载重量为kg 5000的汽车来承运,试用中心极限定理计算每辆车最多装多少箱,才能保证汽车不超载的概率大于977.0(设()977.02=Φ,其中()x Φ是标准正态分布()1,0N 的分布函数).解:若记i X 表示第i 箱的重量,()n i ,,2,1Λ=.则n X X X ,,,21Λ独立同分布,且()()25,50==i i X D X E , ()n i ,,2,1Λ=.…………………2分再设n Y 表示一辆汽车最多可装n 箱货物时的重量,则有 ∑==ni i n X Y 1.由题意,得 ()977.010100055050005505000>⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ≈⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤-=≤n n n n n n Y P Y P n n .…………4分查正态分布表,得 2101000>-=nnx ,…………………2分 当99=n 时,2005.1<=x ;98=n 时,202.2>=x ,故取98=n ,即每辆汽车最多装98箱货物.…………………2分十.(本题满分8分)设总体()1,0~N X ,()621,,,X X X Λ是取自该总体中的一个样本.令()()26542321X X X X X X Y +++++=,试确定常数c ,使得随机变量cY 服从2χ分布. 解:因为()1,0~N X i ,()6,,1Λ=i ,而且61,,X X Λ相互独立,所以()3,0~321N X X X ++,()3,0~654N X X X ++.…………………2分因此()1,0~3321N X X X ++,()1,0~3654N X X X ++.…………………2分 而且3321X X X ++与3654X X X ++相互独立.因此由2χ分布的定义,知 ()2~33226542321χ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++X X X X X X ,…………………2分即()()()2~3226542321χX X X X X X +++++. 取31=c ,则有()2~2χcY .…………………2分十一.(本题满分12分) 设总体X 的密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧<<=-其它;0101x xx f θθθ ,其中0>θ为参数,()n X X X ,,,21Λ是从总体X 中抽取的一个简单随机样本.⑴ 求参数θ的矩估计量Mθˆ(6分);⑵ 求参数θ的最大似然估计量L θˆ(6分). 证明:⑴ ()()11101+==⋅==⎰⎰⎰-+∞∞-θθθθθθθdx x dx xx dx x xf X E ;,…………………3分因此,得方程 ()1+=θθX E ,解方程,得 ()()21⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=X E X E θ,将()X E 替换成X ,得参数θ的矩估计量为21ˆ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X X M θ.…………………3分 ⑵ 似然函数为 ()()∏∏=-===ni i n ni i x x f L 1121θθθθ;,…………………2分取对数,得 ()()∑=-+=ni ix nL 1ln 1ln 2ln θθθ,对θ求导,得 ()⎪⎭⎫⎝⎛+=+=∑∑==ni i ni i x n x n L d d 11ln 21ln 212ln θθθθθθ,所以,得似然方程 0ln 211=⎪⎭⎫⎝⎛+∑=ni i x n θθ,…………………2分 解似然方程,得21ln ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑=ni i x n θ, 因此,参数θ的最大似然估计量为 21ln ˆ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∑=ni i L X n θ.…………………2分北 京 交 通 大 学2010~2011学年第一学期概率论与数理统计期末考试试卷(A 卷)答案一.(本题满分8分)一间宿舍内住有6位同学,求这6位同学中至少有2位的生日在同一个月份(不考虑出生所在的年份)的概率. 解:设=A “6位同学中至少有2位的生日在同一个月份”. 所求概率为()A P .…………………………..1分 考虑事件A 的逆事件:=A “6位同学的生日各在不同的月份”.…………………………..1分()()777199074.02985984665280112116612=-=-=-=P A P A P . ……..2分 …..2分 …………..2分二.(本题满分8分)有朋友自远方来访,他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是3.0,1.0,4.0和2.0.如果他乘火车、轮船、汽车、飞机来的话,迟到的概率分别为31、72、52、61,结果他未迟到,试问他乘火车来的概率是多少? 解:设=B “朋友来访迟到”,=1A “朋友乘火车来访”, =2A “朋友乘轮船来访”,=3A “朋友乘汽车来访”, =4A “朋友乘飞机来访”.……..1分 所求概率为()B A P 1,由Bayes 公式得 ……..1分 ()()()()()()()()()()()44332211111A B P A P A B P A P A B P A P A B P A P A B P A P B A P +++=…..2分⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=6112.05214.07211.03113.03113.0 ……..2分652.0534.0751.0323.0323.0⨯+⨯+⨯+⨯⨯=1050.29494382356==. ……………..2分三.(本题满分8分)设随机变量X 的密度函数为()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤-<≤=其它010525525025x x x xx f试求随机变量X 的分布函数()x F . 解:当0<x 时, ()()00===⎰⎰∞-∞-xx dt dt t f x F ; …….1分当50<≤x 时,()()50250200x dt t dt dt t f x F xx=+==⎰⎰⎰∞-∞-;……..2分当105<≤x 时,()()255055015212552250x x dt t dt t dt dt t f x F xx -+-=⎪⎭⎫⎝⎛-++==⎰⎰⎰⎰∞-∞-;……..2分当10≥x 时,()()102552250105505=+⎪⎭⎫⎝⎛-++==⎰⎰⎰⎰⎰∞-∞-xx x dt dt t dt t dt dt t f x F .……..2分因此,随机变量X 的分布函数为()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤-+-<≤<=10110550152150500022x x xx x x x x F .……..1分四.(本题满分8分)试决定常数C ,使得!k C p kk λ=,()Λ,2,1=k 为某一离散型随机变量X 的分布列,其中0>λ为参数. 解:若使!k Cp kk λ=,()Λ,2,1=k 是某一随机变量X 的分布列,当且仅当0!≥=k Cp kk λ,()Λ,2,1=k ,而且11=∑∞=k k p , ……..2分因此有()11111!!kkk k k k p CC C e k k λλλ∞∞∞=======-∑∑∑,……..4分所以有 11C e λ=-.……..2分 五.(本题满分8分)设U 与V 分别是掷一颗均匀的骰子两次先后出现的点数.试求一元二次方程02=++V Ux x有两个不相等的实数根的概率. 解:一元二次方程02=++V Ux x 有两个不相等的实数根的充分必要条件是042>-V U ,或者V U 42>.……..2分又()V U ,的联合分布列为()361,===j V i U P ,()6,,2,1,Λ=j i .……..2分 所以,一元二次方程02=++V Ux x 有两个不相等的实数根的充分必要条件是()V U ,的取值应为下列情形之一:()1,3,()2,3,()1,4,()2,4,()3,4,()1,5,()2,5,()3,5,()4,5,()5,5,()6,5,()1,6,()2,6,()3,6,()4,6,()5,6,()6,6.……..2分()361702==++有两个不相等的实数根一元二次方程V Ux x P .……..2分 六.(本题满分8分)设随机变量X 服从区间()1,2-上的均匀分布,试求随机变量2X Y =的密度函数()y f Y . 解:随机变量X 的密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它01231x x p X .……..1分设2X Y =的分布函数为()y F Y ,则有 ()()()y X P y Y P y F Y ≤=≤=2.……..1分 当0≤y 时,()0=y F Y ;当40≤<y 时,()()()()()y F y F y X y P y X P y F XX Y --=≤≤-=≤=2;当4>y 时,()1=y F Y .……..1分综上所述,得随机变量2X Y =的分布函数为()()()⎪⎩⎪⎨⎧≥<<--≤=11400y y y F y F y y F XXY .……..1分 因此,随机变量2X Y =的密度函数为()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<-+='=其它04021y y p y p y y F y p XXY Y .……..1分当10<<y 时,10<<y ,01<-<-y ,于是有()31=y p X,()31=-y p X,因此有()()()()yy y p y p y y p XXY 3131312121=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+=; 当41<<y 时,21<<y ,12-<-<-y ,于是有()0=y p X,()31=-y p X, 因此有()()()()yy y p y p y y p XXY 613102121=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+=.……..2分 因此,随机变量2X Y =的密度函数为()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<≤<=其它41611031y y y y y p Y .……..1分七.(本题满分8分)试解释“在大量独立重复试验中,小概率事件几乎必然发生”的确切意思. 解:设A 是一随机事件,其概率()10<<A P .……..1分现独立重复做试验,则在n 次独立重复试验中,事件A 至少发生一次的概率为()()nA P --11.……..2分令∞→n ,则有()()()()()11lim 111lim =--=--∞→∞→nn nn A P A P .……..2分这表明,只要试验次数n 充分大,不管随机事件A 的概率多么小,随机事件A 在n 次独立重复试验中至少发生一次的概率与1可以任意接近,即随机事件A 在n 次独立重复试验中至少发生一次是几乎必然的.……..3分八.(本题满分8分)一公寓有200户住户,一户住户拥有汽车辆数X 的分布列为试用中心极限定理近似计算,至少要设多少车位,才能使每辆汽车都具有一个车位的概率至少为95.0?(设:()95.0645.1=Φ,其中()x Φ是()1,0N 的分布函数.) 解:设需要的车位数为n ,i X 表示第i 个住户需要的车位数,()200,,2,1Λ=X .则随机变量20021,,,X X X Λ独立同分布,而且()2.13.026.011.00=⨯+⨯+⨯=i X E ,()8.13.026.011.002222=⨯+⨯+⨯=i X E ,……..2分 于是有()()()()36.02.18.1222=-=-=i i i X E X E X D .……..1分由题意,得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑∑∑∑======200120012001200120012001i i i i i i i i i i i i X D X E n X D X E X P n X P ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑∑∑===36.02002.1200200120012001n X D X E X P i i i i i i⎪⎭⎫⎝⎛-Φ≈72240n .……..3分由题设,95.072240≥⎪⎭⎫⎝⎛-Φn ,因此得645.172240≥-n , 所以有 9583.25372645.1240=⨯+≥n .因此至少需要254个车位,才能满足题设要求.……..2分九.(本题满分8分)设随机变量X 与Y 相互独立,而且都服从参数为λ的指数分布,令Y X V Y X U +=-=3,34,试求二维随机变量()V U ,的相关系数V U ,ρ. 解:因为X 与Y 都服从参数为λ的指数分布,所以()()λ1==Y E X E ,()()21var var λ==Y X .……..1分于是有()()()()λλλ113143434=⋅-⋅=-=-=Y E X E Y X E U E ,()()()()λλλ411333=+⋅=+=+=Y E X E Y X E V E .再由X 与Y 的相互独立性,得()()()()2222519116var 9var 1634var var λλλ=⋅+⋅=+=-=Y X Y X U ,()()()()22210119var 93var var λλλ=+⋅=+=+=Y E X Y X V . ……..3分()()()[]()223512334Y XY X E Y X Y X E UV E --=+-= ()()()223512Y E XY E X E --=()()()()()()()()()()22var 35var 12Y E Y Y E X E X E X +⋅-⋅-+⋅=⎪⎭⎫⎝⎛+⋅-⋅⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=22221131151112λλλλλλ2222136524λλλλ=--=.……..2分所以有()()()()2294113,cov λλλλ=⋅-=-=V E U E UV E V U .因此有()()()105910259var var ,cov 222,===λλλρV U V U VU .……..2分 十.(本题满分8分)设总体X 存在二阶矩,总体期望()μ=X E ,总体方差()2σ=X D ,()n X X X ,,,21Λ是从中抽取的一个样本,X 是样本均值,2S 是样本方差.⑴ 计算方差()X D (4分);⑵ 如果()2,~σμN X ,计算方差()2S D (4分).解:⑴ ()()n n n n X D n X n D X D n i n i i n i i 2221221211111σσσ=⋅===⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑===.……..4分⑵ 因为总体()2,~σμN X ,()n X X X ,,,21Λ是取自总体X 中的一个样本,所以()()1~1222--n S n χσ.……..2分所以,()()()()()()12121111142422242222-=-⋅-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-=n n n S n D n S n n D S D σσσσσσ.……..2分十一.(本题满分10分)设()10<<B P ,证明:随机事件A 与B 相互独立的充分必要条件是()()1=+B A P B A P .证明:必要性:设随机事件A 与B 相互独立,所以随机事件A 与B 也相互独立.因此有()()A P B A P =, ()()A P B A P =,……..3分因此有()()()()1=+=+A P A P B A P B A P .……..2分 充分性:由于 ()()1=+B A P B A P , 所以有 ()()()B A P B A P B A P =-=1.因此有()()()()()()()()()B P AB P A P B P AB A P B P B A P B P AB P --=--==11.……..3分 由()10<<B P ,得()01>-B P ,因此有 ()()()()()()()AB P A P B P B P AB P -=-1.整理,得 ()()()()()()()B P AB P B P A P AB P B P AB P -=-. 即得 ()()()B P A P AB P =.这表明随机事件A 与B 相互独立.……..2分十二.(本题满分10分)⑴ 设总体X 等可能地取值1,2,3,Λ,N ,其中N 是未知的正整数.()n X X X ,,,21Λ是取自该总体中的一个样本.试求N 的最大似然估计量.(7分)⑵ 某单位的自行车棚内存放了N 辆自行车,其编号分别为1,2,3,…,N ,假定职工从车棚中取出自行车是等可能的.某人连续12天记录下他观察到的取走的第一辆自行车的编号为12, 203, 23, 7, 239, 45, 73, 189, 95, 112, 73, 159,试求在上述样本观测值下,N 的最大似然估计值.(3分) 解:⑴ 总体X 的分布列为 {}Nx X P 1==, ()N x ,,2,1Λ=. 所以似然函数为 (){}nni i i N x X P N L 11===∏=, ()()n i N x i ,,2,1,1Λ=≤≤.……..3分当N 越小时,似然函数()N L 越大;另一方面,N 还要满足:()n i N x i ,,2,1,1Λ=≤≤,即{}()n n x x x x N =≥,,,max 21Λ.所以,N 的最大似然估计量为()n X N =ˆ.……..4分 ⑵ 由上面的所求,可知N 的最大似然估计值为()239ˆ==n x N .……..3分北 京 交 通 大 学2012~2013学年第一学期概率论与数理统计期末考试试卷(A 卷)参 考 答 案某些标准正态分布的数值其中()x Φ是标准正态分布的分布函数. 一.(本题满分5分)口袋中有10个球,分别标有号码1到10,从中任意取出4个球.求最小号码是5的概率. 解:设=A “取出4个球,最小号码是5”.10个球取出4个球,有取法410C 种.………….2分若最小号码是5,有取法35C 种,因此()2112101041035===C C A P .………….3分二.(本题满分5分)一间宿舍住有5位同学,求他们之中至少有两位的生日在同一个月份的概率. 解:设=A “5位同学至少有两位的生日在同一月份”.5位同学,每一位在12个月份中任意选择,共有512种可能.………….2分 考虑A 的逆事件A ,它表示5位同学中,没有两位的生日是同一月份的.则 ()()6181.012115512=-=-=PA P A P .………….3分三.(本题满分8分),已知男人中%5的是色盲患者,女人中色盲患者占%25.0,今从男女比例为21:22的人群中随机地挑选一人,发现是色盲患者,问此人是男性的概率是多少? 解:设=A “任选一人为男性”,=B “任选一人是色盲患者”. 所求概率为()B A P .由Bayes 公式,得 ()()()()()()()A B P A P A B P A P A B P A P B A P +=………….3分9544.00025.0432105.0432205.04322=⨯+⨯⨯=.………….5分 四.(本题满分8分)在一小时内,甲、乙、丙三台机床需要维修的概率分别是9.0,8.0和85.0,而且这三台机床是否需要维修是相互独立的.求在一小时内⑴ 至少有一台机床不需要维修的概率;(4分) ⑵ 至多只有一台机床需要维修的概率.(4分) 解:设{}甲机床需要维修=A ,{}乙机床需要维修=B ,{}丙机床需要维修=C .则 ⑴ {}()()C B A P C B A P P ⋃⋃-=⋃⋃=1维修至少有一台机床不需要…….2分 ()()()388.085.08.09.011=⨯⨯-=-=C P B P A P .………….2分⑵ {}()C B A C B A C B A C B A P P ⋃⋃⋃=修至多有一台机床需要维………….2分 ()()()()C B A P C B A P C B A P C B A P +++=()()()()()()()()()()()()C P B P A P C P B P A P C P B P A P C P B P A P +++=059.085.02.01.015.08.01.015.02.09.015.02.01.0=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.…….2分五.(本题满分8分)试确定常数a ,b ,c ,d 的值,使得函数()⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤++<=e x d e x d cx x bx x ax F 1ln 1为一连续型随机变量的分布函数. 解:因为连续型随机变量的分布函数()x F 是连续函数,因此函数()x F 在分段点1=x 及e x =处连续,所以有()()()10101F F F =+=-,即有d c a +=.………….2分 ()()()e F e F e F =+=-00,即有d d ce be =++.………….2分 又分布函数()x F 必须满足:()0lim =-∞→x F x ,()1lim =+∞→x F x .因而有()0lim ==-∞→x F a x ,()1lim ==+∞→x F d x .………….2分由此得方程组 ⎩⎨⎧=++=+1101ce be c ,解此方程组,得1,1,1,0=-===d c b a .………….2分六.(本题满分8分)某地区成年男子的体重X (以kg 计)服从正态分布()2,σμN .若已知()5.070=≤X P ,()25.060=≤X P ,⑴ 求μ与σ的值;⑵ 如果在该地区随机抽取5名成年男子,求至少有两个人的体重超过kg 65的概率. 解:⑴ 由已知()5.0707070=⎪⎭⎫⎝⎛-Φ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤-=≤σμσμσμX P X P ,()25.0606060=⎪⎭⎫⎝⎛-Φ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤-=≤σμσμσμX P X P ………….2分 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ75.025.016015.070σμσμ .即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛--Φ=⎪⎭⎫⎝⎛-Φ75.0605.070σμσμ ,查正态分布表,得⎪⎩⎪⎨⎧=--=-675.060070σμσμ ,解方程组,得70=μ,81.14=σ.………….2分⑵ 设=A “从该地区任意选取一名成年男子,其体重超过kg 65”.则()()⎪⎭⎫⎝⎛-≤--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤--=≤-=>3376.081.1470181.14706581.1470165165X P X P X P X P ()()6631.03376.03376.01=Φ=-Φ-=.………….2分 设X :该地区随机抽取的5名成年男子中体重超过kg 65的人数. 则 ()6631.0,5~B X .设=B “5人中至少有两人的体重超过kg 65. 则 ()()()()()101112===-=≤-=≥=X P X P X P X P B P9530.03369.06631.03369.06631.0141155005=⨯⨯-⨯⨯-C C . (已知()75.0675.0=Φ,()6631.034.0=Φ)………….2分七.(本题满分8分) 设二维随机变量()Y X ,的联合密度函数为()()⎪⎩⎪⎨⎧-<<+=其它01045,22x y y x y x f求:随机变量Y 的边缘密度函数()y f Y . 解:当10<<y 时, ()()()()⎰⎰⎰----+∞∞-+=+==yyyY dx y xdx y x dx y x f y f 1021122545,………….3分()()()6211511312531252123103y y y y y xy x yx +-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⋅=⎪⎭⎫⎝⎛+⨯=-=.…….3分所以,随机变量Y 的边缘密度函数为()()⎪⎩⎪⎨⎧<<+-=其它01062115y y y y f Y .………….2分 八.(本题满分10分) 设n X X X ,,,21Λ是n 个独立同分布的随机变量,1X 服从参数为λ的指数分布.令{}n X X X T ,,,m in 21Λ=,求随机变量T 的密度函数. 解:对于任意的实数x ,随机变量T 的分布函数为 ()(){}()x X X X P x T P x F n T ≤=≤=,,,m in 21Λ{}()x X X X P n >-=,,,m in 121Λ()x X x X x X P n >>>-=,,,121Λ …………………….2分()()()x X P x X P x X P n >>>-=Λ211()()()()()()()()nX n x F x X P x X P x X P --=≤-≤-≤--=11111121Λ.………….3分所以,随机变量T 的密度函数为()()()()()x f x F n x F x f X n X T T 11--='=. ………….2分如果1X 服从参数为λ的指数分布,则1X 的密度函数为()⎩⎨⎧≤>=-0x x e x f xX λλ . 分布函数为()()⎩⎨⎧≤>-==-∞-⎰0001x x e dt t f x F xxX X λ .………….1分 因此此时{}n X X X T ,,,m in 21Λ=的密度函数为()()()()()x n x n xX n X T e n e e n x f x F n x f λλλλλ-----=⋅⋅=-=111,()0>x .………….2分九.(本题满分8分) 设随机向量()321,,X X X 间的相关系数分别为312312,,ρρρ,且,()()()0321===X E X E X E ,()()()02321>===σX D X D X D .令:211X X Y +=,322X X Y +=,133X X Y +=.证明:321,,Y Y Y 两两不相关的充要条件为1312312-=++ρρρ.证明:充分性:如果1312312-=++ρρρ,则有01312312=+++ρρρ.而 ()()322121,cov ,cov X X X X Y Y ++= ()()()()32223121,cov ,cov ,cov ,cov X X X X X X X X +++=()()()()()()()3223231132112var X D X D X X D X D X D X D ⋅++⋅+⋅=ρρρ ()0121323122232213212=+++=+++=σρρρσρσσρσρ………….3分 这说明随机变量1Y 与2Y 不相关.同理可得 ()0,cov 32=Y Y ,()0,cov 13=Y Y ,这就证明了随机变量321,,Y Y Y 两两不相关. ………….1分必要性:如果随机变量321,,Y Y Y 两两不相关,则有()0,cov 21=Y Y ,()0,cov 32=Y Y ,()0,cov 13=Y Y而由上面的计算,得()()01,cov 213231221=+++=σρρρY Y , ………….3分由于02>σ,所以1132312+++ρρρ,即1132312-=++ρρρ. ………….1分十.(本题满分8分) 设总体X 的密度函数为()⎩⎨⎧<<-=其它若011x xx f()5021,,,X X X Λ是从X 中抽取的一个样本,X 与2S 分别表示样本均值与样本方差.求()X E ,()X D ,()2S E .解:因为()()011=⋅==⎰⎰-+∞∞-dx x x dx x xf X E ,()()2121311222==⋅==⎰⎰⎰-+∞∞-dx x dx x xdx x f x XE , 所以,()()()()2122=-=X E X E X D . 所以,()()0==X E X E ,………….2分()()10015021===n X D X D ,………….3分 ()()212==X D S E .………….3分十一.(本题满分8分) 设总体()4,0~N X ,()921,,,X X X Λ是取自该总体中的一个样本.求系数a 、b 、c ,使得统计量()()()298762543221X X X X c X X X b X X a T ++++++++=服从2χ分布,并求出自由度. 解:因为()921,,,X X X Λ是取自总体()4,0N 中的简单随机样本,所以()4,0~N X i ,()9,,2,1Λ=i而且921,,,X X X Λ相互独立.所以()8,0~21N X X +,()12,0~543N X X X ++,()16,0~9876N X X X X +++.…….2分所以,()1,0~821N X X +,()1,0~12543N X X X ++,()1,0~169876N X X X X +++.…….2分 因此,()()()()3~161282298762543221χX X X X X X X X X ++++++++.…….2分因此,当161,121,81===c b a 时,统计量()()()()3~161282298762543221χX X X X X X X X X T ++++++++=,自由度为3.………….2分十二.(本题满分8分)一家有500间客房的旅馆的每间客房装有一台kW 2(千瓦)的空调机,该旅馆的开房率为%80.求需要多少电力,才能有%99的可能性保证有足够的电力使用空调机. 解:设X :该旅馆开房数目,则()8.0,500~B X .………….2分a :向该旅馆供应的电力.则若电力足够使用空调机,当且仅当a X ≤2.因此()⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯⨯-Φ≈⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯⨯-≤⨯⨯⨯-=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤=≤2.08.05008.050022.08.05008.050022.08.05008.050022a a X P a X P a X P . 由题设,99.02.08.05008.05002≥⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯⨯-Φa ,………….3分 查表,得33.22.08.05008.05002≥⨯⨯⨯-a,………….1分 所以有 ()68.8412.08.050033.28.05002=⨯⨯⨯+⨯⨯≥a .即至少向该旅馆供电842千瓦,才能保证该旅馆的空调机正常使用.………….2分十三.(本题满分8分) 设总体X 的密度函数为()()⎩⎨⎧≤>=+-cx cx x c x f 01θθθ. 其中0>c 是已知常数,而1>θ是未知参数.()n X X X ,,,21Λ是从该总体中抽取的一个样本,试求参数θ的最大似然估计量. 解:似然函数为()()()()()121111+-=+-====∏∏θθθθθθθn n n ni i n i i x x x c x c x f L Λ………….2分所以,()()∑=+-+=ni i x c n n L 1ln 1ln ln ln θθθθ.所以,()∑=-+=ni i x c n nL d d 1ln ln ln θθθ.………….2分 令:()0ln =θθL d d,即0ln ln 1=-+∑=ni i x c n n θ,………….2分得到似然函数的唯一驻点cn x nni iln ln 1-=∑=θ.所以参数θ的最大似然估计量为cn Xnni iln ln ˆ1-=∑=θ.………….2分。