圆锥曲线三种弦长问题的探究
在高考中，圆锥曲线的综合问题，常以直线与圆锥曲线的性质及其位置关系的有关知识为主体，而直线与圆锥曲线的弦长问题，是在圆锥曲线中常见一个重要方面，下面对圆锥曲线中出现的有关弦长问题作简单的探究： 一、一般弦长计算问题：
例1、已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>，直线1:1x y l a b -=被椭圆C 截得的弦长为
且e =
，过椭圆C 2l 被椭圆C 截的弦长AB ， ⑴求椭圆的方程；⑵弦AB 的长度.
思路分析：把直线2l 的方程代入椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式求解.
解析：⑴由1l 被椭圆C 截得的弦长为2
2
8a b +=，………①
又3
e =，即2223c a =，所以22
3a b =………………………….②
联立①②得2
2
6,2a b ==，所以所求的椭圆的方程为22
162
x y +=.
⑵∴椭圆的右焦点()2,0F ，∴2l 的方程为：)2y x =-， 代入椭圆C 的方程，化简得，2
51860x x -+= 由韦达定理知，1212186
,55
x x x x +==
从而12x x -=
=
，
由弦长公式，得1255
AB x =-==，
即弦AB 的长度为
5
点评：本题抓住1l 的特点简便地得出方程①，再根据e 得方程②，从而求得待定系数2
2
,a b ，得出椭圆的方程，解决直线与圆锥曲线的弦长问题时，常用韦达定理与弦长公式。

二、中点弦长问题：
例2、过点()4,1P 作抛物线28y x =的弦AB ，恰被点P 平分，求AB 的所在直线方程及弦AB 的长度。

思路分析：因为所求弦通过定点P ，所以弦AB 所在直线方程关键是求出斜率k ，有P 是弦
的中点，所以可用作差或韦达定理求得，然后套用弦长公式可求解弦长. 解法1：设以P 为中点的弦AB 端点坐标为()()1122,,,A x y B x y ，
则有22
11228,8y x y x ==，两式相减，得()()()1212128y y y y x x -+=-
又12128,2x x y y +=+= 则21
21
4y y k x x -=
=-，所以所求直线AB 的方程为()144y x -=-，即4150x y --=.
解法2：设AB 所在的直线方程为()41y k x =-+
由()2418y k x y x
⎧=-+⎪⎨=⎪⎩，整理得2
83280ky y k --+=.
设()()1122,,,A x y B x y ，由韦达定理得128
y y k
+=， 又∵P 是AB 的中点，∴
1212y y +=，∴8
24k k
=⇒= 所以所求直线AB 的方程为4150x y --=.
由24150
8x y y x
--=⎧⎨=⎩ 整理得，22300y y --=，则12122,30y y y y +==-
有弦长公式得，
12AB y =-==
. 点评：解决弦的中点有两种常用方法，一是利用韦达定理及中点坐标公式来构造条件；二是
利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造中点坐标和斜率的关系求解，然后可套用弦长公式求解弦长. 三、焦点弦长问题： 例3、（同例1、⑵） 另解：⑵∴椭圆的右焦点()2,0F ，∴2
l 的方程为： )2y x =-，
代入椭圆C 的方程)
222162y x x y ⎧=-⎪⎨+
=⎪⎩
，化简得，2
51860x x -+=
由韦达定理知，1212186,55
x x x x +=
=
由2l 过右焦点，有焦半径公式的弦长为()122AB a e x x =-+=
.
即弦AB 的长度为
5
点评：在解决直线与圆锥曲线的弦长问题时，通常应用韦达定理与弦长公式，若涉及到焦点
弦长问题，则可利用焦半径公式求解，可大大简化运算过程.。