第一章随机事件与概率1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。

试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。

解：{}反正正、正反、反正、反=Ω{}正正、正反=A ,{}正正=B ,{}正正、正反、反正=C2.设31)(=A P ，21)(=B P ，试就以下三种情况分别求)(A B P ：（1）AB =∅，（2）B A ⊂，（3）81)(=AB P解:（1）5.0)()()()()(==-=-=B P AB P B P AB B P A B P（2）6/13/15.0)()()()()()(=-=-=-=-=A P B P AB P B P AB B P A B P （3）375.0125.05.0)()()()(=-=-=-=AB P B P AB B P A B P3.某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随机的拨号，求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率是多少如果已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少解: 记H 表拨号不超过三次而能接通。

Ai 表第i 次拨号能接通。

注意：第一次拨号不通，第二拨号就不再拨这个号码。

103819810991109101)|()|()()|()()()(2131211211321211=⨯⨯+⨯+=++=∴++=A A A P A A P A P A A P A P A P H P A A A A A A H 三种情况互斥Θ如果已知最后一个数字是奇数（记为事件B ）问题变为在B 已发生的条件下，求H 再发生的概率。

)|||)|(321211B A A A B A A B PA B H P ++=)|()|()|()|()|()|(2131211211A A B A P A B A P B A P A B A P B A P B A P ++= 53314354415451=⨯⨯+⨯+=4．进行一系列独立试验，每次试验成功的概率均为，试求以下事件的概率： （1）直到第r 次才成功；（2）在n 次中取得)1(n r r ≤≤次成功；解: (1)p p P r 1)1(--= (2)r n rr np p C P --=)1( 5. 设事件A ，B 的概率都大于零，说明以下四种叙述分别属于那一种：（a ）必然对，（b ）必然错，（c ）可能对也可能错，并说明理由。

（1）若A ，B 互不相容，则它们相互独立。

（2）若A 与B 相互独立，则它们互不相容。

（3）()()0.6P A P B ==，则A 与B 互不相容。

（4）()()0.6P A P B ==，则A 与B 相互独立。

解: (1)b, 互斥事件,一定不是独立事件 (2)c, 独立事件不一定是互斥事件,(3)b, )()()()(AB P B P A P B A P -+=+ 若A 与B 互不相容,则0)(=AB P , 而12.1)()()()(>=-+=+AB P B P A P B A P (4)a, 若A 与B 相互独立,则)()()(B P A P AB P =, 这时84.036.02.1)()()()(=-=-+=+AB P B P A P B A P6. 有甲、乙两个盒子，甲盒中放有3个白球，2个红球；乙盒中放有4个白球，4个红球，现从甲盒中随机地取一个球放到乙盒中，再从乙盒中取出一球，试求：(1)从乙盒中取出的球是白球的概率；(2)若已知从乙盒中取出的球是白球，则从甲盒中取出的球是白球的概率。

解: (1)记A 1，A 2分别表“从甲袋中取得白球，红球放入乙袋”再记B 表“再从乙袋中取得白球”。

∵ B =A 1B +A 2B 且A 1，A 2互斥∴P (B )=P (A 1)P (B | A 1)+ P (A 2)P (B | A 2) =144423214414233++⨯+++++⨯+= (2)7.思考题：讨论对立、互斥（互不相容）和独立性之间的关系。

解:独立事件不是对立事件,也不一定是互斥事件;对立事件是互斥事件,不能是独立事件;互斥事件一般不是对立事件,一定不是独立事件.第二章随机变量及其概率分布1.设XF(x)解: 3.0}2{}1{}0{}2{)2(==+=+==≤=X P X P X P X P F2．设随机变量X 的概率密度为f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≤>,1,0;1,2x x x c 则常数c 等于解:由于1122===⎰⎰+∞+∞∞-c dx x c dx x c ,故1=c 3.一办公室内有5台计算机，调查表明在任一时刻每台计算机被使用的概率为，计算机是否被使用相互独立，问在同一时刻(1) 恰有2台计算机被使用的概率是多少 (2) 至少有3台计算机被使用的概率是多少 (3) 至多有3台计算机被使用的概率是多少 (4) 至少有1台计算机被使用的概率是多少解: (1)2304.04.06.0}2{3225===C X P(2)66304.06.04.06.01}5{}4{1}3{5445=--==-=-=≥C X P X P X P(3)233532254154.06.04.06.04.06.0}3{}2{}1{}3{C C C X P X P X P X P ++⋅==+=+==≤ =++=(4)98976.04.01}0{1}1{5=-==-=≥X P X P4.设随机变量K 在区间 (0, 5) 上服从均匀分布, 求方程 42x + 4Kx + K + 2 = 0 有实根的概率。

解: 由0321616)2(441622≥--=+⋅⋅-=∆k k k k 可得:2,1≥-≤k k所以52}2{=≥K P 5.假设打一次电话所用时间（单位：分）X 服从2.0=α的指数分布，如某人正好在你前面走进电话亭，试求你等待：（1）超过10分钟的概率；（2）10分钟 到20分钟的概率。

解:0,2.0)(~2.0>=-x e x f X x221002.0112.01}10{1}10{---=+-=-=≤-=>⎰e e dx e X P X P x4220102.02.0}2010{----==≤≤⎰e e dx e X P x6. 随机变量X ～N (3, 4), (1) 求 P(2<X ≤5) , P(- 4<X ≤10), P(|X|>2),P(X>3)；（2）确定c ，使得 P(X>c) = P(X<c)。

解:)5.0(1)1()5.0()1()232()235(}52{Φ+-Φ=-Φ-Φ=-Φ--Φ=≤<X P6915.018413.0+-==11)5.3(2)5.3()5.3()234()2310(}104{=-Φ=-Φ-Φ=--Φ--Φ=≤<-X P)5.2()5.0(1)232()232(1}2{1}2{-Φ+-Φ-=--Φ+-Φ-=≤-=>X P X P=6977.06915.09938.01)5.2(1))5.0(1(1=+-=Φ-+Φ--5.05.01)233(1}3{1}3{=-=-Φ-=≤-=>X P X P)23(}{)23(1}{1}{-Φ=<=-Φ-=≤-=>c c X P c c X P c X P 所以 5.0)23(=-Φc 故 3=c 7，Y试求：（1）二维随机变量（X ，Y ）的分布律；（2）随机变量Z=XY 的分布律. 解:8. 思考题:举出几个随机变量的例子。

第三章 多维随机变量及其概率分布1.设盒子中有2个红球，2个白球，1个黑球，从中随机地取3个，用X 表示取到的红球个数，用Y 表示取到的白球个数，写出 (X, Y) 的联合分布律及边缘分布律。

2.设二维随机变量),(Y X 的联合分布律为： 试根椐下列条件分别求a 和b 的值；(1)6.0)1(==X P ； (2)5.0)2|1(===Y X P ；(3)设)(x F 是Y 的分布函数，5.0)5.1(=F 。

解: (1)6.02.01.0}1{=++==b X P ,3.0=b(2)1}1{}0{==+=X P X P ,a X P X P +===-==3.04.0}1{1}0{,1.0=a3.)(Y X 、的联合密度函数为：⎩⎨⎧<<<<+=他其010,10)(),(y x y x k y x f求（1）常数k ；（2）P(X<1/2,Y<1/2)；(3) P(X+Y<1)；(4) P(X<1/2)。

解: (1)1)(),(101==+=⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-k dxdy y x k dxdy y x f ,故1=k(2)81)(}21,21{210210=+=<<⎰⎰dxdy y x Y X P(3)31)(}1{1010=+=<+⎰⎰-xdxdy y x Y X P (4)83)(}21{21010=+=<⎰⎰dxdy y x X p4．)(Y X 、的联合密度函数为：⎩⎨⎧<<<<=他其00,10),(xy x kxy y x f求（1）常数k ；（2）P(X+Y<1)；(3) P(X<1/2)。

解: (1)1),(2100===⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-k xkxydxdy dxdy y x f ,故2=k(2) 2412}1{2101==<+⎰⎰-y yxydxdy Y X P (3) 6412}21{2100==<⎰⎰x xydxdy X p5.设(X, Y) 的联合密度函数如下，分别求X 与Y 的边缘密度函数。

+∞<<∞-+∞<<∞-++=y x y x y x f ,)1)(1(1),(222π解: )1(1)1)(1(1),()(2222x dy y x dy y x f x f X +=++==⎰⎰+∞∞-+∞∞-ππ )1(1)1)(1(1),()(2222y dx y x dx y x f y f Y +=++==⎰⎰+∞∞-+∞∞-ππ6. 设(X, Y) 的联合密度函数如下，分别求X 与Y 的边缘密度函数。

⎩⎨⎧<<=-他其00),(xy e y x f x解: x x x X xe dy e dy y x f x f --+∞∞-===⎰⎰0),()(,)0(+∞<<xy yx X e dx e dx y x f x f -+∞-+∞∞-===⎰⎰),()(,)0(+∞<<y7. (X, Y) 的联合分布律如下，试根椐下列条件分别求a 和b 的值；(1) 3/1)1(==Y P ； (2) 5.0)2|1(==>Y X P ；（3）已知X 与Y 相互独立。