2016-2017学年重庆市万州二中高二（下）3月月考数学试卷（理科）一、选择题．（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．复数z=（2+i）i在复平面内的对应点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．若f（x）=sinα﹣cosx，则f′（α）等于（）A．cosαB．sinα C．sinα+cosαD．2sinα3．下列推理是归纳推理的是（）A．A，B为定点，动点P满足|PA|+|PB|=2a＞|AB|，则P点的轨迹为椭圆B．由a1=1，a n=3n﹣1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和S n的表达式C．由圆x2+y2=r2的面积πr2，猜想出椭圆+=1的面积S=πabD．以上均不正确4．函数f（x）=的图象在（0，f（0））处的切线斜率为（）A．B．C．﹣2 D．25．曲线y=x3﹣x+2上的任意一点P处切线的斜率的取值范围是（）A．﹣，+∞）6．已知函数f（x）=﹣x3+ax2﹣x﹣1在（﹣∞，+∞）上是单调函数，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．7．设函数f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f′（x）可能为（）A．B．C．D．8．已知函数f（x）=x2﹣2cosx，则f（0），f（﹣），f（）的大小关系是（）A．f（0）＜f（﹣）＜f（） B．f（﹣）＜f（0）＜f（） C．f（）＜f（﹣）＜f（0）D．f（0）＜f（）＜f（﹣）9．若函数f（x）=x2+2x+alnx在（0，1）上单调递减，则实数a的取值范围是（）A．a≥0 B．a≤0 C．a≥﹣4 D．a≤﹣410．曲线y=e x，y=e﹣x和直线x=1围成的图形面积是（）A．e﹣e﹣1B．e+e﹣1C．e﹣e﹣1﹣2 D．e+e﹣1﹣211．已知点P在曲线y=上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（）A．上是“弱增函数”，则实数b的值为．三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，本大题共6小题，共70分.）17．已知复数z=（m2﹣8m+15）+（m2﹣9m+18）i在复平面内表示的点为A，实数m 取什么值时．（Ⅰ）z为纯虚数？（Ⅱ）A位于第三象限？18．已知函数f（x）=x3﹣12x（1）求函数f（x）的极值；（2）当x∈时，求f（x）的最值．19．设函数f（x）=2x3+3ax2+3bx+8在x=1及x=2时取得极值．（1）求a，b的值；（2）求曲线f（x）在x=0处的切线方程．20．已知函数f（x）=xlnx．（Ⅰ）求f（x）的最小值；（Ⅱ）若对所有x≥1都有f（x）≥ax﹣1，求实数a的取值范围．21．已知函数f（x）=x++lnx（α∈R）（1）求函数f（x）的单调区间与极值点；（2）若对∀α∈，函数f（x）满足对∀∈都有f（x）＜m成立，求实数m的取值范围（其中e是自然对数的底数）．22．已知函数f（x）=ln（x+1）﹣．（1）求f（x）的单调区间；（2）求曲线y=f（x）的极值；（3）求证：对任意的正数a与b，恒有lna﹣lnb≥1﹣．2016-2017学年重庆市万州二中高二（下）3月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题．（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．复数z=（2+i）i在复平面内的对应点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】由于复数z=（2+i）i=﹣1+2i，在复平面内对应点的坐标为（﹣1，2），从而得出结论．【解答】解：由于复数z=（2+i）i=﹣1+2i，在复平面内对应点的坐标为（﹣1，2），故复数z=（2+i）i在复平面内的对应点在第二象限，故选B．2．若f（x）=sinα﹣cosx，则f′（α）等于（）A．cosαB．sinα C．sinα+cosαD．2sinα【考点】63：导数的运算．【分析】求导时应注意α，x的区分．【解答】f'（x）=sinx，f'（α）=sinα．故选B．3．下列推理是归纳推理的是（）A．A，B为定点，动点P满足|PA|+|PB|=2a＞|AB|，则P点的轨迹为椭圆B．由a1=1，a n=3n﹣1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和S n的表达式C．由圆x2+y2=r2的面积πr2，猜想出椭圆+=1的面积S=πabD．以上均不正确【考点】F1：归纳推理．【分析】本题考查的是选归纳推理的定义，判断一个推理过程是否是归纳推理关键是看他是否符合归纳推理的定义，即是否是由特殊到一般的推理过程．【解答】解：A选项用的双曲线的定义进行推理，不符合要求．B选项根据前3个S1，S2，S3的值，猜想出S n的表达式，属于归纳推理，符合要求．C选项由圆x2+y2=r2的面积S=πr2，猜想出椭圆+=1的面积S=πab，用的是类比推理，不符合要求．故选：B．4．函数f（x）=的图象在（0，f（0））处的切线斜率为（）A．B．C．﹣2 D．2【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求曲线在点处得切线的斜率，就是求曲线在该点处得导数值．【解答】解：对f（x）求导数，得f'（x）=，∴f'（0）=2，即f（x）=的图象在（0，f（0））处的切线的斜率为2，故选D．5．曲线y=x3﹣x+2上的任意一点P处切线的斜率的取值范围是（）A．﹣，+∞）【考点】62：导数的几何意义．【分析】先求导函数，进而可确定导函数的范围，利用导数的几何意义，可求曲线y=x3﹣x+2上的任意一点P处切线的斜率的取值范围【解答】解：由题意，f（x）=x3﹣x+2，∴∴曲线y=x3﹣x+2上的任意一点P处切线的斜率的取值范围是，故选D．6．已知函数f（x）=﹣x3+ax2﹣x﹣1在（﹣∞，+∞）上是单调函数，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】由f（x）的解析式求出导函数，导函数为开口向下的抛物线，因为函数在R上为单调函数，所以导函数与x轴没有交点或只有一个交点，即△小于等于0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到实数a的取值范围．【解答】解：由f（x）=﹣x3+ax2﹣x﹣1，得到f′（x）=﹣3x2+2ax﹣1，因为函数在（﹣∞，+∞）上是单调函数，所以f′（x）=﹣3x2+2ax﹣1≤0在（﹣∞，+∞）恒成立，则△=，所以实数a的取值范围是：．故选B7．设函数f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f′（x）可能为（）A．B．C．D．【考点】3O：函数的图象；63：导数的运算．【分析】先从f（x）的图象判断出f（x）的单调性，根据函数的单调性与导函数的符号的关系判断出导函数的符号，判断出导函数的图象【解答】解：由f（x）的图象判断出f（x）在区间（﹣∞，0）上递增；在（0，+∞）上先增再减再增∴在区间（﹣∞，0）上f′（x）＞0，在（0，+∞）上先有f′（x）＞0再有f′（x）＜0再有f′（x）＞0故选D．8．已知函数f（x）=x2﹣2cosx，则f（0），f（﹣），f（）的大小关系是（）A．f（0）＜f（﹣）＜f（） B．f（﹣）＜f（0）＜f（） C．f（）＜f（﹣）＜f（0）D．f（0）＜f（）＜f（﹣）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；3L：函数奇偶性的性质．【分析】由f（x）=x2﹣cosx为偶函数，知f（﹣）=f（），由f（x）在（0，1）为增函数，知f（0）＜f（）＜f（），由此能比较f（0）＜f（）＜f（），的大小关系．【解答】解：∵f（x）=x2﹣2cosx为偶函数，∴f（﹣）=f（），∵f′（x）=2x+2sinx，由x∈（0，1）时，f′（x）＞0，知f（x）在（0，1）为增函数，∴f（0）＜f（）＜f（），∴f（0）＜f（﹣）＜f（），故答案选：A．9．若函数f（x）=x2+2x+alnx在（0，1）上单调递减，则实数a的取值范围是（）A．a≥0 B．a≤0 C．a≥﹣4 D．a≤﹣4【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】求出f（x）的导数，得到）=2x2+2x+a≤0在x∈（0，1）时恒成立，从而求出a的范围即可．【解答】解：∵函数f（x）=x2+2x+alnx在（0，1）上单调递减，∴当x∈（0，1）时，f′（x）=2x+2+=≤0，∴g（x）=2x2+2x+a≤0在x∈（0，1）时恒成立，∴g（0）≤0，g（1）≤0，即a≤﹣4，故选：D．10．曲线y=e x，y=e﹣x和直线x=1围成的图形面积是（）A．e﹣e﹣1B．e+e﹣1C．e﹣e﹣1﹣2 D．e+e﹣1﹣2【考点】6G：定积分在求面积中的应用．【分析】由题意可知曲线y=e x，y=e﹣x和直线x=1围成的图形面积是e x﹣e﹣x积分，然后根据积分的运算公式进行求解即可．【解答】解：曲线y=e x，y=e﹣x和直线x=1围成的图形面积，就是：∫01（e x﹣e﹣x）dx=（e x+e﹣x）|01=e+e﹣1﹣2．故选D．11．已知点P在曲线y=上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（）A．﹣1，0）即tanα∈上是“弱增函数”，则实数b的值为1．【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【分析】由“弱增函数”的定义知h（x）在（0，1）上递增，在（0，1）上递减，分别根据二次函数、“对勾函数”的单调性求出b的取值范围，二者取交集即可求得b值．【解答】解：因为h（x）在（0，1﹣3，31，+∞）上恒成立转化为不等式对于x∈1，+∞）上恒成立，即不等式对于x∈1，+∞）上的增函数，所以g（x）的最小值是g（1）=1，从而a的取值范围是（﹣∞，1，2e2l，e，2e2l，e，2e2l，e，2e2，2e2hslx3y3h，f（x）＜m成立恒成立，∴又1+2e2＞3e+1，故实数m的取值范围是（1+2e2，+∞）．22．已知函数f（x）=ln（x+1）﹣．（1）求f（x）的单调区间；（2）求曲线y=f（x）的极值；（3）求证：对任意的正数a与b，恒有lna﹣lnb≥1﹣．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）先求出函数f（x）的定义域，再求出函数f（x）的导数，求函数f（x）的单调区间即可；（2）根据函数的单调性求出函数的极值即可；（3）所证不等式等价为，而f（x）=ln（1+x）+﹣1，设t=x+1，则F （t）=lnt+﹣1，由（1）结论可得，F（t）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，从而得到证明．【解答】解：（1）∵函数f（x）=ln（x+1）﹣，∴f′（x）=﹣，由f′（x）＞0⇒x＞0；由f′（x）＜0⇒﹣1＜x＜0；∴f（x）的单调增区间（0，+∞），单调减区间（﹣1，0），（2）由（1）得：f（x）有极小值，极小值是f（0）=0；证明：（3）所证不等式等价为，而，设t=x+1，则，由（1）结论可得，F（t）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，由此F（t）min=F（1）=0，所以F（t）≥F（1）=0，即，记代入得证．2017年6月12日。