➢ 国际符号：以特征方向的对称性来表示
§1.4 晶系和Bravais格子
一、晶胞与晶胞基矢坐标系
➢ 晶胞：既能反映晶格周期性（平移对称性）又能体现晶 体的对称性特征的重复单元
➢ 晶胞基矢：a 、b 、c
c
➢ 晶胞参量：a、 b、 c、、、
b
0
a
二、晶胞基矢坐标系中的方向指数和面指数
1. 晶向指数
➢ 闪锌矿结构 典型晶体：ZnS、CdS、GaAs、
-SiC
§1.2 晶格的周期性
一、晶格与空间点阵
1. 晶格：晶体中原子（或离子）排列的具体形式
2. 空间点阵
A
B
➢ 等同点系：晶格中所有与起始点在化学、物理和 几何环境完全相同的点的集合
➢ 空间点阵：由等同点系所抽象出来的一系列在空间 中周期排列的几何点的集合体
➢格 ➢基
点：空间点阵中周期排列的几何点 元：一个格点所代表的物理实体
二、基矢和原胞 a2 0 a1
1. 格矢: Rl 2. 基矢：
任一格矢 Rl l1a1 l2 a 2 l3 a3 ，
如果所有l1、l2和l3均为整数，则称这组坐标基 a1、a 2 和a3
为基矢。对于一个空间点阵，基矢的选择不是唯一的，可 以有多种不同的选择方式。
沿晶向的位移： ua vb wc
C2 (2)
C3 (3)
C4 (4)
C6 (6)
➢ 旋转－反演轴 n （旋转与反演的复合操作）
1或i
2或m
3 = 3+i
4
6 = 3+m
➢ 旋转－反映轴 Sn（旋转与反映的复合操作）
S1或CS (m)
S2或Ci (i)
S3=C3+CS
S4
➢ 晶体中独立的对称要素：
C1 (1)、C2 (2)、C3 (3)、C4 (4)、C6 (6)、 Ci (i)、 CS (m)和 S4( 4 )
一、点对称操作 ➢ 对称操作：若一个空间图形经过一空间操作 （线性变换），其性质复原，则称此 空间操作为对称操作——正交变换
➢ 点对称操作：在对称操作过程中至少有一点保持不动 ➢ 点对称操作要素：点对称操作凭借的几何要素
点：对称中心；线：对称轴；面：对称面
二、晶体的对称轴定理
：基转角； n 360 ：对称轴的轴次
S6=C3+Ci
四、点群（32种）
➢ Schönflies符号：用主轴＋脚标表示
主轴：Cn、Dn、Sn、T和O Cn：n次旋转轴 Sn : n次旋转－反映轴 Dn：n次旋转轴加上一个与之垂直的二次轴 T： 四面体群 O： 八面体群
脚标：h、v、d h：垂直于n次轴（主轴）的水平面为对称面 v：含n次轴（主轴）在内的竖直对称面 d：垂直于主轴的两个二次轴的平分面为对称面
面心立方基矢、原胞和Wigner－Seitz原胞
4. 晶格的分类
➢ 简单晶格：每个晶格原胞中只含有一个原子， 晶格中所有原子在化学、物理和几何环境 上都是完全等同的。
例：Na、Cu、Al等晶格均为简单晶格
➢ 复式晶格：每个晶格原胞中含有两个或两个以上的 原子或离子。
简单晶格必须由同种原子组成；反之，由同种原子组成 的晶格却不一定是简单晶格。
晶体的对称轴定理：晶体中只有1，2，3，4和6五种 对称轴
C
A B
D
AE mAB
mZ
2AB cos AC AB
E
cos m
2
m 2 2 1 0 1
3600 1800 1200 900 600
n 1 2 3 4 6
三、晶体中八种独立的对称要素 ➢ 旋转对称轴 Cn （真旋转）
C1 (1)
第一章 晶体结构
§1.1 几种常见的晶体结构
一、晶体的定义
➢ 晶 体: 组成固体的原子（或离子）在微观上的 排列具有长程周期性结构
➢ 非晶体：组成固体的粒子只有短程序，但无长程 周期性
➢ 准 晶: 有长程的取向序，沿取向序的对称轴方向 有准周期性，但无长程周期性
规则网络
无规网络
准晶
Al65Co25Cu10合金
二、几种常见的晶体结构 1. 元素晶体 a. 密堆积：
一维 二维
二维正方结构
二维密排结构
三维 ➢ 密排六方（ hexagonal close-packed, hcp ）结构
排列方式： ABABAB (六方密堆积)
典型晶体：Be、Mg、Zn、Cd、Ti
➢ 面心立方（face-centered cubic, fcc）堆积 排列方式： ABCABC (立方密堆积)
配位数：一个原子周围最近邻原子的数目
如：对于密堆积（hcp和fcc）配位数为12； 对于体心立方（bcc）配位数为8 等。
堆积系数 ＝
晶胞中原子所占的体积 晶胞体积
2. 简单化合物晶体
➢ NaCl结构 典型晶体：NaCl、LiF、 KBr
NaCl结构中的八面体位置
➢ CsCl结构 典型晶体：CsCl、CsBr、CsI
a2 0 a1
3. 原胞 ➢ 空间点阵原胞 • 空间点阵最小的重复单元 • 每个空间点阵原胞中只含有一个格点 • 对于同一空间点阵，原胞有多种不同的取法，但
原胞的体积均相等
原胞体积： va a1 a 2 a 3
➢ 晶格原胞＝空间点阵原胞＋基元
➢ Wigner-Seitz原胞（对称原胞）
体心立方的基矢和Wigner－Seitz原胞
如：金刚石、Mg、Zn 、 C60和NaCl等晶格都是复式晶格
1 2
3
1
1
4
41
2
1
32
4
4
1 2
11 3
1
42 4
4
3
1
4
1
3
4 14
2
2
1
3
1
4
4
4
1 2
三、倒格子
倒格子的定义：
ai b j 2ij
i, j=1, 2, 3
b1
2 a 2 a3
a1 a2 a3
2 a 2 a3
va
典型晶体：Ca、Sr、Al、Cu、Ag
b. 较松散的堆积 ➢ 体心立方（body-centered cubic, bcc）
堆积
典型晶体：Li、Na、K、-Fe
➢ 简单立方（simple cubic, sc）堆积
➢ 金刚石结构
0
1 2
0
3
1
4
4
1 2
0
1 2
1
3、Si、Ge
b2
2 a3 a1
a1 a2 a3
2 a3 a1
va
b3
2 a1 a 2
a1 a2 a3
2 a1 a 2
va
倒格矢：Gn n1b1 n2 b2 n3b3 ， n1、n2、n3都是整数。
倒格子原胞体积：
vab 8 3
b b1 b2 b3
Rl G n 2 h h为整数
§1.3 晶体的宏观对称性