一、 名词解释1．误差：设*x 为准确值x 的一个近似值，称**()e x x x =-为近似值*x 的绝对误差，简称误差。

2．有效数字：有效数字是近似值的一种表示方法，它既能表示近似值的大小，又能表示其精确程度。

如果近似值*x 的误差限是1102n -⨯，则称*x 准确到小数点后n 位，并从第一个不是零的数字到这一位的所有数字均称为有效数字。

3. 算法：是指解题方案的准确而完整的描述，是一系列解决问题的清晰指令，算法代表着用系统的方法描述解决问题的策略机制。

计算一个数学问题，需要预先设计好由已知数据计算问题结果的运算顺序，这就是算法。

4. 向量范数：设对任意向量n x R ∈，按一定的规则有一实数与之对应，记为||||x ，若||||x 满足（1）||||0x ≥，且||||0x =当且仅当0x =； （2）对任意实数α，都有||||||x αα=||||x ； （3）对任意,n x y R ∈，都有||||||||||||x y x y +≤+ 则称||||x 为向量x 的范数。

5. 插值法：给出函数()f x 的一些样点值，选定一个便于计算的函数形式，如多项式、分段线性函数及三角多项式等，要求它通过已知样点，由此确定函数()x ϕ作为()f x 的近似的方法。

6相对误差：设*x 为准确值x 的一个近似值，称绝对误差与准确值之比为近似值*x 的相对误差，记为*()r e x ，即**()()r e x e x x=7. 矩阵范数：对任意n 阶方阵A ，按一定的规则有一实数与之对应，记为||||A 。

若||||A 满足（1）||||0A ≥，且||||0A =当且仅当0A =； （2）对任意实数α，都有||||||A αα=||||A ；（3）对任意两个n 阶方阵A,B,都有||||||||||||A B A B +≤+； （4）||||||||AB A =||||B称||||A 为矩阵A 的范数。

8． 算子范数：设A 为n 阶方阵，||||•是n R 中的向量范数，则0||||||||||||maxx Ax A x ≠=是一种矩阵范数，称其为由向量范数||||•诱导出的矩阵范数，也称算子范数。

9. 矩阵范数与向量范数的相容性：对任意n 维向量x ，都有||||||||Ax A ≤ ||||x这一性质称为矩阵范数与向量范数的相容性。

10. 1-范数，∞-范数和2-范数： （1）1-范数 11||||||ni i x x ==∑（2）∞-范数 1||||max{||}i i nx x ∞≤≤=（3）2-范数 221||||x x =+二、简答题1．高斯消元法的思想是：先逐次消去变量，将方程组化成同解的上三角形方程组，此过程称为消元过程。

然后按方程相反顺序求解上三角形方程组，得到原方程组的解，此过程称为回代过程。

2. 迭代法的基本思想是：构造一串收敛到解的序列，即建立一种从已有近似解计算新的近似解得规则，由不同的计算规则得到不同的迭代法。

3. 雅可比（Jacobi ）迭代法的计算过程（算法）： （1）输入()ij A a =，1(,,)n b b b =，维数n ，(0)(0)(0)(0)12(,,,)n x x x x =，ε，最大容许迭代次数N 。

（2）置1k = （3）对1,2,,i n = (0)1()/ni i ij j ii j j i x b a x a =≠=-∑（4）若(0)x x ε-<，输出x 停机；否则转5。

（5）k N <，置(0)1,(1,2,,)i i k k x x i n +⇒⇒=，转3，否则，输出失败信息，停机。

4. 插值多项式的误差估计：（P102）由(1)(1)101()()()()()()()(1)!(1)!n n n n n f f R x x x x x x x x n n ξξω+++==---++当(0,1,,)i x x i n ==时，上式自然成立，因此，上式对[,]a b 上的任意点都成立，这就叫插值多项式的误差估计。

5. 反幂法的基本思想：设A 为阶非奇异矩阵，λ，u 为A 的特征值和相应的特征向量，则1A - 的特征值是A 的特征值的倒数，而相应的特征向量不变，即11A u u λ-=因此，若对矩阵1A -用幂法，，即可计算出1A -的按模最大的特征值，其倒数恰为A 的按模最小的特征值。

6. 雅可比（Jacobi ）迭代法是：选取初始向量(0)x 代入迭代公式(1)()k k i x Bx g +=+ (0,1,2,)k =产生向量序列(){}k x ，由上述计算过程所给出的迭代法。

7. 数值计算中应注意的问题是： （1）避免两个相近的数相减 （2）避免大数“吃”小数的现象（3）避免除数的绝对值远小于被除数的绝对值 （4）要简化计算，减少运算次数，提高效率 （5）选用数值稳定性好的算法8. 高斯消去法的计算量：由消去法步骤知，在进行第k 次消元时，需作除法n k -次，乘法()n k -(1)n k -+次，故消元过程中乘除运算总量为乘法次数121()(1)(1)3n k n n k n k n -=--+=-∑ 除法次数11()(1)2n k nn k n -=-=-∑在回代过程中，计算k x 需要(1)n k -+次乘除法，整个回代过程需要乘除运算的总量为1(1)(1)2nk nn k n =-+=+∑，所以，高斯消去法的乘除总运算量为 322(1)(1)(1)32233n n n n n N n n n n =-+-++=+-9. 迭代法的收敛条件：对任意初始向量(0)x 和右端项g ，由迭代格式(1)()k k x Mx g +=+ (0,1,2,)k =产生的向量序列(){}k x 收敛的充要条件是()1M ρ<。

10. 迭代法的误差估计：设有迭代格式(1)()k k x Mx g +=+，若||||1M <，(){}k x 收敛于*x ，则有误差估计式()*(1)(0)||||||||||||1||||Kk M x x x x M -≤--。

二、 计算题1.假定运算中数据都精确到两位小数，试求*1.21 3.659.81x =⨯-的绝对误差限和相对误差限，计算结果有几位有效数字？解：由式12121212121212()()()()()()r r r e x x e x e x x x e x x e x e x x x x x ±=±⎧⎪⎨±=±⎪±±⎩和1221121212()()()()()()r r r e x x x e x x e x e x x e x e x ≈+⎧⎨≈+⎩得 *() 3.65(1.21) 1.21(3.65)(9.81)e x e e e =⨯+⨯-因为式中数据都精确到两位小数，即其误差限均为21102-⨯，故有*|()| 3.65|(1.21)| 1.21|(3.65e x e e ≤⨯+⨯***|()|0.0293|()|0.0054|| 5.3935r e x e x x =≤= 所以，*x 的绝对误差限为0.0293，相对误差限为0.0054，计算结果有两位有效数字。

2.求矩阵223477245A ⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的三角分解。

21(3.65 1.211)100.02932-≤++⨯⨯=解：由式111111(1,2,,)(2,,,,,)()/(1,2,,1,1,,)j j i ij ij ik kjk j ij ij ik kj jjk u a j n u a l u i n j i n l a l u u j n i j n -=-=⎧⎪==⎪⎪=-==⎨⎪⎪=-=-=+⎪⎩∑∑，12122u a ==，13133u a ==2121114/22l a u ===，3131112/12l a u -===- 222221127223u a l u =-=-⨯=，232321137231u a l u =-=-⨯=3232311222()/[4(1)2]/32l a l u u =-=--⨯= 333331133223()5[(1)321]6u a l u l u =-+=--⨯+⨯=所以100223210031121006A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦3．用幂法（2k =）求矩阵210021012A -⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的按模最大的特征值和相应的特征向量。

取(0)(0,0,0)Tx =. （P 77）解：(0)(0)(0,0,1)T y x ==(1)(0)(0,1,2)T x Ay ==-, 2α=(1)(1)(0,0.5,1)T x yα==-(2)(1)(0.5,2,2.5)T x Ay ==-， 2.5α=4. 已知函数ln y x =，x 的值是10,11,12,13,14对应的ln y x =的值分别是 2.3026，2.3979, 2.4849, 2.5649, 2.6391。

用Lagrange 线性插值求ln11.5的近似值。

解：取两个节点011x =，112x =，插值基函数为1001()(12)x x l x x x x -==--- 0110()11x x l x x x x -==-- 由式011010110()x x x x x y y x x x x ϕ--=+--得 1() 2.3979(12) 2.4849(11)L x x x =--+-将x=11.5代入，即得1ln11.5(11.5) 2.39790.5 2.48490.5 2.4414L ≈=⨯+⨯=按式(1)1()()()(1)!n n n f R x x n ξω++=+ (,)a b ξ∈得 "1(ln )()(11)(12)2!x R x x x ξ=--因为"21(ln )x x=-，ξ在11和12之间，故 "2211|(ln )|0.008264511x ξξ=≤= 于是311|(11.5)|0.00826450.50.5 1.03306102R -≤⨯⨯⨯=⨯5. 用Jacobi 迭代法（1k =）求解线性方程组1231231231027210283542x x x x x x x x x --=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩ .解：由Jacobi 迭代法得计算公式(1)()11nk k iiij j j iiiij ib xa x a a +=≠=-+∑得 (1)()()123(1)()()213(1)()()3120.10.27.20.10.28.30.20.28.4k k k k k k k k k x x x x x x x x x +++⎧=++⎪=++⎨⎪=++⎩ 取(0)(0,0,0)T x =，代入上式得(1)17.2x = (1)28.3x = (1)38.4x =(2)10.18.30.28.47.29.71x =⨯+⨯+=(2)20.17.20.28.48.310.70x =⨯+⨯+=(2)30.27.20.28.38.411.50x =⨯+⨯+=6. 设有方程组Ax b =，其中111221112211122A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，讨论用Jacobi 迭代法求解的收敛性。