初三数学第一学期期末质量评估试卷（满分：150分考试时间：100分钟）考生注意：l ．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答 题一律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证 明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答 题纸的相应位置上，】（闸北2012一模1）三角形的重心是三角形的（ ）A ．三条角平分线的交点；B ．三条中线的交点；C ．三条高的交点；D ．三条中位线的交点． 【正确答案】B .（闸北2012一模2）如图，在△PMN 中，点Q 、R 分别在PN 、MN 边上，若QR ∥PM ，则下列比例式中，一定正确的是（ ）A ．::QN PQ MR RN =；B ．::PM PN QR QN =；C ．::QR PM NR RM =；D ．::MR MN QN PN =．【正确答案】B .（闸北2012一模3）在Rt △ABC 中，90C ︒∠=，12AC =，5BC =，那么sinA 等于（ ）A ．513； B ．1213； C ．512； D ．125【正确答案】A .（闸北2012一模4）在Rt △ABC 中，90B ︒∠=，A α∠=，BD 是斜边AC 上的高，那么（ ）A ．AC BC sin α=⋅；B ．AC AB cos α=⋅；C ．BC AC tan α=⋅；D ．BD CD cot α=⋅． 【正确答案】D .（闸北2012一模5）下列二次函数中，图象的开口向上的是（ ）A ．216y x x =--；B ．281y x x =-++；C ．()()15y x x =-+；D ．()225y x =--．【正确答案】B .（闸北2012一模6）下列说法中，错误的是（ ）A ．二次函数()20y ax bx c a =++>的图象是开口向上的抛物线；B ．二次函数()210y ax a =+≠的图象必在x 轴上方；C ．二次函数图象的对称轴是y 轴或与y 轴平行的直线；D ．二次函数图象的顶点必在图象的对称轴上． 【正确答案】B .二、填空题：(本大题共12题，每题4分，满分48分)（闸北2012一模7）若:7:3x y =，则():x y y +的值为 ．【正确答案】10：3.（闸北2012一模8）己知：线段MN 的长为20厘米，点P 是线段MN 的黄金分割点，则较长线段MP 的长是 厘米．【正确答案】10.（闸北2012一模9）在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，DE ∥BC ，9AB =，3BD =，5AE =，则AC ＝ ． 【正确答案】7.5.（闸北2012一模10）如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90A ︒∠=，BD DC ⊥，如果2AD =，8BC =，那么BD = ．【正确答案】4.（闸北2012一模11）如果0k =，而0a ≠ ，那么ka= ． 【正确答案】0.（闸北2012一模12）计算：6045cos cot +=． 【正确答案】23.（闸北2012一模13）如图三，直升飞机在离水平地面600米的上空A 处测得地面目标点B 的俯角为60︒，此时A 处与目标点B 之间的距离是 米．【正确答案】（闸北2012一模14）若一段斜坡的坡度为，则这段斜坡的坡角等于 （度）． 【正确答案】30°.（闸北2012一模15）已知二次函数()2211y m x x m =-++-的图像经过原点，则m = ．【正确答案】－114.（闸北2012一模16）将抛物线23y x =向下平移6个单位，所得到的抛物线的表达式是 ． 【正确答案】236y x =-.（闸北2012一模17）广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y （米）关于水珠与喷头的水平距离x （米）的函数解析式是()2510042y x x x =-+≤≤．水珠可以达到 的最大高度是 （米）． 【正确答案】10.（闸北2012一模18）在△ABC 中，AD BC ⊥于点D ，20AB cm =，15AC cm =；12AD cm =，点 E 在AB 边上，点F 、G 在BC 边上，点H 不在△ABC 外．如果四边形EFGH 是符合要求的最大的正 方形，那么它的边长是 cm ． 【正确答案】3或37300.三、解答题：（本大题共12题，满分78分）19．(本题满分10分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分3分，第（3）小题满分3分）已知：二次函数2y a x b x c =++的图像经过点()1,0、()2,10、()2,6--．（1）求这个抛物线的解析式；（2）运用配方法，把这个抛物线的解析式化为()2y a x m k =++的形式，并指出它的顶点坐标； （3）把这个抛物线先向右平移4个单位，再向上平移6个单位，求平移后得到的抛物线与y 轴交点的坐标．【正确答案】解:（1）根据题意得：04210426a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=-⎩，可以解得246a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩. （2+1分）∴这个抛物线的解析式是2246y x x =+-. （1分）解:（2）222462(2)6y x x x x =+-=+-， 22(21)26y x x =++--， ∴22(1)8y x =+-. （2分） ∴顶点坐标是(1,8)--. （1分）解:（3）平移后得到的抛物线的解析式是22(3)2y x =--. （2分）令0x =，则16y =，∴它与y 轴的交点的坐标是（0,16）. （1分）20．（本题满分10分）已知：如图，在△ABC 中，A D B C ⊥于点D ，点E 是AB 边的中点．△ABC 的面积为126， 21BC =，20AC =．求： （1）sinC 的值；（2）cot ADE ∠的值． 【正确答案】解：（1）由条件得12ABC S AD BC ∆=⋅， ∴1126212AD =⨯. ∴12AD =. （2分） ∵20AC =，∴35AD sinC AC ==. （2分）解：（2）在Rt ADC ∆中，∵20AC =，12AD =，∴16CD =. （2分） ∵21BC =，∴5BD =. （1分） 在Rt △ADB 中，∵点E 是边AB 的中点，∴E D E A =， （1分）125AD cot ADE cot BAD BD ∠=∠==. （2分）21．（本题满分10分）已知：如图，在平行四边形A B C D 中，点E 、F 在AD 边上，且A E E F F D ==，BE 与AC交于点G ，设GB a = ，GC b = ，试用a 、b 的线性组合表示向量BC 、AB 、FC．【正确答案】解：（1）∵GB a = ，GC b =∴BC GC GB b a =-=-. （2分）解：（2）∵在平行四边形ABCD 中，AD BC =，AD ∥BC ， ∵AE EF FD ==，∴::1:3AG CG AE BC ==. （1分）∴13AG CG =. ∴1133AG GC b ==. （1分）∴13AB AG GB b a =+=+. （2分）解：（3）∵2233AF AD BC ==，∴()2233AF BC b a ==- . （1分）∵1133AG GC b == .∴34AC AG GC b =+=. （1分）∴()()322433FC AC AF b b a b a =-=--=+ . （2分）22．（木题满分10分）已知：如图，在坡度为1:2.4i =的斜坡BQ 上有一棵香樟树PQ ，柳明在A 处测得树顶点P 的仰角为α，并且测得水平的8AB =米，另外13BQ =米，0.75tan α=．点A 、B 、P 、Q 在同一平面上，PQ AB ⊥．求：香樟树PQ 的高度．【正确答案】解：延长PQ 交直线DB 于点H . (1分)∵在Rt △QBH 中，:1:2.4QH BH =. (2分) ∴设 2.4QH xBH x ==，∵13BQ =米，∴()2222.413x x +=. （1分）∴5x =.∴5QH =（米），12BH =（米）. （2分） ∵8AB =（米）， ∴20AH =（米）. ∵0.75tan α=，∴0.75PHAH =. （2分） 即0.7520PH =，∴15PH =（米）.∴15510PQ PH QH =-=-= (米) （2分）23．(本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题8分）已知：如图，在四边形ABCD 中，BD 平分ABC ∠，与AC 交于点E ，2AD BD ED =⋅．（1）求证：△ADE ∽△BDA（2）如果10BA =，12BC =，15BD =，求BE 的长．【正确答案】（1）证明：∵2AD BD ED =⋅，∴ADBDED AD =. （2分） ∵ADE BDA ∠=∠，∴△AED ∽△BDA . （2分）（2）解：∵△AED ∽△BDA ，∴B A D A E D ∠=∠. （2分） ∵AED BEC ∠=∠，∴BAD BEC ∠=∠. （1分） ∵BD 平分ABC ∠，即EBC ABD ∠=∠，∴△EBC ∽△ABD . （2分） ∴BABEBD BC =. （1分） ∵10BA =，12BC =，15BD =， ∴101512BE =， ∴8BE =. （2分）24．（本题满分12分，每小题满分各4分）已知：如图，直线15y x =-与x 轴、y 轴分别相交于点A 和点B ．抛物线213y x b x c =-++ 经过A 、B 两点．（1）求这个抛物线的解析式；（2）若这抛物线的顶点为点D ，与x 轴的另一个交点为点C ．对称轴与x 轴交于点H ，求△DAC 的面积；（3）若点E 是线段AD 的中点．CE 与DH 交于点G ，点P 在y 轴的正半轴上，△POH 是否能够与 △CGH 相似？如果能，请求出点P 的坐标；如果不能，请说明理由．【正确答案】解：（1）直线15y x =-与x 轴、y 轴的交点()15,0A 和点()0,15B - （1分）由已知，得2115150315b c c ⎧-⨯++=⎪⎨⎪=-⎩，可以解得615b c =⎧⎨=-⎩. （2分） ∴抛物线的解析式为1516312-+-=x x y . （1分）解：（2）抛物线的解析式可变形为()129312+--=x y ， （1分）所以顶点坐标为（9，12）. （1分） 设0y =，则()2191203x --+=， ∴()2936x -=. ∴123,15x x ==，所以点C 的坐标为（3，0）. （1分）所以7212122121=⨯⨯=⋅=AC DH S DAC △. （1分） 解：（3）因为点E 是线段AD 的中点，点H 是线段AC 的中点，∴点G 是△DAC 的重心.如图，∴143GH DH ==，∴9HO =，6CH =. （1分） 设△POH ∽△GHC 时，::PO GH HO CH =， 即:49:6PO =∴()10,6P . （2分） △POH ∽△CHG 时，::PO CH HO GH =， 即:69:4PO =， ∴272PO =. ∴2270,2P ⎛⎫⎪⎝⎭. （1分） ∴△POH 能够与△CHG 相似，相似时点P 的坐标为()10,6P 或2270,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭.25．(本题满分l4分，第（l ）小题满分4分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分6分） 已知：如图1，在Rt △OAC 中，AO OC ⊥，点B 在OC 边上，6OB =，12BC =，90ABO C ︒∠+∠=．动点M 和N 分别在线段AB 和AC 边上．（l ）求证△AOB ∽△COA ，并求cosC 的值；（2）当4AM =时，△AMN 与△ABC 相似，求△AMN 与△ABC 的面积之比；（3）如图2，当MN ∥BC 时，将△AMN 沿MN 折叠，点A 落在四边形BCNM 所在平面的点为点E ．设=MN x ，△EMN 与四边形BCNM 重叠部分的面积为y ，试写出y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．图一 图二 【正确答案】 解：（1）∵AO ⊥OC ，∴∠ABO +∠BAO =90°. ∵∠ABO +∠C =90°，∴∠BAO =∠C . （1分） ∵∠ABO =∠COA ，∴△AOB ∽△COA . （1分） ∵6OB =，12BC =， ∴6::18OA OA =.∴OA =（1分）∴AC ===.∴OC cosC AC ===. （1分）解：（2）∵OC cosC AC ===， ∴︒=∠30C .∵6OA tan ABO OB ∠=== ∴︒=∠60ABO ， （1分） ∴︒=∠30BAC .∴12AB BC ==. （1分）①当∠AMN =∠B 时，（如图）△AMN ∽△ABC .∵4AM =，∴2222::4:121:9AMN ABC S S AM AB ===△△. （1分） ②当∠AMN =∠C 时，（如图）△AMN ∽△ACB . ∵4AM =，∴2222::4:121:9AMN ABC S S AM AB ===△△. ∵4AM =，∴(2222::4:1:27AMN ABC S S AM AC ===△△.（1分）解：（3）可以求得：33612362121=⨯⨯=⋅=∆BC AO S ABC . ∵MN ∥BC ，∴△AMN ∽△ABC . ∴22:AMN ABC S S MN BC ∆∆=：.∴22::12AMN S x ∆=.∴2AMN S ∆=. （1分） ①当EN 与线段AB 相交时，设EN 与AB 交于点F （如图）， ∵MN ∥BC ，∴o30ANM C ∠=∠=. ∴ANM BAC ∠=∠. ∴AM MN x ==.∵将△AMN 沿MN 折叠， ∴o 30ENM ANM ∠=∠=. ∴o90AFN ∠=.∴111222MF MN AM x ===. （1分） ∴::FMN AMN S S MF AM ∆∆=.∴21:1:22y x x ==.∴2(08)y x =<≤. （解析式1+定义域1分）②当EN 与线段AB 不相交时，设EN 于BC 交于点G （如图）， ∵MN ∥BC∴::CN AC BM AB =.∴(12):12CN x =-.∴CN =. （1分） ∵CNG CBA ∆∆∽，∴22:CNG ABC S S CN BC ∆∆=：.∴22:):12CNG S ∆=.∴2)CNG S ∆=.∴22)ABC AMN CNG S S S S ∆∆∆=--=阴.即212)y x =+-<<. （1分）说明：①当EN 与线段AB 相交时，用计算MN 边上高的方法求y 时，求出高为x 341，得1分；当EN 与线段AB 不相交时，用梯形面积公式求y 时，求出梯形上底为()324x -，得1分.②定义域错一个，不扣分；两个全错，扣1分.。