大切应力不得超过40MPa,空心圆轴
的内外直径之比 = 0.5。二轴长
度相同。
求: 实心轴的直径d1和空心轴的外 直径D2；确定二轴的重量之比。
解： 首先由轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩
实心轴
Mx
T
9549
P n
9549 7.5 100
716.2N m
max1
MT x
WP1
16MT x
§6-4 圆轴扭转切应力
一、圆轴扭转时横截面上的应力
变形几何关系 从三方面考虑：物理关系
静力学关系
1.变形几何关系
观察到下列现象: (1)各圆周线的形状、大小以及两圆周线间的距
离没有变化 (2)纵向线仍为直线, 但都倾斜了同一角度γ （3）表面方格变为平行四边形。
平面假设： 变形前为平面的横截面变形后仍为平面，它
mn
a
a
b
b
mn
M
M
根据观察，梁变形后： 1. 侧面上的两纵向线 aa ， bb 弯成弧线； 2. 横向线 mm , nn 仍为直线，但相对转了一个角度且
与弯曲后的 aa ，bb垂直； 3. 靠近底面的纵线 bb 伸长，而靠近顶面的纵线 aa 缩短；
mn
a
a
b
b
mn
(a)
M
m
a
b m
M
n a b n
所以，在梁的横截面上一般既有 正应力，又有 剪应力
dA dA
dA dA M dA Q dA Q dA M
M Q
在横截面上，只有法向内力元素dN=σdA才能 合成弯矩M，只有切向内力元素dQ=τdA才能 合成剪力Q
6.5 梁的弯曲正应力
1.纯弯曲的概念
梁段CD上，只有弯矩，没有剪力－－纯弯曲 梁段AC和BD上，既有弯矩，又有剪力－－横力弯曲
像刚性平面一样绕轴线旋转了一个角度。
d
dx rd
r d
dx
在圆轴表面 r d
dx
横截面上距形心为的任一点处应变
dx d
d
dx
2. 物理关系
根据剪切胡克定律, 当剪应力不超过材料 的剪切比例极限时
G
G d
dx
剪应力方向垂直于半径
3.静力学关系
dA
dA T
A
A
G
d
(b)
梁在纯弯曲时的平面假设：
梁的各个横截面在变形后仍保持为平面， 并仍垂直于变形后的轴线，只是横截面绕某一 轴旋转了一个角度。
再作单向受力假设：假设各纵向纤维之间 互不挤压。于是各纵向纤维均处于单向受拉或 受压的状态。
推论： 梁在弯曲变形时，上面部分纵向纤维缩短，
下面部分纵向纤维伸长，必有一层纵向纤维既 不伸长也不缩短,保持原来的长度，这一纵向纤 维层称为中性层。
上式只能用于定性分析，而不能用于定量计算：
1）由于中性轴z的位置未确定，故y无法标定； 2）式中未知，（若已知M，与M有何关系？）
三、静力学关系 设中性轴为z
N dA 0
A
M y z dA 0
A
Mz y dA M
A
y
z dA
N dA 0
A
A
E
y
dA
0
E
A
ydA
0
ydA Sz yc A 0 中性轴Z必过截面形心
d /2
d /2
I p 2dA 2 2 d 2 3d
A
2
d 2
4
0
d
4
4 32
0
d
Wp
Ip
max
Ip d
d3
16
o
2
对于空心圆，外径为D，内径为d
I p
2dA
A
D/2
22
d /2
d
(D4 d 4)
32
D4 (1 4 )
32
Wp
Ip
max
Ip D
2
D3 (1 4 )
中性层与横截面的交线称为中性轴
横截面的 对称轴
横截面
中性层
中性轴
C d
O
O
dx
中性层
中性轴
中性层
将梁的轴线方向取为 x 轴， 横截面的对称轴取为 y 轴， 中性轴取为 z 轴。
Z
O
x
y
C d
O
O
dx
纯弯曲梁的正应力
二、物理关系
胡克定理 E
E y
目录
二、物理关系
E
E
y
正应力与它到中性层的距离成正比，中性层上的 正应力为零
作用于物体某一局部区域内的外力系，可 以用一个与之静力等效的力系来代替。而两力 系所产生的应力分布只在力系作用区域附近有 显著的影响，在离开力系作用区域较远处，应 力分布几乎相同
应力集中的概念
• 在局部区域应力突然增大的现象，称 为应力集中。
横截面上的最大应力max与平均应力n 的比值称为应力集中系数，以K表示。
dx
dA
T
dA
o
G
d
dx
2dA
T
A
令 I p 2dA
A
I p 2dA 极惯性矩
A
则 d T
dx G I p
d T
dx G I p
G
d
dx
G T
GIp
T
Ip
max
T max
Ip
T Wp
Wp
I p 抗扭截面模量
max
T I
p
max
T Wp
max
max
下面求极惯性矩I p 和抗扭截面模量Wt
解：（1）作弯矩图，求最大弯矩 梁的弯矩图如图5-8b所示，由图知 梁在固定端横截面上的弯矩最大，
其值为
M ql 2 600012 3000N m
max
2
2
（2）求最大应力
因危险截面上的弯矩为负，故截 面上缘受最大拉应力，其值为
在截面的下端受最大压应力，其值 为
T max
M max Iz
y1
解：
A
TA
Ip
1000 0.015 0.044 (1 0.54 )
63.66MPa
32
max
T Wp
1000
0.043 (1 0.54 )
84.88MPa
16
min
max
10 20
42.44 MPa
圆轴扭转时截面上的应力计算
例2：在最大切应力相同的条件下，用d/D=0.5的空心圆
剪应力互等定理 : 在相互垂直的两个平面上, 剪应力一定成对出现，其数值相等，方向同 时指向或背离两平面的交线。
G
其中，比例常数G 称为切变模量。常用单位GPa
剪切弹性模量G 材料常数：拉压明:E、G、μ 三个弹 性常数之间存在着如下关系
G E
2(1 )
3000 25.6 108
0.0152
178106 Pa 178MPa
C max
M max Iz
y2
3000 25.6 108
0.0328
385106 Pa 385MPa
惯性矩的计算 一、简单截面的惯性矩的计算
矩形：
dy
I z
y 2dA
A
y
h/2
y2bdy
h / 2
bh 3
Iy
2Iz
d 4
32
Iz
Iy
Iz 2
d 4 )
64
圆环：
I y I z I z大 I z小
D4 d 4
64 64
D4 (1 4 )
64 其中 d
D
y
x d D
bh3 I Z 12
W bh2 6
d4
I Z 64
W d3
32
IZ
(D4 d 4)
64
D4
64
(1 4 )
2.纯弯曲时的正应力 变形几何关系
从三方面考虑： 物理关系 静力学关系
一、变形几何关系 用较易变形的材料制成的具有对称截面(如
矩形截面)等直梁作纯弯曲试验:
几何方面 取纯弯曲梁来研究。梁的任一横截面上只有弯矩M。梁 在加载前先在其侧面上画两条相邻的横向线 mm 和 nn , 并在两横向线间靠近顶面和底面处分别画两条纵向线 aa 和 bb 。
胡克定律
• 实验结果表明，在弹性范围内加载（应力 小于某一极限值）
E
和
G
E 弹性模量（或杨氏模量）
G 切变模量
E
G
6.3轴向拉压时的正应力
F
F
平面假设：变形前为平面的横截面变 形后仍为平面
平面假设——轴向变形均匀分布
1)只有轴向正应力 2)正应力在横截上均匀分布
FN
A
圣维南(Saint Venant)原理：
EI z
正应力计算公式：
My
Iz
1）沿y轴线性分布，同一 坐标y处，正应力相等。中 性轴上正应力为零。
2）中性轴将截面分为受 拉、受压两个区域。
3）最大正应力发生在距 中性轴最远处。
横截面上的最大正应力：
t
M y1 IZ
,
c
M y2 IZ
当中性轴是横截面的对称轴时：
y1 y2 ymax
t c max
max
M ymax IZ
M W
W Iz ym ax
W 称为抗弯截面模量
公式适用条件： 1）符合平面弯曲条件（平面假设， 横截面具有一根对称轴） 2）p(材料服从虎克定律）
例 图5-8所示，一受均布载荷的悬臂梁，其长l=1m，均布载荷集度q=6kN/m； 梁由10号槽钢制成，由型钢表查得横截面的惯性矩Iz=25.6cm4。试求此梁的最大 拉应力和最大压应力。