分式知识点及题型一、分式的定义：一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子BA叫做分式，A 为分子，B 为分母。

二、与分式有关的条件①分式有意义：分母不为0（0B ≠） ②分式无意义：分母为0（0B =） ③分式值为0：分子为0且分母不为0（⎩⎨⎧≠=0B A ）④分式值为正或大于0：分子分母同号（⎩⎨⎧>>00B A 或⎩⎨⎧<<00B A ） ⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（⎩⎨⎧<>00B A 或⎩⎨⎧><0B A ）⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B ）⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）三、分式的基本性质分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。

字母表示：C B C ••=A B A ，CB C ÷÷=A B A ，其中A 、B 、C 是整式，C ≠0。

拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变， 即：BB A B B --=--=--=AA A 注意：在应用分式的基本性质时，要注意C ≠0这个限制条件和隐含条件B ≠0。

四、分式的约分1．定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。

2．步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。

3．注意：①分式的分子与分母均为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。

②分子分母若为多项式，先对分子分母进行因式分解，再约分。

4．最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。

◆约分时。

分子分母公因式的确定方法：1)系数取分子、分母系数的最大公约数作为公因式的系数. 2)取各个公因式的最低次幂作为公因式的因式.3)如果分子、分母是多项式,则应先把分子、分母分解因式,然后判断公因式.五、分式的通分1．定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。

（依据：分式的基本性质！）2．最简公分母：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。

◆通分时，最简公分母的确定方法：1．系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数. 2．取各个公因式的最高次幂作为最简公分母的因式.3．如果分母是多项式,则应先把每个分母分解因式,然后判断最简公分母. 六、分式的四则运算与分式的乘方 ① 分式的乘除法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。

式子表示为：db ca d cb a ••=• 分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

式子表示为：cc ••=•=÷b da db a dc b a② 分式的乘方：把分子、分母分别乘方。

式子表示为：n n nb a b a =⎪⎭⎫⎝⎛③ 分式的加减法则：同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。

式子表示为：c ba cb ±=±c a 异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。

式子表示为：bdbcad d c ±=±b a整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为1的分式，再通分。

④ 分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的，也要注意灵活，提高解题质量。

注意：在运算过程中，要明确每一步变形的目的和依据，注意解题的格式要规范，不要随便跳步，以便查对有无错误或分析出错的原因。

加减后得出的结果一定要化成最简分式（或整式）。

七、整数指数幂① 引入负整数、零指数幂后，指数的取值范围就推广到了全体实数，并且正正整数幂的法则对对负整数指数幂一样适用。

即：n m n m a a +=⋅a ()mn nma a = ()n n nb b a a = n m n m a a -=÷a （0≠a ）n n b a b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛nn a 1=-na 0≠a ） 10=a （0≠a ） （任何不等于零的数的零次幂都等于1）其中m ，n 均为整数。

八、分式方程的解的步骤：⑴去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。

（产生增根的过程） ⑵解整式方程，得到整式方程的解。

⑶检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：如果最简公分母为0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为0，则是原方程的解。

产生增根的条件是：①是得到的整式方程的解；②代入最简公分母后值为0。

九、列分式方程——基本步骤： ① 审—仔细审题，找出等量关系。

② 设—合理设未知数。

③ 列—根据等量关系列出方程（组）。

④ 解—解出方程（组）。

注意检验 ⑤ 答—答题。

分式典型例题一、分式（一）从分数到分式题型1：考查分式的定义例：下列式子中，y x +15、8a 2b 、-239a 、yx b a --25、4322b a -、2-a 2、m 1、65xyx 1、21、212+x 、πxy 3、yx +3、ma 1+中分式的个数为（ ） （A ） 2 （B ） 3 （C ） 4 (D) 5 练习题：（1）下列式子中，是分式的有 .⑴275x x -+； ⑵ 123x -；⑶25a a -；⑷22x x π--；⑸22b b-；⑹222xy x y +.（2）下列式子，哪些是分式？5a -； 234x +；3y y；78xπ+；2x xy x y +-；145b-+.题型2：考查分式有，无意义，总有意义（1）使分式有意义：令分母≠0按解方程的方法去求解； （2）使分式无意义：令分母=0按解方程的方法去求解；注意：（12+x≠0）例1：当x 时，分式51-x 有意义； 例2：分式xx -+212中，当____=x 时，分式没有意义 例3：当x 时，分式112-x 有意义。

例4：当x 时，分式12+x x有意义例5：x ，y 满足关系 时，分式x yx y-+无意义； 例6：无论x 取什么数时，总是有意义的分式是（ ）A ．122+x x B.12+x x C.133+x xD.25x x -例7：使分式2+x x有意义的x 的取值范围为（ ）A ．2≠x B ．2-≠xC ．2->xD ．2<x例8：要是分式)3)(1(2-+-x x x 没有意义，则x 的值为（ ） A. 2 B.-1或-3 C. -1 D.3题型3：考查分式的值为零的条件使分式值为零：令分子=0且分母≠0，注意：当分子等于0使，看看是否使分母=0了，如果使分母=0了，那么要舍去。

例1：当x 时，分式121+-a a的值为0 例2：当x 时，分式112+-x x 的值为0例3：如果分式22+-a a 的值为为零,则a 的值为( ) A.2± B.2 C. 2- D.以上全不对例4：能使分式122--x xx 的值为零的所有x 的值是 （ ）A0=x B 1=x C 0=x 或1=x D 0=x 或1±=x例5：要使分式65922+--x x x 的值为0，则x 的值为（ ）A.3或-3 B.3 C.-3 D 2例6：若01=+aa,则a 是( )A.正数 B.负数 C.零 D.任意有理数 题型4：考查分式的值为正、负的条件【例】（1）当x 为何值时，分式x-84为正； （2）当x 为何值时，分式2)1(35-+-x x 为负；（3）当x 为何值时，分式32+-x x 为非负数. 二、分式的基本性质题型1：分式的基本性质的应用分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。

例1：aby a xy = ； z y z y z y x +=++2)(3)(6 ；如果75)13(7)13(5=++a a 成立,则a 的取值范围是________； 例2：)(1332=ba ab)(cb a cb --=+-例3：如果把分式ba ba ++2中的a 和b 都扩大10倍，那么分式的值（ ）A 、扩大10倍B 、缩小10倍C 、是原来的20倍D 、不变例4：如果把分式yx x+10中的x ，y 都扩大10倍，则分式的值（ ） A ．扩大100倍 B ．扩大10倍 C ．不变 D ．缩小到原来的101 CB C A B A ⋅⋅=C B C A B A ÷÷=()0≠C例5：如果把分式yx xy+中的x 和y 都扩大2倍，即分式的值（ ） A 、扩大2倍； B 、扩大4倍； C 、不变； D 缩小2倍 例6：若把分式xyx 23+的x 、y 同时缩小12倍，则分式的值（ ）A ．扩大12倍B ．缩小12倍C ．不变D ．缩小6倍例7：若x 、y 的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）A 、y x 23 B 、223y xC 、y x 232D 、2323y x例8：根据分式的基本性质，分式ba a--可变形为（ ） A b a a -- B b a a + C b a a -- D ba a +-例9：不改变分式的值，使分式的分子、分母中各项系数都为整数，=---05.0012.02.0x x ； 例10：不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数， 211x x x-+--= 。

题型2：分式的约分及最简分式①约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分 ②分式约分的依据：分式的基本性质．③分式约分的方法：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式． ④约分的结果：最简分式（分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式）约分主要分为两类：第一类：分子分母是单项式的，主要分数字，同字母进行约分。

第二类：分子分母是多项式的，把分子分母能因式分解的都要进行因式分解，再去找共同的因式约去。

例1：下列式子（1）y x y x y x -=--122；（2）ca ba a c ab --=--；（3）1-=--b a a b ；（4）y x y x y x y x +-=--+-中正确的是（ ）A 、1个 B 、2 个 C 、 3 个 D 、 4 个 例2：下列约分正确的是（ ）A 、326x x x =； B 、0=++y x y x ； C 、x xy x y x 12=++； D 、214222=y x xy 例3：下列式子正确的是( ) A022=++y x y x B.1-=-+-y a y a C.x z y x z x y -+=+- D.0=+--=+--adc d c a d c a d c 例4：下列运算正确的是（ ）A 、a aa b a b=--+ B 、2412x x ÷= C 、22a a b b = D 、1112m m m -= 例5：下列式子正确的是（ ）A ．22ab a b = B ．0=++b a b a C ．1-=-+-b a b a D ．ba ba b a b a +-=+-232.03.01.0例6：化简2293m m m --的结果是（ ）A 、3+m m B 、3+-m mC 、3-m mD 、m m -3 例7：约分：=-2264xy yx ；932--x x = ；()xy xy 132=； ()y x y x yx 536.03151+=-+。