C C p C
k概率公式。
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第一章 概率论的基本概念
2） 有放回抽样
等可能概型
从N件产品中有放回地抽取n件产品进行排列， 可能的排列数为 N n 个，将每一排列看作基本 事件，总数为 N n 。
而在 N 件产品 中取 n 件，其中恰有 k件次品 的取法共有
1）取到的两只都是白球的概率； 2）取到的两只球是黑的概率； 3）取到的两只球中至少有一只是白球的概率。
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早在概率论发展初期，人们就认识到， 只考虑有限个等可能样本点的古典方法是不 够的. 把等可能推广到无限个样本点场合,人们 引入了几何概型. 由此形成了确定概率的另 一方法——几何方法（几何概率）
k k Cn D ( N D) nk
于是所求的概率为：
P
k Cn D k ( N D) n k
N
n

k Cn
D k D nk ( ) (1 ) N N
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此式即为二项分布的概率公式。
例5（分房问题） 有 n 个人，每个人都以同样的概 率 被分配在 N (n N ) 间房中的每一间中，每个房间 人数不限，试求下列各事件的概率： (1)某指定 n 间房中各有一人 ; (2)恰有 n 间房，其中各有一人； (3) 某指定一间房中恰有 m(m n) 人。
解 先求样本空间中所含样本点的个数。
n N 首先，把 n 个人分到N间房中去共有 种分法，其次 ，求每种情形下事件所含的样本点个数。
(1)某指定n间房中各有一人，所含样本点的个 数，即可能的的分法为 n!; n (2)恰有n间房中各有一人，所有可能的分法为 C N n!; (3)某指定一间房中恰有m人，可能的分法为 Cnm ( N 1) nm .
无限等可能概型(几何概型)：
若随机试验满足下述两个条件： (1)无限性： 它的样本空间有无限个样本点,且 全体样本点可用一个有度量的几何区域来表示； (2) 等可能性：每个样本点出现的可能性相同.
几何概率的定义
设几何概型的样本空间可表示为有度量的 区域S,事件A所对应的区域仍用A表示,则定义 A的概率为: A的度量 P( A) S的度量
进而我们可以得到三种情形下事件的概率，其分别为 :
m nm n n n n （1） N . （3） Cn ( N 1) n! N （2） CN n! N
上述分房问题中，若令 N 365, n 30, m 2 则可 演化为生日问题.全班学生30人， (1) 某指定30天，每位学生生日各占一天的概率； (2) 全班学生生日各不相同的概率； (3) 全年某天，恰有二人在这一天同生日的概率。 利用上述结论可得到概率分别为 :
等可能概型
北

A
2
3
4
西 东 南
…
e1
e2
……
ek
…
en
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第一章 概率论的基本概念
等可能概型
若事件 A 包含 k 个基本事件，即 A ={e1, e2, …ek }, 则有 ：
k A包含的基本事件数 P( A) . n S中基本事件总数
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例 1 ： 52张扑克取13张，其中取出的结果为5黑桃；3张红心； 3张方块；2张草花的概率。
8 5 1 9 4 6 7 2 3 10
二、古典概率的定义
设试验E是古典概型, 其样本空间S由n个样本 点组成 , 事件A由k个样本点组成 . 则定义事件 A的概率为： A包含的样本点个数 P(A)＝k/n＝ S的样本点总数 称此概率为古典概率.
P13 例1
古典概型的解题步骤：
1.
2. 3.
选取适当的样本空间 S，判断是否为古典概型（有限性、 等可能性）.
计算 S 以及感兴趣的事件 A 所包含的样本点数，分别记 作n和m. 计算得 P( A) .mn
备注
• • 放回抽样 取出元素旋即放回，参加下一次抽取， 即每次抽取都是在全体元素中进行. 不放回抽样 某元素一旦被取出就不再参加以后 的抽取，所以每个元素至多被选中一次．
第一章 概率论的基本概念
美国数学家伯格米尼曾经做过一个 别开生面的实验，在一个盛况空前、 人山人海的世界杯足球赛赛场上，他 随机地在某号看台上召唤了 22 个球迷， 请他们分别写下自己的生日，结果竟 发现其中有两人同生日.
等可能概型
例 设有 N 件产品，其中有 D 件次品，今从中任
取 n 件，问其中恰有 k ( k D ) 件次品的概率是多少?
第一章 概率论的基本概念
等可能概型
由乘法原理知：在 N 件产品 中取 n 件，其中恰有 k
件次品的取法共有 C k C n k 种， D N D 于是所求的概率为：
§4
有限等可能概型（古典概型）
一、古典概型的定义
若随机试验满足下述两个条件： (1)有限性： 它的样本空间只有有限个样本点； (2) 等可能性：每个样本点出现的可能性相同. 则称这种试验为有限等可能概型（古典概型）.
例如，一个袋子中装有 10个大小、形状完全相同 的球. 将球编号为1－10 . 把球搅匀，蒙上眼睛，从 中任取一球.
练习３ 假设每人的生日在一年 365 天中的任一天 是等可能的 , 即都等于 1/365 ,求 64 个人中至少 有2人生日相同的概率. 解 64 个人生日各不相同的概率为
365 364 ( 365 64 1) p1 36564
故64 个人中至少有2人生日相同的概率为
365 364 ( 365 64 1) 0.997. p 1 64 365
第一章 概率论的基本概念
等可能概型
例 2 一口袋装有 6 只球，其中 4 只白球、2 只 黑球。从袋中取球两次，每次随机的取一只。考 虑两种取球方式： • 放回抽样 第一次取一只球，观察其颜色后放 回袋中， 搅匀后再取一球。 • 不放回抽样 第一次取一球不放回袋中，第二 次从剩余的球 中再取一球。 分别就上面两种方式求：
第一章 概率论的基本概念
等可能概型
例 3 将 15 名新生随机地平均分配到 3 个班中去，这 15 名新生中有 3 名是优秀生。问： (1) 每个班各分配到一 名优秀生的概率是多少？ (2) 3 名优秀生分配到同一个班级的概率是多少？ 解：15名新生平均分配到 3 个班级中去的分法总数为：
第一章 概率论的基本概念