模糊数学方法及其应用论文题目：模糊聚类方法案例分析小组成员：王季光宋申辉兰洁陈倩芸肖仑杨洋吴云峰2013年10 月27 日模糊聚类分析方法1.1距离和相似系数为了将样品（或指标）进行分类，就需要研究样品之间关系。

目前用得最多的方法有两个：一种方法是用相似系数，性质越接近的样品，它们的相似系数的绝对值越接近1，而彼此无关的样品，它们的相似系数的绝对值越接近于零。

比较相似的样品归为一类，不怎么相似的样品归为不同的类。

另一种方法是将一个样品看作P 维空间的一个点，并在空间定义距离，距离越近的点归为一类，距离较远的点归为不同的类。

但相似系数和距离有各种各样的定义，而这些定义与变量的类型关系极大，因此先介绍变量的类型。

由于实际问题中，遇到的指标有的是定量的（如长度、重量等），有的是定性的（如性别、职业等），因此将变量（指标）的类型按以下三种尺度划分： 间隔尺度：变量是用连续的量来表示的，如长度、重量、压力、速度等等。

在间隔尺度中，如果存在绝对零点，又称比例尺度，本书并不严格区分比例尺度和间隔尺度。

有序尺度：变量度量时没有明确的数量表示，而是划分一些等级，等级之间有次序关系，如某产品分上、中、下三等，此三等有次序关系，但没有数量表示。

名义尺度：变量度量时、既没有数量表示，也没有次序关系，如某物体有红、黄、白三种颜色，又如医学化验中的阴性与阳性，市场供求中的“产”和“销”等。

不同类型的变量，在定义距离和相似系数时，其方法有很大差异，使用时必须注意。

研究比较多的是间隔尺度，因此本章主要给出间隔尺度的距离和相似系数的定义。

设有n 个样品，每个样品测得p 项指标（变量），原始资料阵为px x x np n n p p nx x x x x x x x x X X X X 2122221112112121 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡= 其中(1,,;1,,)ij x i n j p ==为第i 个样品的第j 个指标的观测数据。

第i 个样品iX 为矩阵X 的第i 行所描述，所以任何两个样品XK 与XL 之间的相似性，可以通过矩阵X 中的第K 行与第L 行的相似程度来刻划；任何两个变量Kx 与Lx 之间的相似性，可以通过第K 列与第L 列的相似程度来刻划。

1.2 F 相似关系 1.2.1定义设)(U U F R ⨯∈，如果具有自反和对称关系，则称R 为U 上的一个F 相似关系（F 表示模糊）当论域U 为有限时，F 相似关系可以用F 矩阵表示。

具有F 相似关系的矩阵，称为F 相似矩阵。

在实际应用时，通常只能得到自反矩阵和对称举证，即相似矩阵。

现在的问题是对具有相似关系的元素怎样进行分类，也就是如何将相似矩阵改造为等价矩阵。

1.2.2 定理若TR R =，则称R 为对称矩阵。

（1）若R I ⊇（I 是单位矩阵），则称R 为自反矩阵。

（2）若2R R ⊇,则称R 为传递的F 关系。

（3）若满足上面三点则称为等价矩阵。

定理1：相似矩阵n nR u ⨯∈的传递闭包是等价矩阵，且nR R ∧=。

证 只需要证明R ∧是自反的、对称的。

因R 是自反的，故R I ⊇，2R R ⊇。

不难得到n R 不减，因此1nk n k R R R I∧===⊇，即R ∧是自反的。

因为TR R =，()()n T T n nR R R ==，故R ∧是对称的。

有定理1可见，要想将相似矩阵改变为等价矩阵，只需求相似矩阵的传递闭包。

定理2：设n nR u ⨯∈是自反矩阵，则任意自然数m n ≥，都有m R R ∧=证 由R 自反性推得2......n R R R ⊆⊆⊆⊆当m n ≥时，有1nmkk R R R R R∞∧∧==⊆⊆=1.3 聚类分析所谓聚类分析，就是用数学的方法对事物进行分类，它有广泛的实际应用。

在模糊数学产生之前，聚类分析已是数理统计多元分析的一个分支，然而现实的分类问题往往伴有模糊性。

例如，环境污染分类、春天连阴雨预报、临床症状资料分类、岩石分类，等等。

对这些伴有模糊性的聚类问题，用模糊数学语言来表达更为自然。

模糊聚类分析的步骤： 第一步：数据标准化 数据矩阵 设论域12{,,}n U x x x =为被分类的对象，每个对象由m 个指标表示其性状，即12(,,...,)m i i i i x x x x =于是得到原始数据矩阵为111212122212m m n n nm x x x x x x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭数据标准化 在实际问题中，不同的数据一般有不同的量纲。

为了使有不同的量纲的量也能进行比较，通常需要对数据作适当的变换。

但是，即使这样，得到的数据也不一定在区间[0,1]上。

因此，这里说的数据标准化，就是要根据模糊矩阵的要求，将数据压缩到区间[0,1]上。

通常需要作如下集中变换。

1）平移•标准差变换 2）平移•极差变换 3）对数变换第二步 标定（建立模糊相似矩阵）设12{,,,}n U u u u =⋯为待分类的全体。

其中每一待分类对象由一组数据表征如下：12(,,...,)m i i i i u x x x =现在的问题是如何建立iu 和ju 之间的相似关系。

这有许多方法（这里选一些，列在下面），我们可以按照实际情况，选其中一种来求iu 与ju 的相似关系(,)i j ijR u u r =。

（1）形似系数法 数量积法111.kkmij i j k i jr xx i jM ==⎧⎪=⎨≠⎪⎩∑当当其中M 为一适当选择之正数，满足,1max(.)k k mi j i jk M x x =≥∑夹角余弦法mijjkij xx r ⋅=∑相关系数法||||kk mi i j j ij xx x x r --=∑其中 11111,k km i i j j k k x x x x m m ====∑∑最大最小法11min(,)max(,)kk kk mi j k ij m i j k xx r x x ===∑∑算术平均最小法11min(,)1()2kk kk mi j k ij mi j k xx r x x ===+∑∑几何平均最小法11min(,)kk mi j k ij mk xx r ===∑绝对值指数法1||mi j k k k x x ij r e=--∑=绝对值减数法111||k k m ij i j k i j r c x x i j==⎧⎪=⎨--≠⎪⎩∑当当其中，c 适当选取，使01ij r ≤≤。

（2）距离法1）直接距离法 海明距离 欧几里得距离 切比雪夫距离 2）倒数距离法 3）指数距离法选择上述哪一个方法好，要按实际情况而定。

在实际应用时，最好采用多种方法，选取分类最符合实际的结果。

第三步 聚类（求动态聚类图）。

由第一步得到的矩阵R 一般只满足自反性和对称性，即R 是相似矩阵，需将它改造成模糊等价矩阵。

为此，采用平方法求出R 的传递闭包ˆR ，ˆR 便是所求的模糊等价矩阵。

通过ˆR便可对U 进行分类。

实际应用具体问题如下：1x ：地区生产总值(当年价格)(亿元)；2x ：第一产业增加值；3x ：第二产业增加值；4x ：第三产业增加值；5x ：地方财政一般预算内收入；6x ：工业企业数(个)；7x ：工业总产值(当年价格)(万元)；8x ：从业人员年平均人数(万人)；9x ：流动资产年平均余额(万元) ；10x：主营业务收入(万元)11x ：利润总额(万元)；12x：移动电话年末用户数(万户)；13x ：国际互联网用户数(户)；14x ：公路里程；15x：普通中学学生数(万人)；16x：医院、卫生院数(个)；17x：医生数(执业医师+执业助理医师)(个)。

17项指标来描述江西省11各市区经济发展水平情况。

现将11个不同经济发展水平的市区进行聚类。

到的动态聚类图如下：λ1352681147910分类数1110.8573100.685390.6620380.614470.563660.496950.486240.452730.4316201标准差变换下——相关系数法构造相似矩阵R采用传递闭包法进行聚类，得到的动态聚类图如下：λ1924567810311分类数1110.9526100.87290.868480.857270.840860.837350.8273540.7549130.716520.68881动态聚类图如下：λ1235478910116分类数1110.8904100.864490.839480.837670.783860.7733150.771940.720130.6949320.63561极差变换下——相关系数法构造相似矩阵R采用传递闭包法进行聚类，得到的动态聚类图如下：λ1924785103611分类数1110.9563100.936690.8859580.876770.85960.830850.756740.756530.69220.677211。