北京市初中历年竞赛试题分类解析（一）绝对值【竞赛热点】1、 利用绝对值的几何意义求代数式的取值范围2、 利用绝对值的非负性解特殊方程3、 利用绝对值的定义去绝对值符号【知识梳理】绝对值是初中代数中的一个基本概念，是学习相反数、有理数运算及后续算术根的基础．绝对值又是初中代数中的一个重要概念，在解代数式化简求值、解方程（组)、解不等(组)等问题有着广泛的应用，全面理解、掌握绝对值这一概念，应从以下方面人手：1．去绝对值的符号法则：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(a a a a a a2．绝对值基本性质 ①非负性：0≥a ；②b a ab ⋅=；③)0(≠=b ba b a ；④222a a a ==． 3．绝对值的几何意义从数轴上看，a 表示数a 的点到原点的距离(长度，非负)；b a -表示数a 、数b 的两点间的距离．【试题汇编】1、代数意义1、（2010•第2题）已知：三个数a b c 、、的积为负数，和为正数，且a b c ab ac bc x a b c ab ac bc=+++++，则x 的值为（ ） A ．1 B ．－1 C ．0 D ．与a ，b ，c 的值有关2、（2008•第9题）若x x =--2)1(1，则x 的取值范围是_____________。
3、（2007•第1题）已知|a |＝3，|b |＝,31且ab <0，则ba 的值是（ ） A. 9 B. 91- C.－9 D. 914、（2007•第11题）已知实数a 满足|2006－a |+2007-a ＝a ，那么a －20062的值是 ；5、（2007•第13题）已知对所有的实数x ，都有211--≥-++x m x x 恒成立，则m 可以取得的最大值为6、（2005•第2题）方程1735=--+x x 的解的个数有（ ）个A. 1 B . 2 C. 3 D.无数7、（2004•第9题）已知0)1(42=++-y x ，则20063y x ＝________________。
8、（2004•第10题）当0<a 时，化简a a a -的结果是________________。
2、几何意义：1、（2008•第1题）已知数轴上有A 、B 、C 三个点，它们所表示的数分别是a 、b 、c ，且满足c a c b b a -=-+-，则A 、B 、C 三点在数轴上的位置是 （ ）A. A 在B 、C 之间B. B 在A 、C 之间C. C 在A 、B 之间D. 无法确定2、（2006•第9题）若实数x 满足572=-+-x x ，则x 的取值范围是____________。
3、（2001•第11题）设x x a +-=3，x 为任意实数，则a 的范围是（ ）A. 3<aB. 3>aC. 3≤a D . 3≥a（二）不等式（组）【竞赛热点】1、 含有字母系数的不等式2、 由已知不等式来判断或解不等式3、 建立不等式的模型，或利用不等式解决实际问题【知识梳理】现实世界既包含大量的相等关系，又存在许多不等关系，许多现实问题是很难确定(有时也不需确定)具体的数值，但可以求出或确定这一问题中某个量的变化范围或趋势，从而对所研究问题的全貌有一个比较清晰的认识．不等式(组)是探求不等关系的基本工具，不等式(组)与方程(组)在相关概念、解法上有着相似点，又有不同之处，主要体现在：等式、不等式两者都乘以(或除以)同一个数时，等式仅需考虑这个数是否为零，而不等式不但要考虑这个数是否为零，而且还需注意这个数的正负性；解方程组时，我们可以“统一思想”，即可以对几个方程进行“代人”或“加减”式的加工，解不等式组时，我们只能“分而治之”，即只能分别求出每个不等式的解集，然后再求公共部分，才能得出不等式组的解集。
一般考察如下内容：1、 考查不等式的性质：不等号的是否改变方向2、 重点考查学生的技巧，如代值，或变成同分母或同分子的情形不等式(组)的应用主要表现在：作差或作商比较数的大小；求代数式的取值范围；求代数式的最值，列不等式(组)解应用题。
列不等式(组)解应用题与列方程解应用题的步骤相仿，一般步骤是：1、弄清题意和题中的数量关系，用字母表示未知数；2、找出能够表示题目全部含义的一个或几个不等关系；3、列出不等式(组)；4、解这个不等式(组)，求出解集并作答。
【试题汇编】1、（2009•第2题）设a 、b 、c 均为正数，若c a b c b a b a c +<+<+，则a 、b 、c 三个数的大小关系是（ ）A . c <a <b B. b <c <a C. a <b <c D. c <b <a2、（2009•初二第10题）如果关于x 的不等式组3020x m x n -≥⎧⎨-<⎩的整数解仅为1、2、3，那么适合这个不等式组的整数对（m ，n ）共有___________对。
3、（2008•第11题）一次函数)0()(),()()(≠≠+=++-=a b a b ax x g b a x b a x f 且，若使0)(>x f 的实数的取值范围是21<x ，则使0)(>x g 的实数x 的取值范围是________。
4、（2008•第2题）若a 为正数，且23(1)2a a -比大，则a 的取值范围是 （ ） A. 210<<a B. 310<<a C. 410<<a D. 510<<a5、（2006•第1题）已知5,3,2≤-≥≤c b a ，且10,a b c a b c -+=++=则（ ）A . 10 B. 8 C. 6 D. 46、（2006•第8题）若x 、y 、z 是正实数，且xyz ＝1，则代数式(x +1)(y +1)(z +1)的最小值是（ ）A. 64B. 8C. 28D.27、（2010•初二第15题）关于x ，y 的方程组：21232x y k x y k +=-⎧⎨-=+⎩的解x ，y 满足：2317x y x y +≥⎧⎨-≤⎩，求k 的取值范围。
8、（2010•初二第17题）某粮油公司要把240吨大米运往A 、B 两地，先用大、小两种货车共20辆，恰好能一次性装完这批大米，且每辆车都是满载，已知这两种货车的满载重量分别为15吨/辆和10吨/辆，运往A 地的运费为：大车630元/辆，小车420元/辆；运往B 地的运费为：大车750元/辆，小车550元/辆．（1）求两种货车各用多少辆；（2）如果安排10辆货车前往A 地，其余货车前往B 地，且运往A 地的大米不少于115吨．请你设计出使总运费最少的货车调配方案，并求出最少总运费．9、（2008·第15题）有一批货，如果月初售出，可获利润10000元，并可将本利和再去投资，到月末获利润2.5%，如果月末售出这批货，可获利润12000元，但要付500元保管费，请你用所学知识分析，这批货在月初还是月末售出好？（三）一次方程（组）、分式方程【竞赛热点】1、一次方程组2、换元法解方程3、绝对值方程【知识梳理】1、解一些复杂的方程组(如未知数系数较大、方程个数较多等)，需要观察方程组下系数特点，着眼于整体上解决问题，常用到整体叠加、整体叠乘、设元引参、对称处理、换元转化等方法技巧．2、可以通过换元，把复杂的式子简单化3、可构造函数将方程化归为函数问题解决；【试题汇编】1、（2009•第10题）已知k ac b b c a c b a =+=+=+，则k ＝_______________。
2、方程1111=+--x x x 的解是（ ） A . 21,1- B. 21,1- C. 1 D. 21-3、（2008•第16题）已知x 、y 满足：,1215,5310-=--+-=-++yx y x y x y x 试求代数式111(4)(4)(5)(5)(6)(6)x y x y x y +++++++++……+)100)(100(1++y x 的值。
4、（2008•第12题）已知方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=+=b x y x y 211，当b 时，方程组只有一组解。
5、（2004•第8题）已知4名运动员体重（以千克为单位）都是整数，他们两两合秤称体重，共称5次，称得重量分别为99、113、125、130、144，其中有两人没合称过，那么这两人体重较大的是（ ）千克A. 78B. 66C. 52D. 476、（2010•第18题）某班进行一次智力竞赛，共a ，b ，c 三题，每题或者得满分或者得0分，其中题a 满分 20分，题b 题c 满分均为40分，竞赛结果，每个学生至少答对一题，三题全对有3人，答对其中两题的有14人，答对题a 的人数与答对题b 的人数之和为45，答对题a 的人数与答对题c 的人数之和为35人，答对题b 的人数与答对题c 的人数之和为40人，问该班共有多少人，平均成绩是多少?（四）不定方程（组）【竞赛热点】1、求不定方程的整数解2、由已知条件构造不定方程【知识梳理】不定方程(组)是指未知数的个数多于方程的个数的方程(组)，其特点是解往往有无穷多个，不能惟一确定．对于不定方程(组)，我们往往限定只求整数解，甚至只求正整数解，加上条件限制后，解就可确定．二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些复杂的不定方程(组)常常转化为二元一次不定方程问题加以解决，与之相关的性质有：设d c b a 、、、为整数，则不定方程c by ax =+有如下两个重要命题：(1)若(a ，b )=d ，且d |c ，则不定方程c by ax =+没有整数解；(2)若00y x ，是方程c by ax =+且(a ，b )=1的一组整数解(称特解)，则为整数）t aty y bt x x (00⎩⎨⎧-=+=是方程的全部整数解(称通解)．解不定方程(组)，没有现成的模式、固定的方法可循，需要依据方程(组)的特点进行恰当的变形，并灵活运用以下知识与方法；奇数偶数，整数的整除性、分离整系数、因数分解。
配方利用非负数性质、穷举，乘法公式，不等式分析等．【试题汇编】1、（2008•第6题）若x 、y 是正整数，且满足20111=-y x ，则y 的最大值是 （ ） A. 20 B. 40 C. 380 D. 4002、（2009•第7题）如图：三个天平的托盘中形状相同的物体质量相等，图(1)，图(2)所示的两个天平处于平衡状态，要使第三个天平也保持平衡，则要在它的右盘中放置（ ）球A . 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个3、（2005•第6题）在等式)(1)(161+=的括号填入适当的正整数，使等式成立，不同的填法种数有（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5（五）二次方程、一元二次方程【竞赛热点】1、 多元二次方程（未知数的个数大于方程的个数）的解法2、 构造一元二次方程求解3、 求字母系数和取值范围或有关方程的根的代数式的值【知识梳理】1、 换元法，将多个未知数用一个字母表示，或用配方法，利用非负性来解题2、判别式的应用：利用判别式，判定方程实根的个数、根的特性；运用判别式，建立等式、不等式，求方程中参数或参数的取值范围；通过判别式，证明与方程相关的代数问题；借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题、最值问题。