北京科技大学2010年《数学竞赛》试题
学院 班级 姓名 学号 考试教室 一、选择题（每题2分, 共20分）
1. 设函数()f x 与()g x 均可导, 且()()f x g x <, 则必有 ( ).
(A) ()()f x g x ''<;
(B)；()()f x g x ->-
(C) 0
()()lim
lim
x
x
x x x x x x f t dt
g t dt
x x x x →→<--⎰⎰； (D)
()()x x
x x f t dt g t dt
x <∀⎰⎰.
2. 设函数()f x 满足： 1
()(2),(0),8
f x f x f =+=又在(1,1)-有()||f x x '=, 则
1
(3)2
f = ( ).
(A) 12； (B) 14； (C) 1
4
-； (D) 0
3. 积分0
1sin()
x x I dx x α∞
+=⎰条件收敛的充要条件是α满足( ). (A) (0,1)α∈； (B) (0,2)α∈ ； (C) (0,3)α∈ ； (D) (0,1.5)α∈.
4. 在[0,]π上方程3sin cos (0)x x a a =>的实根个数为 ( ). (A) 1； (B) 2； (C) 3； (D) 0.
5. 如果级数1
n n a ∞
=∑收敛，级数1
n n b ∞
=∑绝对收敛, 则1
n n n a b ∞
=∑ ( ).
(A) 条件收敛； (B) 绝对收敛； (C) 发散； (D) 不确定.
6. 若0lim 2010(1)n n n n α
ββ
→=--， 则 ( ).
(A) 20091
,20102010αβ=
=； (B) 20091
,20102010αβ=-=；
(C) 20091
,20102010
αβ==-； (D) 20091
,20102010
αβ=-=-.
7. 设0
2
()0()00
x tf t dt
x F x x x ⎧⎪≠=⎨
⎪=⎩
⎰其中()f x 具有连续的导数且(0)0f =, 则()
F x '在0x =处 ( ).
(A) 连续; (B) 不连续； (C) 可导； (D) 不确定.
8．曲面积分
I=S +
= ( ), 其中
22
(2)(1)1(0)72516
z x y S z +
---=+≥是的上侧,
. (A) 2π-； (B) 0；
(C) 2π； (D) π.
9．设函数()f u 具有二阶连续导数，函数(sin )x
z f e y = 满足方程22222x z z
ze x y
∂∂+=∂∂
(0)0,(0)1f f '==，则 ()f u =( ).
(A) 1()(1)2u u f u e e -=-+； (B) 1
()()2u u f u e e -=-；
(C) 1()(1)2u u f u e e -=--； (D) 1
()()2
u u f u e e -=-.
10.
1
n ∞
==∑( ).
(A)
1 (B)
1 (C) 0；
(D) 1.
二、填空题（每小题3分, 共60分）
1.
极限n →∞
= . 2. 极限1lim ()n
n f a n f a →∞
⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ . 3. 极限40cos(sin )-cos lim sin x x x
x
→= .
4. 计算积分2
ln 1x
dx x ∞
=+⎰ 0 .
5. 设()f x 在(0,)+∞内连续，(1)3f =，且对,(0,)x t ∀∈+∞满足
xt x t
1
1
1
()d ()d ()d f u u t f u u x f u u =+⎰
⎰⎰，
则()f x = .
6. 设()f x 在[0,)+∞内可导,
x x
()d ()d 3x f u u f u u =⎰
⎰，x >0, 则
()f x = .
7.计算无穷级数234........(1).....(||1)213243(1)n n
x x x x x n n -+-+-+<=-
.
8. 级数2
1(1)n
n n x p p
∞
=>∑的收敛范围是 .
9. 求直线L ：1101
x y z
-==-在平面:20x y z π++=上的投影直线方程为 .
10. 设 1
0(,)()||d u x y f t xy t t =-⎰, 其中f 在[0，1]上连续，,[0,1]x y ∈，则
22u
x
∂=∂ .
11. 设(,)u x y 的所有二阶偏导数都连续，222
220,(,2),(,2),x
u u u x x x u x x x x y
∂∂'-===∂∂则(,2)xy u x x ''= ；(,2)yy u x x ''= .
12. 函数22(,)4f x y x xy y =++在圆域 221x y +≤上的最大值为 以及最小值为 .
13.
计算20
π=⎰ .
14. 设Ω是由22,0,1,2,3,4z x y z xy xy y x y x =+=====, 围成。

积分
xydxdydz Ω
⎰⎰⎰= .
15. 已知三个向量,,a b c
满足||1,||2,||3a b c === ，且0a b c ++= ，则a b b c a ++
.
16. 求2
2
2
(,,)f x y z x y z =++在椭球面222
2222x y z a b c
++=上的点000(,,)P x y z 的外法线
方向的导数 .
17.
计算22
D
I == ， 其中{(,):||||1}D x y x y =+≤.
18. 计算积分()()()L I z y dx x z dy y x dz +
=-+-+-=⎰ ，
其中L +是从(,0,0)A a 经(0,,0)B a 到(0,0,)C a 再回到(,0,0)A a 的三角形。

19. 设1
ln (),(0,)1x
u
f x du x u =∈∞+⎰，则1()()f x f x += .
20. 设()0f x >满足： 1）f 连续可微且(1)1f =， 2）在右半平面内沿任一分段光滑封闭曲线l 的积分有
{()}ln ()0x
l
y ye f x dx f x dy x --=⎰ , 则 ()f x = (0)x >.
三、证明题（每题10分, 共20分）
1. 设序列{}n x 满足：11
01,(1),1,2,3, (4)
n n n x x x n +<<->=, 证明: {}n x 收敛，并求极限lim n n x →∞
.
2．设()f x 二次可微,01
(0)(1)0,max ()2,x f f f x ≤≤===试证
01
min ()16.x f x ≤≤''≤-。