高等数学竞赛试题一、选择题1. 设n n n y z x ≤≤，且0)(lim =-∞→n n n x y ，则n n z ∞→lim （ C ）(A) 存在且等于零; (B) 存在但不一定等于零； (C) 不一定存在； (D) 一定不存在. 2. 设)(x f 是连续函数，)()(x f x F 是的原函数，则（ A ）(A) 当)(x f 为奇函数时,)(x F 必为偶函数； (B) 当)(x f 为偶函数时,)(x F 必为奇函数； (C) 当)(x f 为周期函数时,)(x F 必为周期函数； (D) 当)(x f 为单调增函数时,)(x F 必为单调增函数. 3. 设0>a ，)(x f 在),(a a -内恒有2|)(|0)("x x f x f ≤>且，记⎰-=a adx x f I )(，则有（ B ）(A) 0=I ;(B) 0>I ;(C) 0<I ;(D) 不确定.4. 设)(x f 有连续导数，且0)0(',0)0(≠=f f ，⎰-=x dt t f t x x F 022)()()(，当0→x 时，k x x F 与)('是同阶无穷小，则=k （ B ）(A) 4； (B) 3； (C) 2； (D) 1.5.设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,),(2222222y x y x y x yx y x f ，则),(y x f 在点)0,0(（ D ）(A) 不连续；(B) 连续但偏导数不存在；(C) 可微； (D) 连续且偏导数存在但不可微.6. 设k j b j i a ρρρρρρ+-=+=2,，则以向量a ϖ、b ϖ为边的平行四边形的对角线的长度为（ A ）(A) 11,3； (B) 3, 11； (C) 10,3； (D) 11,2.7. 设21L L 与是包含原点在内的两条同向闭曲线，12L L 在的内部，若已知2222L xdx ydykx y +=+⎰Ñ（k 为常数），则有1222L xdx ydyx y ++⎰Ñ（ D ）(A) 等于k ； (B) 等于k -； (C) 大于k ； (D) 不一定等于k ，与L 2的形状有关. 8. 设∑∞=0n nn xa 在1=x 处收敛，则∑∞=-+0)1(1n nnx n a 在0=x 处（ D ）二、设)(1lim)(2212N n x bxax x x f n n n ∈+++=-∞→，试确定a 、b 的值，使与)(lim 1x f x →)(lim 1x f x -→都存在.解：当||1x <时，221lim lim 0n n n n x x -→∞→∞==，故2()f x ax bx =+；当||1x >时，1()f x x=112111,1,lim ()1,lim (),1(),11,1,1,lim (),lim ()1,1x x x x x f x f x a b a b x f x ax bx x x f x a b f x a b x -+-+→-→-→→⎧<-=-=--=⎪⎪⎪=+-<<⎨⎪⎪>=+=+=⎪⎩0a =，1b =。
三、设)()(x f x F 是的一个原函数，且1)0(=F x x f x F 2cos )()(,=，求dx x f ⎰π|)(|.解：()()F x f x '=，()()cos2F x F x x '=，()()cos2F x F x dx xdx '=⎰⎰2()sin 2F x x C =+，由(0)1F =知1C =，()|cos sin |F x x x ==+，22|cos 2||cos sin ||()||cos sin ||()||cos sin |x x x f x x x F x x x -===-+404|()|(cos sin )(sin cos )1)(1f x dx x x dx x x dx ππππ=-+-=+=⎰⎰⎰四、设}0,0|),,{(2223>≤≤---∈=Ωa z y x a R z y x ，S 为Ω的边界曲面外侧，计算⎰⎰+++++=Sz y x dzdxy a x dydz ax I 1)(2222解：1:S z =，2222:0x y a S z ⎧+≤⎨=⎩（上侧），Q20S =⎰⎰，∴12111222()SS S S S S S S axdydz x a dzdx +⎛⎫=+==++-⎪⎪⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰乙[]122()2()S axdydz x a ydzdx a x a dV +Ω=++=++⎰⎰Ò4314(32)323a x dV adV a πΩΩ=+=⋅=五、已知10=x ，13014x x =+，41312+=x x ，…，4131+=+n n x x ，…. 求证：（1）数列}{n x 收敛；（2）}{n x 的极限值a 是方程0144=-+x x 的唯一正根.解一：（1）Q 01n x <<，33113333111144(4)(4)n n n n n n n n x x x x x x x x -+----=-=++++ 2211124n n n n n n x x x x x x ----++<1316n n x x --<21210331616nn n x x x x --⎛⎫⎛⎫<-<<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L 31431165516nn⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 又Q0316nn ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑收敛，∴10n n n x x ∞+=-∑收敛， ∴10()n n n x x ∞+=-∑收敛，又因10n n S x x +=-，故{}n x 收敛。
（2）令lim n n x a →∞=，Q 01n x <<，Q 0a ≥，且314a a =+，4410a a +-=，即a 是4410x x +-=的根，令4()41f x x x =+-，(0,)x ∈+∞，3()440f x x '=+>，(0)1f =-，lim ()x f x →+∞=+∞，故()0f x =根唯一。
解二：由已知01x =，13010.24x x ==+，23110.24954x x ==+…，33210.24904x x =+…，由此可见，02x x >，13x x < （用归纳法证明偶数项单调减少，奇数项单调增加）。
设222n n x x -≥，2121n n x x -+≤。
2223321211144n n n n x x xx+-+=≥=++， 2123332221144n n nn x x x x +++=≤=++ 由01n x <≤知{}2n x 、{}21n x +收敛，令2lim n n x a →∞=，21lim n n x b +→∞=；由201n x <≤，2101n x +<≤，知01a ≤≤，01b ≤≤。
对232114n n x x -=+两边取极限得314a b =+，341ab a += ① 对213214n n x x +=+两边取极限得314b a =+，341a b b += ② 由①—②得22()4()0ab b a a b -+-=，解得0a b -=由a b =知{}n x 收敛，且为方程4410x x +-=的根（再证唯一性）。
六、设),(y x f 在单位圆上有连续的偏导数，且在边界上取值为零，求证：220lim 2(0,0)Df f xy x ydxdy f x y επ→∂∂+∂∂=-+⎰⎰ , 其中D 为圆环域：1222≤+≤y x ε 解一：令cos x r θ=，cos y r θ=，cos sin f f x f y f f r x r y r x y θθ∂∂∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂∂∂，f f fr x y r x y∂∂∂=+∂∂∂。
由已知当1r =时，(cos ,sin )0f θθ=，222x y DDfrxf yf r I dxdy rdrd x y r θ∂+∂==+⎰⎰⎰⎰212100(cos ,sin )|f d dr f r r d r ππεεθθθθ∂==∂⎰⎰⎰220(cos ,sin )(cos ,sin )f d f d ππθθθεθεθθ=-⎰⎰**02(cos ,sin )f πεθεθ=-，*[0,2]θπ∈，故0lim 2(0,0)I f επ→=-解二：令22(,)yf x y P x y =-+，22(,)xf x y Q x y =+，Q 22f f xyQ P x yx y x y ∂∂+∂∂∂∂-=∂∂+ ∴22Df f x y x y dxdy x y ∂∂+∂∂+⎰⎰，令1L 为221x y +=（逆时针），2L 为222x y ε+=（顺时针） 12L L Pdx Qdy Pdx Qdy =+++⎰⎰蜒 2:cos ,sin L x y εθεθ==122222(,)(,)(,)(,)L L yf x y dx xf x y dy yf x y dx xf x y dyx y x y -+-+=+++⎰⎰蜒1221(,)(,)(,)(,)L L yf x y dx xf x y dy yf x y dx xf x y dy ε=-++-+⎰⎰蜒[]02210(sin )(sin )cos cos (cos ,sin )f d πεθεθεθεθεθεθθε=+--+⋅⎰20(cos ,sin )f d πεθεθθ=-⎰**02lim (cos ,sin )f επεθεθ→=-，*[0,2]θπ∈**2200lim 2lim (cos ,sin )2(0,0)Df fx y x ydxdy f f x yεεπεθεθπ→→∂∂+∂∂=-=-+⎰⎰。
七、有一圆锥形的塔，底半径为R ，高为)(R h h >，现沿塔身建一登上塔顶的楼梯，要求楼梯曲线在每一点的切线与过该点垂直于xoy 平面的直线的夹角为4π，楼梯入口在点( ,0,0 )R , 试求楼梯曲线的方程.解：设曲线上任一点为(,,)x y z ，Qh z rh R-=， ∴曲线参数方程为（*）()cos ()sin (02)()x r y r hz h r Rθθθθθπθ⎧⎪=⎪=≤≤⎨⎪⎪=-⎩， 在点(,,)x y z 的切向量为{}(),(),()v x y z θθθ'''=r，垂线方向向量为(0,0,1)k =r 。