函数的奇偶性
【知识要点】
1．函数奇偶性的定义：一般地，对于函数 f (x) 定义域内的任意一个x，都有 f (x) f (x)，
那么函数f ( x)f (x)
f ( x)
叫偶函数（，
那么函数
even function）.如果对于函数定义域内的任意一个
f ( x) 叫奇函数（ odd function）.
x，都有
2．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，反之亦真.由此，可由函数图象的对称性判断函数的奇偶性，也可由函数的奇偶性作函数的图象.
3．判别方法：先考察定义域是否关于原点对称，再用比较法、计算和差、比商法等判别 f (x)与 f ( x) 的关系；
（1）奇函数
f (x)
1( f (x) 0) ；
f ( x)f (x)f ( x) f (x) 0
f (x)
（2）偶函数
f x
f x f xf x f x 0 1 f x 0 .
f x
4．函数奇偶性的几个性质：
（1）奇偶函数的定义域关于原点对称，在判断函数奇偶性时，应先考察函数的定义域；（2）奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立；
（3）若奇函数 f x在原点有意义，则 f 00 ；
（4）根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、既不是奇函数，又不是偶函数；
（5）在公共的定义域内：两个奇（偶）函数的和与差仍是奇（偶）函数；两个奇（偶）函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数；
（6）函数 f x与函数
1
有相同的奇偶性 .
f x
5．奇偶性与单调性：
（1）奇函数在两个关于原点对称的区间
b, a , a, b 上有相同的单调性；
（2）偶函数在两个关于原点对称的区间
b, a , a, b 上有相反的单调性 .
【典例精讲】
类型一
函数奇偶性的判断
例 1
判断下列函数的奇偶性：
（1） f
x x 2 2 x ；
（2） f x
1
x
2
x 2 1 ；
（3） f x
ax b ax b a b 0 ；
1
1 （4） f x x
；
2 x 1
2
x 2
x 1, x x 2 2x
3,
x 0，
（5） f ( x)
0， x 0，
2
x 1,
x
（ 6） f ( x)0,
x
0；
2x 3, x 0.
x 2
变式 判断下列函数的奇偶性：
4
5
1
1
(1) f ( x )= x ； (2)
f ( x )= x ；
(3)f ( x )= x +
x 2
；(4)
f ( x )=
x 2 .
（ 5） f ( x )
x
3
2 x
（ 6） f ( x) 2 x 4
4 x 2
（ ） y ax
b
( a
0, b
0)
（ 8） y
x
( k
0)
7
x
k
x 2
例 2已知 f x是R上的奇函数，且当x 0 时， f x x 32x 21，求 f x 的表达式。

类型二函数奇偶性的简单应用
例 3 （ 1）设函数 f(x)= ( x 1)( x a)
为奇函数，求实数 a 的值；
x
（2）设函数 y=f(x) 是奇函数，若f( － 2)+f( － 1) － 3=f(1)+f(2)+3，求 f(1)+f(2)的值；
（3）已知 f x是奇函数，g(x)是偶函数，且f ( x) g (x)1, 求f x与g( x)的解析式。

x 1
变式（1）设f ( x)是定义在R 上的奇函数，当 x≤0时，f ( x) = 2x2x ，则 f (1).
（2）已知 f (x) 为奇函数，g ( x) f (x) 9, g( 2) 3,则 f (2)．
（3）已知y f ( x) x 2是奇函数，且 f (1) 1 ，若 g (x) f (x) 2 ，则 g( 1)。

类型三函数性质的综合应用
例 4 (1)奇函数 f ( x)在[ b ,a] 上为增函数，试分析它在( a, b] 上的单调性( a 0) 。

(2) 已知奇函数 f ( x) 在单调区间7, 3 上有最大值 f ( 5) 2 ，则 f ( x) 在 3,7 上的最
值是。

(3) 已知偶函数 f ( x) 在单调区间7, 3 上有最大值 f ( 5) 2 ，则 f ( x) 在 3,7 上的最
值是。

例 5定义在R上的函数 f x 满足 f x y f x f y ,且对任意 x, y R ,都成立。

(1)证明 : 函数f x是奇函数；
(2) 如果x R , f (x) 0, 并且 f (1)1
, 试求 f ( x) 在区间2,6 上的最值。

2
【课堂练习】
1.函数y x | x | px ， x R 是（）
A．偶函数B．奇函数C．不具有奇偶函数D．与p有关
2.若奇函数 f (x) 在 [3, 7]上是增函数，且最小值是1，则它在 [ 7, 3] 上是（）
A. 增函数且最小值是－1
B.增函数且最大值是－1
C. 减函数且最大值是－1
D.减函数且最小值是－1
3．若函数f xx 1 x a 为偶函数，则a( )
（ A）2（ B）1（ C）1（ D）2
4. 已知f x 1 是偶函数,则函数 y f 2x的图象的对称轴是 ( )
A.x 1
B. x 1
C.x 1
x
1
D.
2 2
5. 设奇函数 f(x)的定义域为 [ － 5, 5],若当 x∈[0, 5]时 , f(x)的图象如图所示 ,则不等式 f(x)＜ 0的解是.
6.已知函数 f (x) ax5bx3cx 1 ， f (2) 1 ，求 f ( 2) 。

【思维拓展】
1.定义在1,1 上的函数f x 满足 f x y f x f y ,且对任意 x, y1,1 ,当
x y 0
f x f y。

时 , 都有0
x y
(1)证明 : 函数f x是奇函数；
(2) 用函数的单调性定义判断并证明函数 f x 在1,1 上的单调性。

【课外作业】
1．已知函数 f (x) 是奇函数，当 x 0 时， f ( x) x(1 x) ；当 x 0 时， f (x) 等于（ ）
A.
x(1 x)
B.
x(1 x)
C.
x(1 x) D.
x(1 x)
2. 对于定义域是 R 的任意奇函数 f (x) 都有（
）
A. f (x) f ( x) 0
B. f ( x) f ( x) 0
C. f ( x) f ( x) 0
D. f (x) f ( x) 0
3．若 f ( x)
m 2 1 x 2
m 1 x n 2 为奇函数，则 m, n 的值为（ ）
A. m 1, n 2
B. m 1, n 2
C. m 1, n 2
D. m 1, n R
4. 已知 f (x) 的定义域为
x R x 0 ，且满足
2 f ( x) f ( 1
) x ，则 f (x) 的表达式为
x
________.
5. 若 f ( x)
m 1 x 2 6mx 2 是偶函数，则 f (0), f (1), f ( 2) 的大小顺序是
__________.
6. 已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数，在 (0,
) 是增函数，且 f (1) 0 ，则 f (x
1) 0 的解
集为
.
7．若对于一切实数 x, y ，都有 f (x y)
f ( x) f ( y) .
（ 1）求 f (0) ，并证明 f (x) 为奇函数；
（ 2）若 f (1) 3 ，求 f ( 3) 。

8. 已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数，已知 x 0 时， f ( x)
x 2 2x ．
（1）画出偶函数 f ( x)的图象；
（2）根据图象，写出 f ( x)的单调区间；同时写出函数的值
y
x。