一元二次方程的起源与应用一年七班 唐梦雷一、定义：（quadratic equation of one variable ）是指含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

二、 起源在公元前两千年左右，一元二次方程及其解法已出现于古巴比伦人的泥板文书中：求出一个数使它与它的倒数之和等于一个已给数.可见巴比伦人已知道一元二次方程并知道了求根公式。

但他们当时并不接受负数，所以负根是略而不提的。

埃及的纸草文书中也涉及到最简单的二次方程，在公元前4、5世纪时，古中国也已掌握了一元二次方程的求根公式。

希腊的丢番图（246-330）却只取二次方程的一个正根，即使遇到两个都是正根的情况，他亦只取其中之一。

公元628年，从印度的婆罗摩笈多写成的《婆罗摩修正体系》中，得到二次方程二次项系数为一的一个求根公式。

在阿拉伯阿尔．花拉子米的《代数学》中讨论到方程的解法，解出了一次、二次方程，其中涉及到六种不同的形式，令 a 、b 、c 为正数。

把二次方程分成不同形式作讨论，是依照丢番图的做法。

阿尔．花拉子米除了给出二次方程的几种特殊解法外，还第一次给出二次方程的一般解法，承认方程有两个根，并有无理根存在，但却未有虚根的认识。

十六世纪意大利的数学家们为了解三次方程而开始应用复数根。

韦达（1540-1603）除已知一元方程在复数范围内恒有解外，还给出根与系数的关系。

我国《九章算术．勾股》章中的第二十题是通过求相当于的正根而解决的。

我国数学家还在方程的研究中应用了内插法。

三、一元二次方程的广泛应用例1：下列关于x 的方程，哪些是一元二次方程？（1）3522=+x ；（2）062=-x x ；（3）5=+x x ；（4）02=-x ； （5）12)3(22+=-x x x ；（6）2273x x = ；（7）312=+xx ；（8）522=+y x 注意点：①二次项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”； ③是整式方程；④只含有一个未知数．例1:当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。

例2：方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。

例3：若方程()112=∙+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。

例4：若方程nx m +x n -2x 2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ ）A.m=n=2B.m=2,n=1C.n=2,m=1D.m=n=1（一）、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。

例1：方程782=x 的一次项系数是 ，常数项是 。

例2：（2012•洪山区模拟）若将一元二次方程x x 4232-=--化成一般形式)0(02 a c bx ax =++后，一次项和常数项分别是 ；例3：一元二次方程()()0112=++++c x b x a 化为一般式后为01232=-+x x ，试求222c b a -+的值的算术平方根？（二）、方程的解：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。

（简而言之：将该方程的解，代入原方程可以得到一个等式）例1：（2013•牡丹江）若关于x 的一元二次方程为052=++bx ax （a ≠0）的解是1=x ，则b a --2013的值是 。

例2：（2012•鄂尔多斯）若a 是方程0322=--x x 的一个解，则a a 362-的值为（ ）A ．3B ．-3C ．9D ．-9例3：关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。

例4：已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为 ，另一根是 。

（三）解一元二次方程的解法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法①直接开方法：()m x m m x ±=⇒≥=,02对于()m a x =+2，()()22n bx m ax +=+等形式均适用直接开方法 例1、解方程：();08212=-x ()216252x -=0; ()();09132=--x 例2、若()()2221619+=-x x ，则x 的值为 。

下列方程无解的是（ ）A.12322-=+x xB.()022=-x C.x x -=+132 D.092=+x ②配方法：()002≠=++a c bx ax 222442a ac b a b x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⇒ 在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。

例1：试用配方法说明322+-x x 的值恒大于0。

例2：已知x 、y 为实数，求代数式74222+-++y x y x 的最小值。

例3：已知，x、y y x y x 0136422=+-++为实数，求y x 的值。

例4：若912322-+--=x x t ，则t 的最大值为 ，最小值为 。

③公式法：条件：()04,02≥-≠ac b a 且 a ac b b x 242-±-=,()04,02≥-≠ac b a 且例1：（1）01322=--x x ； （2）()0122=++x x ； （3）0252=++x x ④因式分解法：()()021=--x x x x 21,x x x x ==⇒或十字相乘法：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”，如()()22n bx m ax +=+，()()()()c x a x b x a x ++=++ ， 例1：()()3532-=-x x x 的根为（ ）A 25=xB 3=xC 3,2521==x x D 52=x 例2：方程062=-+x x 的解为（ ）A.2321=-=，x xB.2321-==，x xC.3321-==，x xD.2221-==，x x 例3：解方程： ()04321322=++++x x例4：已知023222=--y xy x ,且0,0>>y x ,则yx y x -+的值为 例5:选择适当方法解下列方程：⑴().6132=+x ⑵()().863-=++x x ⑶0142=+-x x⑷01432=--x x ⑸()()()()5211313+-=+-x x x x四、专项训练：（一）整体思想：整体思想方法是指用“全局”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握已知和所求之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理来解决问题的方法.利用整体思想往往能够避免局部思考带来的困惑.例1：若()()044342=-+++y x y x ，则4x+y= 。

例2：()()=+=-+-+2222222,06b a b a b a 则 。

例3：若()()032=+--+y x y x ，则x+y=例4：若142=++y xy x ，282=++x xy y ，则x+y= 。

例5：已知322-+y y 的值为2，则1242++y y =例6：（苏州市）若220x x --=，求1)(222---x x x x 的值？ （二）降次的思想：通过变形，把高次项逐步转化为一次式或常数,从而达到降次的目的例1：解方程02323=+-x x x例2：如果012=-+x x ，那么代数式7223-+x x 的值。

例3：已知a 是一元二次方程0132=+-x x 的一根，求1152223++--a a a a 的值。

例4：解方程组⎩⎨⎧=+-=-)2(.065)1(,6222y xy x y x（三）当一元二次方程的解为“1”或“-1”时对于一元二次方程的一般形式02=++c bx ax （0≠a ），如果有一个根为1，则0=++c b a ；如果有一个根为-1，则0=+-c b a ；反之也成立；巧求方程的解：①085132=--x x ②02113342=-+x x例1：已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为 。

例2：方程()()02=-+-+-a c x c b x b a 的一个根为（ ）A 1-B 1C c b -D a -（四）判别式“∆”的应用判别式：根据一元二次方程的系数，判断该方程是否有实数根例1：（2013•珠海）一元二次方程：①0322=++x x ，②0322=--x x ．下列说法正确的是（ ）A ．①②都有实数解B ．①无实数解，②有实数解C ．①有实数解，②无实数解D ．①②都无实数解例2：若关于x 的方程0122=-+x k x 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 。

例3：（2013•潍坊）已知关于x 的方程()0112=--+x k kx ，下列说法正确的是（ ）A ．当k =0时，方程无解B ．当k =1时，方程有一个实数解C ．当k =-1时，方程有两个相等的实数解D ．当k ≠0时，方程总有两个不相等的实数解．例4：（2013•六盘水）已知关于x 的一元二次方程()01212=+--x x k 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 。

例5：关于x 的方程()0212=++-m mx x m 有实数根，则m 的取值范围是( )A.10≠≥m m 且B.0≥mC.1≠mD.1>m例6：已知关于x 的方程()0222=++-k x k x(1)求证：无论k 取何值时，方程总有实数根；(2)若等腰∆ABC 的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求∆ABC 的周长。

例7：m 为何值时，方程组⎩⎨⎧=+=+.3,6222y mx y x 有两个不同的实数解？有两个相同的实数解（五）韦达定理：法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。

对于02=++c bx ax 而言，当满足①0≠a 、②0≥∆时，才能用韦达定理。

ac x x a b x x =-=+2121, 注意：切记盲目用韦达定理，而忽视了0≥∆例1：（2013•雅安）已知21,x x 是一元二次方程022=-x x 的两根，则21x x +的值是（ ）A ．0B ．2C ．-2D ．4例2：（2013•天门）已知α，β是一元二次方程0252=--x x 的两根，那么α2+αβ+β2的值为（ ）A ．-1B ．9C ．23D ．27例3：已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程07822=+-x x 的两根，那么这个直角三角形的斜边长是（ ） A.3 B.3 C.6 D.6例4：（2013•泸州）已知21,x x 是一元二次方程0332=-+x x 的两个实数根，则2112x x x x +的值为（ ） A ．5 B ．-5 C ．1 D ．-1例5：已知b a ≠，0122=--a a ，0122=--b b ，求=+b a例6：若0122=--a a ，0122=--b b ，则ab b a +的值为 。