2017届高三一模考试数学试题Ⅰ一：填空题1．函数)33sin(2π-=x y 的最小正周期为_________。

2．设集合}3{},5,2{},3,1{=+==B A a B A ，则B A =____________。

3．复数2)21(i z +=，其中i 为虚数单位，则z 的实部为_______。

4．口袋中有若干红球、黄球和蓝球，从中摸出一只球。

摸出红球 的概率为0.48，摸出黄球的概率是0.35，则摸出蓝球的概率 为___________。

5．如图是一个算法流程图，则输出的n 的值为__________。

6．若实数y x ,满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+007342y x y x y x ，则y x z 23+=的最大值为______。

7．抽样统计甲、乙两名学生的5次训练成绩（单位：分），则成绩较为稳定（方差较小）的那位学生成绩的方差为________。

8．如图，在正四棱柱ABCD – A 1B 1C 1D 1中，AB=3cm ，AA 1=1cm ， 则三棱锥D 1 – A 1BD 的体积为___________cm 3。

9．在平面直角坐标系xOy 中，直线02=+y x 为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线，则该双曲线的离心率为______________。

10．《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积为___________升。

11．在ABC ∆中，若⋅=⋅+⋅2，则CAsin sin 的值为___________。

12．已知两曲线)2,0(,cos )(,sin 2)(π∈==x x a x g x x f 相交于点P 。

若两曲线在点P 处的切线互相垂直，则实数a 的值为______________。

13．已知函数|4|||)(-+=x x x f ，则不等式)()2(2x f x f >+的解集用区间表示为__________。

14．在平面直角坐标系xOy 中，已知B ，C 为圆422=+y x 上两点，点)1,1(A ，且AC AB ⊥，则线段BC 的长的取值围是_____________。

二：解答题15．（本题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边作锐角α，其终边与单位圆交于点A ，以OA 为始边作锐角β，其终边与单位圆交于点B ，552=AB 。

（1）求βcos 的值；（2）若点A 的横坐标为135，求点B 的坐标。

16．（本题满分14分）如图，在四棱锥P –ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，AC 、BD 相交于点O ，点E 为PC 的中点，OP =OC ，PA ⊥PD 。

求证：（1）直线PA ∥平面BDE ； （2）平面BDE ⊥平面PCD 。

17．（本题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为22，焦点到相应准线的距离为1.（1）求椭圆的标准方程；（2）若P 为椭圆上的一点，过点O 作OP 的垂线交直线2=y 于点Q ，求2211OQOP +的值；18．（本题满分16分）如图，某机械厂要将长6m ，宽2m 的长方形铁皮ABCD 进行裁剪。

已知点F 为AD 的中点，点E 在边BC 上，裁剪时先将四边形CDFE 沿直线EF 翻折到MNFE 处（点C ，D 分别落在直线BC 下方点M ，N 处，FN 交边BC 于点P ），再沿直线PE 裁剪。

（1）当4π=∠EFP 时，试判断四边形MNPE 的形状，并求其面积；（2）若使裁剪得到的四边形MNPE 面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由。

19．（本题满分16分）已知函数R a x x ax x f ∈--=,ln )(2。

（1）当83=a 时，求函数)(x f 的最小值； （2）若01≤≤-a ，证明：函数)(x f 有且只有一个零点；（3）若函数)(x f 又两个零点，数a 的取值围。

20．（本题满分16分）已知等差数列}{n a 的公差d 不为0，且)(,,,,2121 <<<<n k k k k k k a a a n 成等比数列，公比为q 。

（1）若8,3,1321===k k k ，求da 1的值； （2）当da 1为何值时，数列}{n k 为等比数列； （3）若数列}{n k 为等比数列，且对于任意*N n ∈，不等式n k n k a a n 2>+恒成立，求1a 的取值围。

2016-2017学年度高三第二学期期初摸底考试数学试题Ⅰ参考答案一：填空题 1．32π 2．}5,3,1{ 3．3- 4．0.17 5．5 6． 7 7．20 8．239．5 10．221311．2 12．332 13．),2()2,(+∞--∞ 14．]26,26[+-二：解答题15.解（1）在AOB ∆中，由余弦定理得：AOB OB OA OB OA AB ∠⋅-+=cos 2222，所以OBOA AB OB OA AOB ⋅-+=∠2cos 222…………………………………………2分53112)552(112=⨯⨯-+=，即53cos =β；…………………………………………6分（2）因为53cos =β，且β为锐角，所以54)53(1cos 1sin 22=-=-=ββ，……8分 因为点A 的横坐标为135，由三角函数定义可得：135cos =α，因为α为锐角，所以1312)135(1cos 1sin 22=-=-=αα，…………………………10分 所以653354131253135sin sin cos cos )cos(-=⨯-⨯=-=+βαβαβα，…………12分 655654135531312sin cos cos sin )sin(=⨯+⨯=+=+βαβαβα， 所以点)6556,6533(-B 。

……………………………………………………………………14分 16.证明：（1）连结OE ，因为O 为平行四边形ABCD 对角线的交点，所以O 为AC 的中点， 又E 为PC 的中点，所以OE//PA ，………………4分 因为OE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ，所以直线PA//平面BDE ；…………………………6分（2）因为OE//PA ，PA ⊥PD ，所以OE ⊥PD ，……8分 因为OP=OC ，E 为PC 的中点，所以OE ⊥PC ，……10分 又PC ∩PD=P ，PD ⊂平面PCD ，PC ⊂平面PCD ， 所以OE ⊥平面PCD ，………………………………12分因为OE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面PCD 。

………………………………14分17. 解：（1）由题意得：2222,1,22c b a c ca a c +==-=，………………2分 解得：1,1,2===b c a ，所以椭圆的标准方程为1222=+y x ；……4分 （2）由题意知OP 的斜率存在， 当OP 的斜率为0时，2,2==OQ OP ，所以2211OQOP +=1，……6分 当OP 的斜率不为0时，设直线OP 的方程为kx y =，由⎪⎩⎪⎨⎧==+kxy y x 1222得：2)12(22=+x k ，解得：12222+=k x ，所以122222+=k k y ， 所以1222222++=k k OP ，…………………………………………………………9分因为OQ OP ⊥，所以直线OQ 的方程为x ky 1-=， 由⎪⎩⎪⎨⎧-==xk y y 12得：k x 2-=，所以2222+=k OQ ，……………………12分 所以2211OQ OP +=12212212222=++++k k k ， 综上，可知2211OQ OP +=1.………………………………………………14分 18. 解：（1）当4π=∠EFP 时，4π=∠=∠=∠FEP EFD EFP ，所以2π=∠FPE ，即BC FN ⊥，所以四边形MNPE 为矩形，………………3分所以四边形MNPE 的面积为22m MN PN S =⋅=；…………………………5分 （2）设)2,0(,πθθ∈=∠EFD ，由条件知：θ=∠=∠=∠FEP EFD EFP ，θθπ2sin 2)2sin(2=-=PF ，θ2sin 23-=-=PF NF NP ，θtan 23-=ME ，……8分由⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<>->-200tan 2302sin 23πθθθ得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<>>2032tan 322sin πθθθ，所以⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<>>+2032tan 32tan 1tan 22πθθθθ解得：253tan 32+<<θ， 所以四边形MNPE 的面积为2)]tan 23()2sin 23[(21)(21⨯-+-=⋅+=θθMN ME PN S )2sin 2tan 2(6θθ+-=………………………………………………………………12分 326)tan 3(tan 6)tan 2tan 1tan 2(62-≤+-=++-=θθθθθ当且仅当θθtan 3tan =，即)253,32(3tan +∈=θ，3πθ=时取“=”……14分 答：当3π=∠EFP 时，沿直线PE 裁剪，四边形MNPE 面积最大，为326-。

…16分19. 解：（1）当83=a 时，x x x x f ln 83)(2--=，所以)0(,4)2)(23(1143)(>-+=--='x xx x x x x f ，…………………………2分 令)(x f '=0，得2=x ，当)2,0(∈x 时，)(x f '<0，当),2(+∞∈x 时，)(x f '>0，所以函数)(x f 在)2,0(上单调递减，在),2(+∞上单调递增， 所以当2=x 时，)(x f 有最小值2ln 21)2(--=f ；…………………………4分 （2）由R a x x ax x f ∈--=,ln )(2，得：)0(,12112)(2>--=--='x xx ax x ax x f 所以当0≤a 时，012)(2<--='xx ax x f ，函数)(x f 在),0(+∞上单调递减， 所以当0≤a 时，函数)(x f 在),0(+∞上最多有一个零点，……………………6分又当01≤≤-a 时，0)1(,01)1(22>+-=<-=eae e ef a f ， 所以当01≤≤-a 时，函数)(x f 在),0(+∞上有零点，综上，当01≤≤-a 时，函数)(x f 有且只有一个零点；……………………8分 （3）由（2）知：当0≤a 时，函数)(x f 在),0(+∞上最多有一个零点， 因为函数)(x f 有两个零点，所以0>a ，……………………………………9分由R a x x ax x f ∈--=,ln )(2，得：)0(,12112)(2>--=--='x xx ax x ax x f 令12)(2--=x ax x g ，因为02,01)0(><-=a g ， 所以函数)(x g 在),0(+∞上有且只有一个零点，设为0x ，当),0(0x x ∈时，)(x g <0，)(x f '<0，当时),(0+∞∈x x ，)(x g >0，)(x f '>0， 所以函数)(x f 在),0(0x 上单调递减，在),(0+∞x 上单调递增，要使得函数)(x f 在),0(+∞上有两个零点，只需要函数)(x f 的最小值0)(0<x f ， 即0ln 0020<--x x ax ，又因为012)(0200=--=x ax x g ， 消去a 得：01ln 200>-+x x ，又因为1ln 2)(-+=x x x h 在),0(+∞上单调递增，且0)1(=h ，所以0x >1， 则1100<<x ，因为012020=--x ax ，所以41)211(1)1(220020-+=+=x x x a ， 所以2a 在)1,0(上单调递增，所以10<<a ，………………………………………13分 以下验证当10<<a 时，函数)(x f 有两个零点。