高中数学-递推数列的通项的求法练习1．(·海南三亚一模)在数列1，2，7，10，13，…中，219是这个数列的第( )项．( )A ．16B ．24C ．26D ．28 答案 C解析 设题中数列{a n }，则a 1＝1＝1，a 2＝2＝4，a 3＝7，a 4＝10，a 5＝13，…，所以a n ＝3n －2.令3n －2＝219＝76，解得n ＝26.故选C.2．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为( )A ．15B ．16C ．49D ．64答案 A解析 a 1＝S 1＝1，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1(n≥2)．a 8＝2×8－1＝15.故选A.3．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2n ，则a 2 017等于( )A ．2 017×2 018B ．2 016×2 017C ．2 015×2 016D ．2 017×2 017答案 B解析 累加法易知选B.4．已知数列{x n }满足x 1＝1，x 2＝23，且1x n －1＋1x n ＋1＝2x n(n≥2)，则x n 等于( )A ．(23)n －1B ．(23)nC.n ＋12D.2n ＋1答案 D解析 由关系式易知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 为首项为1x 1＝1，d ＝12的等差数列，1x n ＝n ＋12，所以x n ＝2n ＋1.5．已知数列{a n }中a 1＝1，a n ＝12a n －1＋1(n≥2)，则a n ＝( )A ．2－(12)n －1B ．(12)n －1－2C ．2－2n －1D ．2n －1答案 A解析 设a n ＋c ＝12(a n －1＋c)，易得c ＝－2，所以a n －2＝(a 1－2)(12)n －1＝－(12)n －1，所以选A.6．若数列{a n }的前n 项和为S n ＝32a n －3，则这个数列的通项公式a n ＝( )A ．2(n 2＋n ＋1)B ．2·3nC ．3·2nD ．3n ＋1答案 B解析 a n ＝S n －S n －1，可知选B.7．(·云南玉溪一中月考)已知正项数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，2a n 2＝a n ＋12＋a n －12(n≥2)，则a 6的值为( )A ．2 2B ．4C ．8D ．16答案 B解析 因为正项数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，2a n 2＝a n ＋12＋a n －12(n≥2)，所以a n 2－a n －12＝a n ＋12－a n 2(n≥2)，所以数列{a n 2}是以1为首项，a 22－a 12＝3为公差的等差数列，所以a n 2＝1＋3(n －1)＝3n －2，所以a 62＝16.又因为a n >0，所以a 6＝4，故选B.8．(·华东师大等四校联考)已知数列{a n }满足：a 1＝17，对于任意的n∈N *，a n ＋1＝72a n (1－a n )，则a 1 413－a 1 314＝( )A ．－27B.27 C ．－37D.37 答案 D解析 根据递推公式计算得a 1＝17，a 2＝72×17×67＝37，a 3＝72×37×47＝67，a 4＝72×67×17＝37，…，可以归纳通项公式为：当n 为大于1的奇数时，a n ＝67；当n 为正偶数时，a n ＝37.故a 1 413－a 1 314＝37.故选D. 9．(·湖南衡南一中段考)已知数列{a n }，若a 1＝2，a n ＋1＋a n ＝2n －1，则a 2 016＝( )A ．2 011B ．2 012C ．2 013D ．2 014 答案 C解析 因为a 1＝2，故a 2＋a 1＝1，即a 2＝－1.又因为a n ＋1＋a n ＝2n －1，a n ＋a n －1＝2n －3，故a n ＋1－a n －1＝2，所以a 4－a 2＝2，a 6－a 4＝2，a 8－a 6＝2，…，a 2 016－a 2 014＝2，将以上1 007个等式两边相加可得a 2 016－a 2＝2×1 007＝2 014，所以a 2 006＝2 014－1＝2 013，故选C.10．在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝a n ＋1n （n ＋1），则通项公式a n ＝________． 答案 4－1n解析 原递推式可化为a n ＋1＝a n ＋1n －1n ＋1， 则a 2＝a 1＋11－12，a 3＝a 2＋12－13， a 4＝a 3＋13－14，…，a n ＝a n －1＋1n －1－1n. 逐项相加，得a n ＝a 1＋1－1n .又a 1＝3，故a n ＝4－1n .11．已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1＝a n3a n＋1(n∈N *)，则数列{a n }的通项公式为________．答案 a n ＝13n －2解析 由已知，可得当n≥1时，a n ＋1＝a n3a n＋1.两边取倒数，得1a n ＋1＝3a n ＋1a n ＝1a n＋3.即1a n ＋1－1a n ＝3，所以{1a n }是一个首项为1a 1＝1，公差为3的等差数列．则其通项公式为1a n ＝1a 1＋(n －1)×d＝1＋(n －1)×3＝3n －2.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝13n －2.12．在数列{a n }中，a 1＝1，当n≥2时，有a n ＝3a n －1＋2，则a n ＝________．答案 2·3n －1－1解析 设a n ＋t ＝3(a n －1＋t)，则a n ＝3a n －1＋2t.∴t ＝1，于是a n ＋1＝3(a n －1＋1)．∴{a n ＋1}是以a 1＋1＝2为首项，以3为公比的等比数列．∴a n ＝2·3n －1－1.13．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2a n －1＋2n ＋1(n ≥2)，则a n ＝________．答案 (2n －1)·2n解析 ∵a 1＝2，a n ＝2a n －1＋2n ＋1(n≥2)，∴a n 2n ＝a n －12n －1＋2.令b n ＝an2n ，则b n －b n －1＝2(n≥2)，b 1＝1.∴b n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1，则a n ＝(2n －1)·2n.14．已知数列{a n }的首项a 1＝12，其前n 项和S n ＝n 2a n (n≥1)，则数列{a n }的通项公式为________．答案 a n ＝1n （n ＋1）解析 由a 1＝12，S n ＝n 2a n ，①∴S n －1＝(n －1)2a n －1.②①－②，得a n ＝S n －S n －1＝n 2a n －(n －1)2a n －1，即a n ＝n 2a n －(n －1)2a n －1，亦即a na n －1＝n －1n ＋1(n≥2)．∴a n a 1＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 3a 2·a 2a 1＝n －1n ＋1·n －2n ·n －3n －1·…·24·13＝2n （n ＋1）.∴a n ＝1n （n ＋1）.15．(·太原二模)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n －a n ＋1＝2a n a n ＋1n （n ＋1）(n∈N *)，则a n ＝________．答案n3n－2解析由a n－a n＋1＝2a n a n＋1n（n＋1）得1a n＋1－1an＝2n（n＋1）＝2×(1n－1n＋1)，则由累加法得1a n－1a1＝2(1－1n)，又因为a1＝1，所以1a n＝2(1－1n)＋1＝3n－2n，所以a n＝n3n－2.16．(·河北唐山一中模拟)已知首项为7的数列{a n}满足∑ni＝2a i2i－1＝3n＋1(n∈N*)，则数列{a n}的通项公式为________．答案a n＝⎩⎪⎨⎪⎧7（n＝1），6n（n≥2），解析当n≥2时，∑i＝2n－1ai2i－1＝3n，又∑i＝2n ai2i－1＝3n＋1，两式相减，得a n2n－1＝2×3n，所以a n＝6n.由于a1＝7不符合a n＝6n，所以数列{a n}的通项公式为a n＝⎩⎪⎨⎪⎧7（n＝1），6n（n≥2）.17．数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝n(n＋1)(n∈N*)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{b n}满足：a n＝b13＋1＋b232＋1＋b333＋1＋…＋b n3n＋1，求数列{b n}的通项公式．答案(1)a n＝2n (2)b n＝2(3n＋1)解析(1)当n＝1时，a1＝S1＝2，当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝n(n＋1)－(n－1)n＝2n，知a1＝2满足该式，∴数列{a n}的通项公式为a n＝2n.(2)∵a n＝b13＋1＋b232＋1＋b333＋1＋…＋b n3n＋1(n≥1)，①∴a n＋1＝b13＋1＋b232＋1＋b333＋1＋…＋b n3n＋1＋b n＋13n＋1＋1.②②－①，得b n＋13n＋1＋1＝a n＋1－a n＝2，b n＋1＝2(3n＋1＋1)．故b n＝2(3n＋1)(n∈N*)．1．(·衡水调研)运行如图的程序框图，则输出的结果是( )A．2 016 B．2 015C.12 016D.12 015答案 D解析 如果把第n 个a 值记作a n ，第1次运行后得到a 2＝a 1a 1＋1，第2次运行后得到a 3＝a 2a 2＋1，…，第n 次运行后得到a n ＋1＝a n a n ＋1，则这个程序框图的功能是计算数列{a n }的第2 015项．将a n ＋1＝a n a n ＋1变形为1a n ＋1＝1a n＋1，故数列{1a n }是首项为1，公差为1的等差数列，故1a n ＝n ，即a n ＝1n ，所以输出结果是12 015.故选D. 2．若数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2na n ，则数列{a n }的通项公式a n ＝________．答案 2n （n －1）2解析 由于a n ＋1a n ＝2n ，故a 2a 1＝21，a 3a 2＝22，…，a n a n －1＝2n －1，将这n －1个等式叠乘，得a n a 1＝21＋2＋…＋(n －1)＝2n （n －1）2，故a n ＝2n （n －1）2. 3．已知S n 为数列{a n }的前n 项，a 12＋a 23＋a 34＋…＋a n －1n＝a n －2(n≥2)，且a 1＝2，则{a n }的通项公式为________． 答案 a n ＝n ＋1解析 ∵a 12＋a 23＋a 34＋…＋a n －1n ＝a n －2(n≥2)，∴当n ＝2时，a 12＝a 2－2，解得a 2＝3.a 12＋a 23＋a 34＋…＋a n －1n ＋a n n ＋1＝a n ＋1－2，a n n ＋1＝a n ＋1－2－(a n －2)(n≥2)，得a n ＋1n ＋2＝a n n ＋1(n≥2)，∴a n ＋1n ＋2＝a n n ＋1＝…＝a 23＝1，∴a n ＝n ＋1(n≥2)，当n ＝1时也满足，故a n ＝n ＋1.。