概率论与数理统计教案编写人：第三章：多维随机变量及其分布一、基本概念1联合分布函数设（Y X ,）是二维离散型随机变量，y x ,是任意实数，),(),(Y Y x X P y x F ≤≤=二维随机变量（Y X ,）的联合分布函数。
2.联合分布函数的性质（1）单调性),(y x F 关于x(y)单调不减；（2）1),(0≤≤y x F ,0),(),(=-∞=-∞y F x F ,1),(=+∞+∞F ； (3) ),(y x F 关于x(y)右连续；(4)),(),(),(),(},{221221222121y x F y x F y x F y x F y Y y x X x P +--=≤<≤< 3．边缘分布函数设（Y X ,）是二维离散型随机变量的联合分布函数为),(y x F ，则),(},{}{)(+∞=+∞≤≤=≤=x F Y x X P x X P x F X ，),(},{}{)(y F y Y X P y Y P y F Y +∞=≤+∞≤=≤=二维随机变量（Y X ,）的边缘分布函数。
二、离散型二维随机变量1. 离散型二维随机变量的分布律设),(Y X 是一个二维离散型随机变量，它们一切可能取的值为(,),,1,2,,i j a b i j =L 令},{j i ij b Y a X p p ===),,1,2,ij i j p P a b i j ξη====L称(;,1,2,)ij p i j =L 是二维离散型随机变量),(Y X 的联合分布. 二维联合分布的三个性质：11(1)0,,1,2,;(2)1ij ij i j p i j p ∞∞==∞≥==∑∑L2. 离散型二维随机变量的分布函数 ∑∑≤≤=i jx X y Y ij p y x F ),(3. 离散型二维随机变量的边缘分布设二维随机变量（Y X ,）的联合概率分布},{j i y Y x X p ===(,1,2,)ij p i j =L 中对固定的i 关于j 求和而得到∑∞===+∞≤===1.},{}{j i iji i p pY x X p x X p∑∞===≤+∞≤==1.},{}{i j ij j j p p y Y X p y Y p4. 离散型二维随机变量的条件对于固定的j 若，0}{.>==j j p y Y p ，称jij j j i j i p p y Y p y Y x X p y Y x X p .}{},{}|{=======为在j y Y =的条件下，随机变量i x X =的条件概率. 同样定义.}{},{}|{i ij i j i i j p p x X p y Y x X p x X y Y p =======为在i x X =的条件下，随机变量j y Y =的条件概率. 条件概率符合概率的性质0}|{≥==j i y Y x X p1}|{1===∑∞=j i i y Y x X p5. 离散型二维随机变量的独立性设离散型随机变量),(Y X 的联合概率分布列与边缘分布为：ij j i p y Y x X P ===},{，.}{i i p x X p == j j p y Y p .}{==定理1：离散型随机变量Y X ,独立的充分必要条件是对于任意的j i ,都有 ij p .i p = j p .例1 从1，2，3，4种任取一个记为X ，在从1X 种任取一个记为Y ， (1)求二维随机变量（Y X ,）的联合分布律(2)求二维随机变量（Y X ,）的边缘分布律。
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4/14/14/14/14321~X ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛48/348/748/1348/254321~Y(3)求1=Y 的条件下，X 的概率分布251248/254/1/}1|1{1.11=====p p Y X p 25648/258/1/}1|2{1.12=====p p Y X p 25448/2512/1/}1|3{1.13=====p p Y X p 25348/2516/1/}1|4{1.13=====p p Y X p (4) 随机变量Y X ,独立吗？)48/25)(4/1()4/1(11≠=p .1p = 1.pY X ,不独立。
例2 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛5.05.010~X ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛6.04.010~Y ，且4.0}0{=≠XY p ，求随机变量（Y X ,）的联合分布律及}{Y X p ≠。
例3 已知X,Y 独立，完成下表：例4 已知（X,Y ）的分布律为：已知}1{}0{=+=Y X X 与独立，求a,b三、连续型二维随机变量1．定义与性质如果联(,)F x y 是一个合分布函数，若存在函数(,)p x y ，使对任意的(,)x y ，有 (,)(,)x yF x y p u v dudv -∞-∞=⎰⎰成立，则称(,)F x y 是一个连续型的联合分布函数，并且称其中的(,)p x y 是(,)F x y 的联合概率密度函数或简称为密度.如果二维随机变量(,)ξη的联合分布函数(,)F x y 是连续型分布函数，就称(,)ξη是二维的连续型随机变量.密度函数的性质：由分布函数的性质可知，任一二元密度函数(,)p x y 必具有下述性质：(1)(,)0;(2)(,)(,)1p x y p x y dxdy F ∞∞-∞-∞≥=+∞+∞=⎰⎰反过来，任意一个具有上述两个性质的二元函数(,)p x y ，必定可以作为某个二维随机变量的密度函数.此外，密度函数还具有性质：（3）若(,)p x y 在点(,)x y 连续，(,)F x y 是相应的分布函数，则有2(,)(,)F x y p x y x y∂=∂∂ （4）若G 是平面上的某一区域，则 {}(,)(,)GP G p x y dxdy ξη∈=⎰⎰2．连续型随机变量的边缘分布若（Y X ,）联合分布函数已知，那么，它的两个分量X 与Y 的分布函数称为边际分布函数可由联合分布函数(,)F x y 求得， 概率密度dx y x f y f dy y x f x f Y X ⎰⎰+∞∞-+∞∞-==),()(,),()( 3. 连续型随机变量条件分布若（Y X ,）概率密度为),(y x f ，边缘概率密度)(y f Y 0>，称)(),()|(|y f y x f y x f Y Y X =为在y Y =的条件下，随机变量X 的条件概率密度. 类似地，称)(),()|(|x f y x f x y f X X Y =)(x f X 0>为在x X =的条件下，随机变量Y 的条件概率密度.设随机变量),(Y X 的联合分布为),(y x F ，如果对任意的y x ,都 )()(}{}{},{),(y F x F y Y P x X P y Y x X P y x F Y X =≤≤=≤≤= 则称Y X ,是独立的4.随机变量的独立性设随机变量),(Y X 的联合分布为),(y x F ，如果对任意的y x ,都 )()(}{}{},{),(y F x F y Y P x X P y Y x X P y x F Y X =≤≤=≤≤= 则称Y X ,是独立的定理2：如果),(Y X 是二维连续型随机变量，则X 与也都是连续型随机变量，它们的Y 密度函数分别为)(),(y f x f Y X ，这时容易验证X 与Y 独立的充要条件为：)()(),(y f x f y x f Y X =几乎处处成立。
说明：(1))()(),(y F x F y x F Y X =或)()(),(y f x f y x f Y X =点点成立，则X 与Y 独立。
(2)X 与Y 独立,则)()(),(y F x F y x F Y X =点点成立)()(),(y f x f y x f Y X =不一定点点成立。
(3)在个别点)()(),(y f x f y x f Y X ≠，则X 与Y 可能还独立；在一点)()(),(y F x F y x F Y X ≠，则X 与Y 一定不独立。
例1：已知随机变两（X,Y ）的概率密度为⎩⎨⎧>>=--其他0,0),(2y x Ae y x f yx(1)求A ⎰⎰+∞∞-+∞∞-=1),(dxdy y x f2,121002===⎰⎰∞+∞+--A A dxdy Ae y x (2)求分布函数当0,0>>y x 时，⎰⎰⎰⎰∞---∞-==xxy y x ydudv e dudv v u f y x F 0022),(),( ]1][1[2y x e e ----= 其他，0),(=y x F⎪⎩⎪⎨⎧>>--=--其他00,0)1()1(),(2y x e e y x F y x（3）求}{Y X p ≤ ⎰⎰∞+--==≤002312}{xy x dxdy e Y X p (4) 求边缘概率密度)(),(y f x f Y X⎪⎩⎪⎨⎧>=⎪⎩⎪⎨⎧>==-∞+--∞+∞-⎰⎰other x e other x dy e dy y x f x f x y x X 002002),()(202 ⎪⎩⎪⎨⎧>=⎪⎩⎪⎨⎧>==-∞+--∞+∞-⎰⎰other y e other y dx e dx y x f y f y y x Y 00002),()(02 (5) 求条件概率密度)|(|y x f Y X当0≤y 时，)|(|y x f Y X 不存在； 当0>y 时，⎪⎩⎪⎨⎧>==-otherx e y f y x f y x f xY Y X 002)(),()|(2|(6) 求}2|2{≤≤X X p41)2()2,2(}2{}2,2{}2|2{--==≤≤≤=≤≤e F F Y P Y X p Y X p Y(7)Y X ,独立吗？)()(),(y f x f y x f Y X =点点成立，则X 与Y 独立。
例2：已知随机变量（X,Y ）时区域D 上的分布，D 由1y x 0,x.y =+=围成，问X,Y 是否独立？解：⎩⎨⎧∈=其他，（0)2),(Dy x y x f⎰⎰==2121002121212),(dxdy F⎩⎨⎧≤≤-=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤==⎰⎰-∞+∞-otherx x other x dy dy y x f x f x X 010220102),()(10 43]22[)()(2121021=-==⎰⎰∞-dx x dx x f F X X同理：43)(21=Y F≠),(2121F )(21X F )(21Y F所以X,Y 不否独立。