第三节 抛物线高考试题考点一 抛物线的定义和标准方程1．(2010年陕西卷，理８)已知抛物线y 2=2ｐx （p>０)的准线与圆ｘ2+y 2-6x-7＝0相切,则p 的值为( )(Ａ)12(B ）1 (C)2(D)４ 解析:圆x 2+y 2－6x －7=0化为标准方程为（x-3）2+y 2=1６,∴圆心为(３,０)，半径是4,抛物线y 2=２px(p ＞０)的准线是x ＝－2p , ∴３+2p=4， 又p ＞0，解得p ＝2．故选C. 答案:C２.(2011年辽宁卷,理3)已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点,A,Ｂ是该抛物线上的两点，｜AF|+|ＢF ｜=3,则线段ＡＢ的中点到y 轴的距离为（ ）(A)34(B)１ (C)54（D)74解析:∵|A Ｆ|+|BF|=ｘA ＋ｘB +12=３, ∴ｘＡ＋ｘＢ=52. ∴线段ＡB 的中点到y 轴的距离为2A B x x =54．故选C ． 故选C. 答案:C3.（2012年四川卷，理８)已知抛物线关于ｘ轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过点M(２,y 0）.若点M 到该抛物线焦点的距离为3,则｜O Ｍ|等于( )（A)22(B)23(C)4(D)２5解析:由题意设抛物线方程为y 2=2px(ｐ＞０）,则M 到焦点的距离为ｘＭ+2p ＝2＋2p=3,∴p=2，∴y ２=４x ．∴20y =4×２，∴｜ＯM|=204y +=48+=23.故选B.答案:B4.（2０10年上海卷,理3)动点P 到点Ｆ(2,0)的距离与它到直线x+2=0的距离相等，则点P 的轨迹方程是.解析：由抛物线的定义知,点Ｐ的轨迹是以F 为焦点,定直线ｘ＋２＝0为准线的抛物线，故其标准方程为y 2＝8x.答案：ｙ2=８x5.(201２年陕西卷,理13)如图所示是抛物线形拱桥,当水面在ｌ时,拱顶离水面2 m,水面宽4 m.水位下降 １ m 后,水面宽m ．解析:建立如图所示的平面直角坐标系,设抛物线方程为x ２=-２py （p ＞0),则A （２，－2),将其坐标代入 x 2=-2ｐy,得ｐ=1．∴x 2=-2y ．当水面下降1 m,得D(x ０,-３)(x 0＞0),将其坐标代入x 2=-2ｙ得20x =6,∴x 06,∴水面宽6 m. 答案66.(２01０年浙江卷,理13)设抛物线y 2=2px(p>０)的焦点为Ｆ,点Ａ(0,2),若线段ＦＡ的中点B 在抛物线上,则B 到抛物线准线的距离为．解析:由已知得Ｂ点的纵坐标为1，横坐标为4p ,即B ,14p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将其代入ｙ2=２px 得1=2p ×4p ,解得则Ｂ点到准线的距离为2p +4p =34ｐ=考点二 抛物线的几何性质及其应用１.(2011年四川卷,理10)在抛物线y ＝ｘ２+ax-５（a ≠0）上取横坐标为ｘ1＝-4,x ２＝2的两点,过这两点引一条割线,有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5ｘ2＋5ｙ2＝３6相切,则抛物线顶点的坐标为( )(A)(-2,-9)(B)（0,-5)(C)(2,－9） (Ｄ)(1，-6)解析:当x 1=-4时,ｙ１＝11-4a;当ｘ２＝2时,ｙ2=2a-1,所以割线的斜率k=1142142a a --+--=a-２．设直线与抛物线的切点横坐标为x ０，由y ′=2ｘ＋a 得切线斜率为2x ０+a,∴2x 0+a=ａ-2,∴ｘ0=-1. ∴直线与抛物线的切点坐标为(－１，-a-4),切线方程为y+a ＋4=(a-2)(ｘ+1）， 即（a-2)ｘ－y-6=0.圆5x ２＋5y 2＝36的圆心到切线的距离.，即(a-2)２＋1=5.又a ≠0，∴a=4，此时ｙ=x 2+4ｘ－5=(x+2）2-9,顶点坐标为(-2,-9).故选Ａ.答案:A2.(20０9年四川卷，理9)已知直线l 1:4x-3y+６=0和直线ｌ2:ｘ=－1,抛物线y 2=4ｘ上一动点Ｐ到直线l 1和直线l ２的距离之和的最小值是( )（A)２ (B)3(C)115(D)3716解析：如图所示,动点P 到l 2:x ＝-1的距离可转化为点P 到点F 的距离.由图可知,距离和的最小值即F 到直线l 1的距离=2．故选A.答案:A3.(2０09年福建卷,理1３)过抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A 、B 两点,若线段AB 的长为8,则p ＝.解析:∵F 02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，∴设A Ｂ:y=ｘ－2p ,与y 2=2ｐx 联立，得ｘ2-3p ｘ+24p ＝0.∴ｘA +x B =3p.∴|AB|＝ｘA +x B ＋ｐ=４p ＝8,得ｐ＝２. 答案:24.(２010年大纲全国卷Ⅱ，理15)已知抛物线Ｃ：y ２＝2ｐx(p ＞０)的准线为ｌ，过M(1,０)且斜率为3的直线与l 相交于点A,与C 的一个交点为B,若AM =MB ，则p ＝．解析:如图所示,由A Ｂ的斜率为3,知∠α＝6０°， 又AM =MB , ∴M 为ＡＢ的中点．过点Ｂ作B Ｐ垂直准线l 于点Ｐ, 则∠ABP ＝60°,∴∠BAP=30°.∴｜B Ｐ｜=12|A Ｂ|=|BM|, ∴M 为焦点，即2p=1,∴p=2. 答案:2考点三直线与抛物线位置关系1.(2013年大纲全国卷,理1１）已知抛物线C：y2=8x与点M(-２,２)，过C的焦点且斜率为k的直线与Ｃ交于A、Ｂ两点,若MA·MB=0,则k等于( )(A)12（B）22(C)2(D）2解析：法一设直线方程为y＝k(ｘ-2),Ａ(x1,y１)、B（x2,y2),由()22,8,y k xy x⎧=-⎪⎨=⎪⎩得ｋ２ｘ2-4(ｋ2＋２)x+4ｋ２=0，∴x１＋x2=()2242kk+，x1x2=４，由MA·MB=0,得(x1＋2,y1-2）·(x2+2,y2-２)=(x1+２）（x2+2）+[k(x1－2)-2][k(x2－2)-２］=0,代入整理得k2-４ｋ+4=0,解得ｋ＝2.故选Ｄ.法二如图所示,设Ｆ为焦点,取AB中点P,过A、B分别作准线的垂线，垂足分别为G、H,连接MF,MP,由MA ·MB =0, 知ＭＡ⊥MB,则|MP|=12|AB|=12(|A Ｇ|+|B Ｈ｜)， 所以ＭP 为直角梯形B ＨG Ａ的中位线， 所以MP ∥ＡG ∥BH,所以∠ＧAM ＝∠ＡM Ｐ=∠MA Ｐ, 又|AG|=|AF|, |A Ｍ|=|AM|， 所以△AMG ≌△AM Ｆ, 所以∠AFM=∠ＡG Ｍ=90°,则MF ⊥AB,所以k=-1MFk ＝２．答案:D2.(2０10年辽宁卷,理7)设抛物线y ２=８ｘ的焦点为Ｆ,准线为l,P 为抛物线上一点，PA ⊥ｌ，Ａ为垂足，如果直线AF 的斜率为-3,那么｜PF|等于(）(Ａ）43（B)8(Ｃ）８3(D)16解析:如图所示，直线AF 的方程为y ＝-3(x-2),与准线方程ｘ＝-２联立得A(-2，43).设Ｐ(x 0,3),代入抛物线y 2＝8x,得８ｘ0=48，∴x0=6,∴｜ＰＦ|=x0+2＝8，选B.答案:B3．（2012年安徽卷,理9)过抛物线ｙ２=4ｘ的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,O为坐标原点.若|AF|=3,则△AOB的面积为（ )(A)2(B)2(Ｃ）32(Ｄ)２2解析:如图所示,由题意知,抛物线的焦点F的坐标为(1，０)，又|AF|＝3，由抛物线定义知：点A到准线ｘ＝-1的距离为3,∴点Ａ的横坐标为2.将x=2代入y2=4x得y2=8，由图知点A的纵坐标2∴A(2，2∴直线ＡF的方程为2ｘ-1）.联立直线与抛物线的方程) 2221,4,y xy x⎧=-⎪⎨=⎪⎩解之得1,22xy⎧=⎪⎨⎪=-⎩或2,2 2.xy=⎧⎪⎨=⎪⎩由图知B1,22⎛-⎝,∴S△AOB=12｜OＦ|·|y A-y B｜=12×１×｜22＝322.答案:C4．(２0０9年天津卷，理9)设抛物线ｙ2＝２ｘ的焦点为F,过点Ｍ（3,0)的直线与抛物线相交于A,Ｂ两点,与抛物线的准线相交于点C ，|B Ｆ|=2,则△BCF 与△ACF 的面积之比BCFCFS S △△A 等于( ) (A ）45(B ）23（C)47(D)12解析：如图所示,设过点M(3,0）的直线方程为ｙ＝k(ｘ-3)，代入y 2=2ｘ并整理，得k 2ｘ2-(23k 2+2)x ＋3k 2＝０,设A(x １,y 1）,B （x 2，y 2)， 则x 1＋ｘ２2232k +，ｘ１x 2=3,因为|ＢF|=2，所以|BB ′|=2,∴x 2=２－12=32, 从而x １＝23x ＝2. 设点F 到直线A Ｃ的距离为d ，则BCF CFS S △△A =1212BC d AC d ⋅⋅=BC BB AC AA '='=2122+＝45. 故选A. 答案:A5.（200９年大纲全国卷Ⅱ，理9)已知直线y=ｋ(x+2）(k>0)与抛物线Ｃ：y 2=8x 相交于A 、B 两点，Ｆ为C 的焦点,若｜FA ｜=2|F Ｂ|,则k 等于( )（Ａ)13(B)23 (Ｃ)23(D)223解析：将y ＝k(ｘ+2)代入y ２=８ｘ，得ｋ2x 2＋（4ｋ2-8)x+4k ２=0.设交点的横坐标分别为x Ａ,x Ｂ,则ｘA +ｘＢ=28k －4，①x A ·x B =4.又｜ＦA|=ｘA +2,|FB|=ｘＢ+2, |FA|=2|ＦB|, ∴2ｘB +4＝x A +2． ∴x A =２x Ｂ+２.②∴将②代入①得x B ＝283k -2,x A =2163k -４+２=2163k －2.故x Ａ·x B =228162233k k ⎛⎫⎛⎫--⎪⎪⎝⎭⎝⎭=４． 解之得ｋ２=89.而k>0,∴k=3,满足Δ＞0.故选Ｄ．答案：Ｄ6.(201３年安徽卷,理13）已知直线y=ａ交抛物线ｙ=ｘ２于A ，Ｂ两点.若该抛物线上存在点Ｃ,使得∠ACB 为直角,则a 的取值范围为.解析：设直线y=ａ与y 轴交于点Ｍ，抛物线y=x ２上要存在C 点,使得∠A ＣB 为直角,只要以｜A Ｂ｜为直径的圆与抛物线y=ｘ2有交点即可，也就是使|AM ｜≤|MO|,≤ａ(ａ>0),所以a ≥1．答案:[1,+∞）７.(201２年重庆卷,理１4)过抛物线y 2=２x 的焦点F 作直线交抛物线于Ａ，B 两点,若|ＡB|＝2512，|ＡF|<｜BF ｜,则｜ＡF ｜=.解析:由于y 2=２x 的焦点坐标为1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，设AB 所在直线的方程为ｙ=k 12x ⎛⎫- ⎪⎝⎭,Ａ(x 1，y １)，B(ｘ２，y 2）,ｘ１<x 2,将y=ｋ12x ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入ｙ2=2x,得ｋ２212x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=2x ，∴k ２x ２-(k 2+２)x+24k =0.∴ｘ1x ２＝14. 而ｘ１+x 2+p ＝ｘ1+x 2＋1=2512， ∴x １＋ｘ２＝1312． ∴x 1=13,x 2=34．∴|AF|=x １＋2p ＝13+12=56． 答案:56８．(２０10年重庆卷,理14)已知以F 为焦点的抛物线y 2＝４ｘ上的两点A 、B 满足AF =３FB ,则弦A Ｂ的中点到准线的距离为.解析:Ｆ的坐标为(1,0)． 设Ａ(x 1，y 1）,B(ｘ2，y 2)， ∵AF =３FB ,∴(1-x １,－y １)＝3（x 2-1,y 2), ∴1-x 1=3x 2－3, 且－ｙ1=３ｙ2, 即x 1+3x 2=４,y １=-3y ２. 设直线ＡB 的方程为y=k(x-１)， AB 中点为Ｐ（x 0,y ０).由()24,1,y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得ｋy 2-4ｙ－4k=0．∴y 1y 2=－４.∴21y =12,22y =43. ∴x 1=3，x ２=13.∴ｘ０=122x x +＝53． ∴中点Ｐ到准线x=-1的距离d=53-(-1)=83. 答案:839.(2０1２年辽宁卷，理15)已知P,Q 为抛物线x ２＝2y 上两点,点P,Q 的横坐标分别为4,-2,过Ｐ,Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A,则点A 的纵坐标为.解析:y ＝12x 2,y ′=x ， 由题意Ｐ(４,８),k １=y ′|ｘ=4=4， 切线为ｙ＝4x-8,Ｑ(-2，2),k 2=y ′|x=-2=-２， 切线为y=-２ｘ-2.由48,22y x y x =-⎧⎨=--⎩得A （1,-４)． 答案：-41０.(２０12年北京卷，理12）在直角坐标系x Ｏy 中,直线l 过抛物线y ２＝4x 的焦点F,且与该抛物线相交于A,Ｂ两点，其中点A 在x 轴上方,若直线l 的倾斜角为60°,则△OAF 的面积为.解析:∵抛物线y 2=4ｘ,∴焦点Ｆ的坐标为（１,０). 又∵直线l 倾斜角为60°,∴直线方程为（x-１)．联立方程)21,4,y x y x ⎧-⎪⎨=⎪⎩解得111,3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或223,x y =⎧⎪⎨=⎪⎩由已知得A 的坐标为（3,∴S △OA Ｆ=12|OF|·|y Ａ|=12×1×答案11．（201２年新课标全国卷，理20)设抛物线C:ｘ2=2py(p ＞０)的焦点为F ，准线为l,Ａ为C 上一点,已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于Ｂ,D 两点．(１)若∠BFD=90°,△ＡＢD 的面积为求p 的值及圆F 的方程;（2)若Ａ,Ｂ,Ｆ三点在同一直线m 上,直线n 与m 平行,且n 与C 只有一个公共点,求坐标原点到m ，n 距离的比值．解:(1)由已知可得△B ＦD 为等腰直角三角形,|BD|＝2p,圆F 的半径|ＦＡ｜,又点Ａ到ｌ的距离d=|Ｆ,而Ｓ△ABD =12|BD|·ｄ即12×2∴p=-2（舍去)或p=２, ∴圆Ｆ的方程为x ２+(y-1）2＝8.(2)∵A 、B 、Ｆ三点在同一直线ｍ上,所以AB 为圆F 的直径,∠A ＤB=90°.又由抛物线定义知|AD ｜＝|ＦA ｜=12|A Ｂ|, ∴∠ＡＢD ＝3０°，m 的斜率为当mn 方程为ｙx+b.代入x 2＝2py 得x 2ｘ－２pb=０, 由于n 与C 只有一个公共点，故Δ＝43ｐ２+8p ｂ=0 ∴ｂ=-6p , 又∵m 的截距b １=2p ,1b b=３， ∴坐标原点到ｍ、n 距离的比值为3.当m 的斜率为,由图形对称性知，坐标原点到m 、ｎ的距离之比仍为3． 1２.(2013年广东卷，理２0)已知抛物线Ｃ的顶点为原点,其焦点F(０，c ）（ｃ>0)到直线ｌ：x-y-2＝0,设P 为直线l 上的点,过点Ｐ作抛物线C 的两条切线PA,PB,其中Ａ,Ｂ为切点. （1)求抛物线Ｃ的方程；(２)当点P(x 0,y 0)为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程; （3)当点Ｐ在直线l 上移动时,求｜A Ｆ｜·|BF ｜的最小值. 解：(1)依题意,设抛物线C 的方程为x ２＝4cy,结合c>0,解得c=1.所以抛物线C 的方程为x 2=4y. (2)抛物线C 的方程为x ２=4y,即y=14x ２，求导得y ′=12x. 设A(x １，y １),Ｂ(x 2,ｙ2)（其中y 1＝214x ,y ２=224x ),则切线PA,PB 的斜率分别为12x 1,12ｘ２. 所以切线P Ａ的方程为ｙ－ｙ1=12x (x-x 1), 即y=12x x-212x +ｙ1,即x １x-２y-2y 1＝0.同理,可得切线ＰB 的方程为x ２x-2y-２y 2=0. 因为切线ＰA,P Ｂ均过点P(x 0,y ０)， 所以ｘ1x 0-2ｙ0-2y 1＝0,x 2x 0-2y 0－2y ２=0.所以(x 1,y １),（x 2，y 2)为方程ｘ0x-2y 0-2y=0的两组解. 所以直线ＡＢ的方程为x 0x-2y 0-2ｙ＝0. (3)由抛物线定义可知｜ＡF|＝y 1+1，|BF|=y 2+1, 所以|AF ｜·|BF|＝(ｙ１+1)(y 2+1）=ｙ1y ２＋（y １+ｙ2)+1．联立方程002220,4,x x y y x y --=⎧⎪⎨=⎪⎩消去x 整理得ｙ2+（2y 0－20x )y ＋20y =0,由根与系数的关系可得ｙ1+y 2=20x －2y 0,ｙ1y 2=20y ,所以｜AF|·｜ＢＦ｜=y １y 2+(y 1+y 2)+1=20y +20x -２ｙ0+1．又点Ｐ(x 0,y 0)在直线l 上,所以x 0=y 0+2.所以20y +20x -2y 0＋1＝２20y +2y ０+５=2(y 0+12）2+92． 所以当ｙ0＝-12时，|AF|·|B Ｆ|取得最小值,且最小值为92. 13.(2013年湖南卷，理21）过抛物线Ｅ:x ２=2py(p>0)的焦点Ｆ作斜率分别为ｋ１,ｋ2的两条不同直线l １,l 2，且ｋ1+k ２=2,l 1与E 相交于点A,Ｂ,ｌ2与E 相交于点C ，D,以AB,C Ｄ为直径的圆Ｍ,圆Ｎ(M,N 为圆心)的公共弦所在直线记为l.（1)若k 1>0,k 2>0,证明:FM ·FN <2ｐ2;（２）若点Ｍ到直线lE 的方程. 解：（1)由题意知,抛物线E 的焦点为F 02p ⎛⎫⎪⎝⎭，,直线l 1的方程为y=k 1x ＋2p . 由12,22p Y k x x py ⎧=+⎪⎨⎪=⎩得x 2－2ｐk 1x-p 2=0.设A,B 两点的坐标分别为(x １,y １）,(x 2,y 2), 则ｘ1,ｘ2是上述方程的两个实数根, 从而ｘ1+ｘ２=２pk 1,y 1＋y 2＝ｋ1(x 1+x 2)+p=2ｐ21k +p.所以点M 的坐标为（p ｋ1，ｐ21k +2p）, FM ＝(pk 1,p 21k )．同理可得点N 的坐标为(p ｋ2,ｐ22k +2p)， FN ＝(p ｋ2，ｐ22k ),于是FM ·FN =p 2(k 1ｋ2＋21k 22k ).因为ｋ1＋ｋ2=2,k 1>０,ｋ2＞０,k １≠k 2, 所以0<k １ｋ2<122k k +⎛⎫ ⎪⎝⎭2＝1.故FM ·FN <p 2(１+１2)＝2p 2．（２)由抛物线的定义得|FA ｜=y 1+2p , ｜ＦB ｜=y 2+2p , 所以|AB ｜=y １＋y 2+p ＝2p 21k +2ｐ, 从而圆M 的半径r 1＝p 21k +p.故圆M 的方程为（ｘ－pk １)2+（y －p 21k -2p )2=(p 21k +p)2， 化简得x 2+y 2-2pk 1x-ｐ(221k +1)y-34p ２=0. 同理可得圆Ｎ的方程为ｘ2+ｙ2-2pk 2x －p(222k ＋1)y-34p ２=0.于是圆M ，圆Ｎ的公共弦所在直线l 的方程为（k ２-ｋ1）x+（22k -21k )y=0． 又k 2-ｋ1≠０,k 1+k ２=2, 则l 的方程为x ＋2ｙ＝0. 因为p>0,所以点M 到直线l 的距离为d=21125pk pkp++＝211215p k k ++=21172485p k ⎡⎤⎛⎫++⎢⎥⎪⎭⎥⎣⎦.故当k 1＝－14时, d 取最小值85. 由题设,85=75, 解得p=8．故所求的抛物线E 的方程为x ２＝16y.1４.(２013年陕西卷,理20）已知动圆过定点A(４,0)，且在ｙ轴上截得弦M Ｎ的长为8． （1）求动圆圆心的轨迹C 的方程;(2)已知点B （-１,0）,设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q,若x 轴是∠PBQ 的角平分线,证明直线l 过定点.(1)解:如图所示，设动圆圆心O １(x,y),由题意,|O 1Ａ|=｜O 1M|,当O 1不在ｙ轴上时, 过O 1作O 1Ｈ⊥M Ｎ交M Ｎ于H, 则Ｈ是MN 的中点, ∴|O 1Ｍ｜=224x +,又｜O １A|=()224x y -+,∴()224x y -+=224x +,化简得y ２＝8x(x ≠0).又当O １在y 轴上时,O １与O 重合，点O 1的坐标(0，０）也满足方程ｙ2=８x ，∴动圆圆心的轨迹Ｃ的方程为ｙ2=8x.(2)证明：由题意,设直线l 的方程为y=kx+ｂ(ｋ≠0), P （x 1,y １）,Q(x 2,y 2),将ｙ=kx ＋ｂ代入y ２=8x 中,得ｋ2x ２+(2ｂｋ-8)x ＋b ２＝0,其中Δ＝-32kb+64>０.由根与系数的关系得,x 1+ｘ２＝282bkk -，① x 1x 2＝22b k，②因为ｘ轴是∠PBQ 的角平分线,所以111y x +=-221yx +, 即y 1（x 2＋1)+y 2（x １+１)＝0,(ｋx 1+b)(x 2+1)＋(k ｘ2+b ）(x 1+1)=0， 2k ｘ1x 2+(b+k)（x １+x 2)＋２b=0，③ 将①②代入③,得2ｋb ２+(ｋ+b)(8-2bk)+2k 2b ＝0,∴k=-b,此时Δ>0,∴直线ｌ的方程为y=k(x-1）, ∴直线l 过定点(1,0）.1５． （2０13年辽宁卷,理20)如图,抛物线C 1:x 2＝4ｙ,C 2:x 2=-2py(p>0）.点M(x 0，y 0)在抛物线C 2上,过M 作C １的切线，切点A,B(M 为原点O 时,Ａ,B 重合于O).当x ０=1-2时,切线ＭA 的斜率为-12.(1)求p 的值;(2）当Ｍ在C 2上运动时,求线段ＡＢ中点N 的轨迹方程(Ａ，B 重合于Ｏ时,中点为O)．解：(1)因为抛物线C １:ｘ2=4ｙ上任意一点(ｘ,y)的切线斜率为ｙ′=2x ，且切线MA 的斜率为-12,所以A 点坐标为(-1,14),故切线MA 的方程为ｙ=-12(ｘ+1)+14． 因为点Ｍ（2y 0)在切线M Ａ及抛物线C ２上,于是ｙ０=-12（2+14322-,① y 0=-(2122p=322-.② 由①②得p=2.(2)设N(x,ｙ),A(x 1,214x ），B(x 2,224x ）,x 1≠x 2,由N 为线段A Ｂ中点知x=122x x +，③ｙ=22128x x +.④切线MA ，ＭＢ的方程为 y=12x (ｘ-x 1)+214x .⑤y=22x (ｘ-ｘ2）+224x .⑥由⑤⑥得MA,MB 的交点M （x ０,y 0)的坐标为 x 0=122x x +,y 0=124x x. 因为点M(x 0,y 0）在C 2上,即20x =-４y 0,所以x 1ｘ2=-22126x x +.⑦ 由③④⑦得x 2=43y,x ≠０. 当x 1=x ２时,Ａ,B 重合于原点O ，ＡB 中点N 为Ｏ,坐标满足x 2=43y. 因此线段ＡＢ中点N 的轨迹方程为ｘ2＝43ｙ. 模拟试题考点一 抛物线的定义和标准方程及其应用1．(20１３福建厦门高三上质检)已知F 是抛物线ｙ2＝4x 的焦点,Ｐ是圆x 2+y 2-８x-8y ＋31＝0上的动点,则|FP|的最小值是（ ) (A)３（Ｂ)4(C ）5(D)６解析:圆x 2+ｙ２-8x-８y+31=０的圆心C 坐标为(4，4），半径为1，∵|ＰF|≥|ＣF|-1，∴当P 、C 、Ｆ三点共线时,|PF|取到最小值, 由y 2=4x 知F(1,0),∴|ＰＦ|min ．故选B.答案：Ｂ2.(20１3山东潍坊一模)已知抛物线y2=２px(ｐ＞0)的焦点Ｆ与双曲线24x-25y=1的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为Ｋ，点A在抛物线上且|ＡK｜|AＦ|,则A点的横坐标为( ）(B）3(Ｃ (Ｄ）４解析:由24x－25y＝1得c２=4+５=9.∴双曲线右焦点为（3,0),∴抛物线焦点坐标为(3,０）,抛物线方程为y2=12x.设ｄ为点A(ｘ0，y0)到准线的距离,由抛物线定义知d=｜ＡF｜=x0+3，由题意得｜ｙ0|=x0＋3,代入抛物线方程得（x0+３)2＝12ｘ0,解得x０=３．故选Ｂ.答案:B考点二抛物线几何性质的应用1.(２013云南师大附中高三高考适应性月考卷)在直角坐标系xOy中,有一定点A(2,1),若线段OA的垂直平分线过抛物线y2=2px（p>０)的焦点，则该抛物线的准线方程是.解析:线段ＯA的斜率k=12，中点坐标为11,2⎛⎫⎪⎝⎭.所以线段ＯA的垂直平分线的方程是y-12＝-2（ｘ-1）,令y=0得到x＝5 4.即抛物线的焦点为5,04⎛⎫ ⎪⎝⎭．所以该抛物线的准线方程为x=-54． 答案：x ＝-54２.（2013云南省昆明一中高三第二次高中新课程双基检测)已知点Ａ(4,4)在抛物线ｙ2=px （p>0)上,该抛物线的焦点为Ｆ,过点Ａ作直线l:x=－4p 的垂线,垂足为Ｍ,则∠M ＡF 的平分线所在直线的方程为. 解析:点A 在抛物线上,所以16=4p,所以p=4，所以抛物线的焦点为F(1,0),准线方程为x ＝-１,垂足Ｍ(-１,4),由抛物线的定义得|AF|=|AM ｜,所以∠MAF 的平分线所在的直线就是线段MF 的垂直平分线,k MF =4011---=-２，所以∠MAF 的平分线所在的直线方程为y －4=12(x －４),即ｘ-2y+４＝0. 答案:ｘ-２ｙ＋４=0考点三 直线与抛物线的位置关系１.（2０13河南郑州高三第一次质量预测)已知抛物线x 2=4ｙ上有一条长为６的动弦AB ，则AB 中点到x 轴的最短距离为( ) (Ａ)34（B ）32（C)1 (D)2解析:易知,ＡＢ的斜率存在,设A Ｂ方程为ｙ＝k ｘ+b.由2,4y kx b x y =+⎧⎨=⎩得ｘ2-４k ｘ-4b=０． 设A(x 1,ｙ1）,Ｂ（x 2,y 2)，则ｘ１,x 2是上述方程的两个根，∴x 1+ｘ２=4ｋ，x １·x 2＝-4b,又|ＡＢ｜＝６, 化简得ｂ＝()2941k +－k ２, 设ＡB 中点为M(x 0,ｙ0),则y ０=122y y +=122kx b kx b +++=()122k x x ++b=2k 2+()2941k +-k 2=k 2+()2941k +=(k ２+1)+()2941k +-１ ≥2×32－１=２． 当且仅当k 2+1=()2941k +, 即ｋ2=12时，ｙ０取到最小值2.故选D. 答案：Ｄ2.（20１3北京市东城区高三上学期期末）已知抛物线y 2=2ｐx （p>0)的焦点F 与双曲线22179x y -=的右焦点重合,抛物线的准线与x 轴的交点为K,点A 在抛物线上且｜A Ｋ||,则△ＡFK 的面积为（ ）(A)4（B ）8(C)16（D)３2解析:双曲线的右焦点为（４,0），抛物线的焦点为02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，, 所以2p =4,即ｐ=8. 所以抛物线方程为y ２＝16x,焦点F(4，０),准线方程为x=－4,即Ｋ(－4，０)，设Ａ(ｘ,y)，由于|ＡK|，∴｜y|=x+４,又y 2=16x ， ∴(x+4)２=16ｘ，即ｘ=4. ∴A(4,±８),Ｓ△A ＦＫ=12×8×|y|=３2．故选D ． 答案:D3．(20１３北京海淀高三上期末)已知E （２，2)是抛物线C:y 2=２px 上一点,经过点(2,0)的直线l 与抛物线C 交于A,B 两点(不同于点E),直线ＥA,ＥB 分别交直线ｘ=-2于点Ｍ,N.(1)求抛物线方程及其焦点坐标;(2）已知Ｏ为原点,求证:∠MON 为定值.解:(1）∵点E （2，２)在抛物线y 2=２ｐx 上, ∴4＝2ｐ×2,∴p=1.∴抛物线方程为y 2=2x ，焦点坐标为1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭． （２)显然,直线l 斜率存在,且不为0.设ｌ斜率为ｋ,则l 方程为y=k(x-2）.由()22,2.y k x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩ 得ky 2－2ｙ-4ｋ=0，设Ａ211,2y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭,B 222,2y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 则y 1+y 2=2k ,y 1·ｙ2＝-4． ∵ｋＥＡ=121222y y --=121242y y --＝122y +．∴ＥA 方程为y-2=122y +(x －２). 令x=-2,得y=2-182y +=11242y y -+. ∴M 11242,2y y ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. 同理可求得N 22242,2y y ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭． ∴OM ·ON =11242,2y y ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭·22242,2y y ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭=4+()()()()1212242422y y y y --++ =4+()()12121212481624y y y y y y y y -+++++ =0∴OM ⊥ON .即∠ＭＯN=9０°，∴∠ＭON 为定值．综合检测１.(20１2东北三校第二次联考）若抛物线ｙ2＝2ｐx （p>0)上一点P 到焦点和抛物线的对称轴的距离分别为10和６,则p 的值为（ )(A ）２ （B)1８(C ）2或１8(D)4或16解析：设Ｐ（x 0，ｙ0),则0020010,26,2,p x y y px ⎧+=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩∴36＝２p 102p ⎛⎫- ⎪⎝⎭,即p ２-２０p+36=0．解得p ＝２或18.故选C.答案:C2.(２012洛阳二模)已知抛物线ｙ2=4x 的焦点为F,过Ｆ的直线与该抛物线相交于A （x 1,y １)、B （x ２,y ２)两点，则21y +22y 的最小值是（ )(Ａ)４(B)8（C ）12(D ）16解析:抛物线的准线方程为ｘ=-1,∴｜A Ｆ｜=x 1+1,|ＢF ｜=x ２＋1,∴21y ＋22y =4x 1+4ｘ2=4(｜ＡF ｜＋|BF ｜）-８=４|AB ｜-8. ∵|AB|的最小值为4（当AB ⊥ｘ轴时取得)，∴21y +22y 的最小值为８.故选B. 答案:B3.（201２陕西五校联考)设动点P （x,ｙ）(ｘ≥０)到定点F 1,02⎛⎫⎪⎝⎭的距离比到ｙ轴的距离大12．记点P的轨迹为曲线C ．(１)求点Ｐ的轨迹方程; (2)设圆M 过A(1，0），且圆心Ｍ在P 的轨迹上,ＢＤ是圆M 在y 轴上截得的弦,当M 运动时弦长BD 是否为定值?说明理由;(3）过F 1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭作互相垂直的两直线交曲线C 于G 、Ｈ、R 、S,求四边形GR ＨS 面积的最小值.解:(1)由题意知,所求动点P （ｘ,y)的轨迹为以F 1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭为焦点，直线l:x=-12为准线的抛物线,其方程为y ２=２x. (2)是定值.解法如下:设圆心M 2,2a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,半径圆的方程为222a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭+(y-a)２=ａ2＋2212a ⎛⎫- ⎪⎝⎭, 令ｘ=０,得B(0,1+a),D （0,-1+a), ∴BD=2,即弦长BD 为定值．(3）设过F 的直线G Ｈ的方程为y=k 12x ⎛⎫- ⎪⎝⎭,G （x 1,ｙ１），H(x 2,y 2）, 由21,22,y k x y x ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩得ｋ2x 2-（k 2+2)x+24k =0，∴x 1+ｘ2＝1+22k ,ｘ1x 2=14, ∴｜＝２+22k , 同理得|RS|＝2+2k 2.S 四边形GRHS =21222k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭(2+2k 2)=22212k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥8(当且仅当k=±1时取等号). ∴四边形G ＲH Ｓ面积的最小值为8.。