x = f1(j , l ) y = f2(j , l )
新编地图学教程 第2章 地图的数学基础
地图投影的实质：
球面上任一点的位置均是由它的经纬度所确定的，因此实施 投影时，是先将球面上一些经纬线的交点展绘在平面上，并将相 同经度、纬度的点分别连成经线和纬线，构成经纬网；然后再将 球面上的点，按其经纬度转绘在平面上相应位置处。由此可见， 地图投影的实质就是将地球椭球体面上的经纬网按一定的数学法 则转移到平面上。
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等积条件必须令a*b=1,即变形 椭圆的最大长度比与最小长度
比互为倒数关系，a=1/b或 b=1/a。由此看来，在不同点上
变形椭圆的形状相差很大，即 长轴越长，则短轴越短。在等 积投影上以破坏图形的相似性 来保持面积上的相等。因此， 等积投影的角度变形大。
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正轴圆柱投影经纬线形状：经线为一组平行且间隔 相等的直线，纬线与经线垂直。
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在切线和割线上 无任何变形，离 切线或割线愈远， 则变形愈大， 在割线外侧的变 形为正，在内侧 的为负。
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圆锥投影: 以圆锥面作投影面，使圆锥面与球面 相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆锥面上， 然后将圆锥面展为平面而成的一种投影。 正轴投影 横轴投影 斜轴投影
m ds '
ds
长度比是变量，随位置和方向的变化而变化。
Vm表示长度变形
Vm m 1
= 0 不变 > 0 变大 < 0 变小
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特别方向： 变形椭圆上相互垂直的两个方向及经向和纬向
长轴方向（极大值）a 最大长度比 短轴方向（极小值）b 最小长度比 经线方向 m ；经线长度比
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1 投影变形的概念
上述比较表明，地图上的经纬网与地球的缩影 —地球仪并不完全相同。由球面向平面投影时 引起的经纬网几何特征的变化，称为地图投影 变形。
把地图上和地球仪上的经纬线网进行比较，可 以发现变形表现在长度、面积和角度三个方面 (等积、等角)
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3.2 地图的比例尺
1. 地图比例尺的含义
地图比例尺：地图上一直线段长度与地面相应直线水平投影 长度之比。
可表达为（d为图上距离，D为实地距离）
d1 DM
作业
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主比例尺 ： 在投影面上没有变形的点或线 上的比例尺。
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伪方位投影：在方位投影的基础上，根据某些条件改变经线 形状而成，除中央经线为直线外，其余均投影为对称中央经线 的曲线。纬线仍投影为同心圆。
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伪圆锥投影：在圆锥投影基础上，根据某些条件改变经线形状 而成。除中央经线为直线外，其余均投影为对称中央经线的曲 线。规定纬线仍为同心圆弧。
X '2 m2

Y '2 n2
1
微分圆→微分椭圆
该方程证明: 地球面上的微分圆， 投影后通常会变为椭圆，即：
以O'为原点，以相交成q角的两共
轭直径为坐标轴的椭圆方程式。
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3.投影变形的性质和大小
长度比和长度变形： 长度比m ，是指地面上微分线段经过
投影后的长度ds’与其原有长度ds之比值
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任意投影: 投影图上， 长度、面积和角度 都有变形，它既不 等角又不等积。其 角度变形小于等积 投影，而面积变形 小于等角投影。
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等距投影保持变 形椭圆主方向中 某一个长度比等 于1，即a=1或是 b=1.
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正轴方位投影经纬线形状：经线为放射状直线，纬线为 同心圆
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在切点或割线上 无任何变形，离 切点或割线愈远， 则变形愈大， 在割线外侧的 变形为正，内侧 的则为负
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圆柱投影: 以圆柱表面作辅助投影面，使圆柱表面与 球体相切或相割，将球体表面上的经纬网投影到圆 柱表面上，然后将圆柱表面展为平面而构成的一种 投影。 正轴投影 横轴投影 斜轴投影
局部比例尺： 在投影面上有变形处的比例 尺。
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2. 地图比例尺的表示
① 数字式比例尺 如 1:10 000 ② 文字式比例尺 如 百万分之一
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③ 图解式比例尺
直线比例尺
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斜分比例尺 也称微分比例尺，是依据相似三角形原理 制成的图解比例尺。使量测精度达到三位数（10-3）
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伪圆柱投影：在圆柱投影基础上，根据某些条件改变经线形状 而成。除中央经线为直线外，其余均投影为对称中央经线的曲 线。规定纬线仍为平行直线。
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多圆锥投影：设想有更多的圆锥面与球面相切，投影后沿一母线 剪开展平。纬线投影为同轴圆弧，其圆心都在中央经线的延长 线上。中央经线为直线，其余经线投影为对称于中央经线的曲 线。
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2. 按地图投影的变形性质分类
等角投影: 投影面上某点的任意两方向线夹 角与椭球面上相应两线段夹角相等。
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微分圆投影到平面上之后仍为正圆。 长度比在任意点上不因方向改变而 改变，永远保持a=b,即经纬线夹角
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sin(

')

a a

b b
sin(

')
显然当（ + ′ ）= 90°时，右
端取最大值，则最大方向变形：
sin( ') a b
ab
以表示角度最大变形：
m ' m (180 2 ') (180 2 ) 2( ')
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复式比例尺 又称投影比例尺，是一种根据地图主比例尺和地
图投影长度变形分布规律设计的一种图解比例 尺。
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④ 特殊比例尺
变比例尺 无级别比例尺
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3.3 地图投影变形
a图投影在角度上未发生变化，经线按同一比例缩小，纬线未按 同一比例缩小，经纬网格面积产生了变化。 b图中央经线与各条纬线正交，其余经线与纬线均不正交，说明 投影后角度仅局部未变化，大部分去都产生了变化。 c图投影经线和纬线均未按同一比例缩小，在同一纬线上随经度 增大其纬线变化比例逐渐缩小，经线的变化比例由中央经线向 两边逐渐增大。
sin a b
2 ab
tan(45 ) b
2
a
m2 n2 2mn sinq
若已知 m, n, q ，则： sin 2
m2 n2 2mnsinq
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3.4 地图投影方法
1. 几何投影法（几何透视法）
利用透视线的关系,将地球体面上的点投影到投影 面上的一种投影方法。
正轴圆锥投影经纬线形状：经线为放射状直线束， 纬线为同心圆弧
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在切线和割线 上无任何变形， 离切线或割线 愈远，则变形 愈大； 在割线外侧的 变形为正，在 内侧的则为负。
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（2）非几何投影： 根据某些条件，用数 学解析法确定球面与平面之间点与点的函 数关系。
P
ab
dF
π r2
P = a·b = m ·n (q = 90) P = m ·n ·sinq (q ≠ 90)
面积比是变量，随位置的不同而变 化。
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Vp 表示面积变形
Vp p 1
= 0 不变 > 0 变大 < 0 变小
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纬线方向 n；纬线长度比
统称 主方向
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据阿波隆尼定理，有 m2 + n2 = a2 + b2
m·n·sinq = a·b
面积比和面积变形： 是指地面上的微分面积投影
后的大小（微分椭圆面积）dF′与原有大小（微分圆面 积）dF之比。
dF ' πa r b r
q =90°，m=n, 0
在不同点上长度比大小是个不相同 的，即具体表现为a=b=m=n的值， 在有的点上大于1，有的点上小于1， 个别点上等于1。
由投影的面积比公式 P = a*b = m*n 可以看出，等角投影的面积变形大。
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等积投影: 地球椭球面上的面状地物轮廓经投影之后，仍 保持面积不变。即投影平面上的地物轮廓图形面积与 球面上相对应的地物占地面积相等。
角度变形： 地面上任意两条方向线的夹角a，与经
过投影后的角度a′之差值，称为角度变形。
设A点的坐标为（x、y），A ′点的坐标为(x ′ 、y ′ )， 则
tan y