专题01 导数与函数的最(极)值(训练篇A )-用思维导图突破导数压轴题《挑战压轴题•高中数学•精讲解读篇》(华东师大出版社第1-10版(2009-2019年))、《上海高考好题赏析》(浙江大学出版社2019年)、330多篇论文(文章)作者上海市特级教师文卫星A 组:1.(2017年山东理第15题)若函数()xe f x ( 2.71828e =L是自然对数的底数)在()f x 的定义域上单调递增,则称函数()f x 具有M 性质.下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为_______.①()2xf x -=②()3xf x -=③3()f x x =④2()2f x x =+解析:① ()2xf x -=,有()()2xxe ef x =在R 上单调递增②()3xf x -=,有()()3xxe ef x =在R 上单调递减③3()f x x =,有()x e f x 的导函数为2(3)x e x x +,有()()()()322'33xxx e f x e xx e x x =+=⋅+,因此在(),3-∞-上,函数()x e f x 单调递减;④2()2f x x =+,有()x e f x 的导函数为22(22)[(1)1]0x x e x x e x ++=++>在R 上单调递增. 综上所述,具有M 性质的函数的序号是(1)(4).2.若2x =-是函数21`()(1)x f x x ax e -=+-的极值点,则()f x 的极小值为( )A.1-B.32e --C.35e -D.1解 由题可得12121()(2)(1)[(2)1]x x x f x x a e x ax e x a x a e ---'=+++-=+++-.因为(2)0f '-=,所以1a =-,21()(1)x f x x x e -=--,故21()(2)x f x x x e -'=+-.令()0f x '>,解得2x <-或1x >,所以()f x 在(,2),(1,)-∞-+∞单调递增,在(2,1)-单调递减,所以()f x 极小值(1)f =11(111)1e -=--=-,故选A.3.(2015年四川文第理15题)已知函数,2)(x x f =2()g x x ax =+,R a Î.对于不相等的实数21,x x ,设,)()(2121x x x f x f m --=2121)()(x x x g x g n --=.现有如下命题:①对于任意不相等的实数21,x x ,都有0>m ;②对于任意的a 及任意不相等的实数21,x x ,都有0>n ;③对于任意的a ,存在不相等的实数21,x x ,使得n m =;④对于任意的a ,存在不相等的实数21,x x ,使得n m -=.其中的真命题有 (写出所有真命题的序号).解 由定义a x x n x x m x x ++=--=2121,2221.若21x x >,则由)(x f 在R 上单调增,2122x x >,所以0>m ,若21x x <,则2122x x <,仍有0>m ,①正确;由a x x n ++=21易知②错误;令n m =,有a x x x x x x ++=--21212122, 整理得2122x x -)(212221x x a x x -+-=,即=-)()(21x f x f )()(21x g x g -,所以)()()()(2211x g x f x g x f -=-.令ax x x g x f x h x--=-=22)()()(,则题意转化为存在不相等的实数21,x x ,使得)()(21x h x h =.由()2ln 22xh x x a ¢=--,2h 222x(x )ln ''=-(). 令0()0h x ⅱ=,且210<<x ,可得0()h x ¢为极小值;若10000a =-,则0()0h x ¢>,即()0h x ¢>,()h x 单调递增,不满足题意,③错误; 令0n >,同③可得)()()()(2211x g x f x g x f +=+, 设ax x x g x f x h x++=+=22)()()(,则()2ln 22x h x x a '=++,2()2(ln 2)2x h x ⅱ=+0>恒成立,()h x '单调递增且当-∞→x 时,()h x '→-∞,当+∞→x 时,()h x '→+∞,所以()h x 先减后增,所以对于任意的0n >,存在不相等的实数a ,使得)()(21x h x h =,即使得0n >成立,④正确.4.(2017年浙江理第20题)已知函数f (x )=x x e -⋅((12x ≥). (Ⅰ)求f (x )的导函数;(Ⅱ)求f (x )在区间1[+)2∞,上的取值范围.解 (Ⅰ)(1x '-=,()x xe e --'=-,所以()(1(x xf x e x e --'=--- 1)2xx -=>.(Ⅱ)由()0f x '==,解得1x =或52x =.因为又2()1)02x f x e -=≥, 故()f x 在区间1[,)2+∞上的取值范围是121[0,]2e -.5.(2016年天津理第20题)设函数3()(1)f x x ax b =---,R x ∈,其中R b a ∈,(1)求)(x f 的单调区间;(2) 若)(x f 存在极值点0x ,且)()(01x f x f =,其中01x x ≠,求证:1023x x +=; (3)设0>a ,函数|)(|)(x f x g =,求证:)(x g 在区间[0,2]上的最大值不小于...41. 解(1)()()31f x x ax b =---,()()2'31f x x a =--,①0a ≤, ()f x 在(,)-∞+∞上单调递增;②0a >,令'()=0f x 得1x =,当x 变化时,'()f x ,()f x 变化如下:所以,()f x 的单调递增区间为,1⎛-∞- ⎝,1⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭,单调递减区间为11⎛+ ⎝. (2)由(1)知,当0a >,且01x ≠时,()0'0f x =得()2031x a -=,所以()()()320000131f x x x x b =----()()200121x x b =----,()()()()32000032223132f x x x x b -=-----()[]200018896x x x b =---+- ()()200=121x x b ----,所以()()0032f x f x -=,由(1)知,存在唯一实数1x ,使得()()01=f x f x ,且01x x ≠, 因此,0132x x -=,1023x x +=.(3)欲证()g x 在区间[02],上的最大值不小于14,只需证在区间[02],上存在12,x x ,使得121()()2g x g x -≥即可①当3a ≥时,()f x 在[]02,上单调递减,(2)12f a b =--,(0)1f b =--,1(0)(2)2242f f a -=->≥递减,成立② 当03a <<时,311f a b ⎛⎛⎛=-- ⎝⎝⎝a b =+23a b =-,11f a b ⎛⎛+=- ⎝⎝23a b =--. 因为(2)12f a b =--,(0)1f b =--,所以(2)(0)22f f a -=-.若304a <≤时,()()102222f f a -=-≥,成立当334a <<时,411132f f ⎛⎛-=> ⎝⎝成立.6.(2019·贵阳模拟)已知函数f (x )=ln x +12x 2-ax +a (a ∈R).(1)若函数f (x )在(0,+∞)上为单调递增函数,求实数a 的取值范围;(2)若函数f (x )在x =x 1和x =x 2处取得极值,且x 2≥ e x 1(e 为自然对数的底数),求f (x 2)-f (x 1)的最大值.解 (1)∵f ′(x )=1x +x -a (x >0),又f (x )在(0,+∞)上单调递增,∴恒有f ′(x )≥0, 即1x +x -a ≥0恒成立,∴a ≤⎝⎛⎭⎫x +1x min ,而x +1x ≥2 x ·1x =2,当且仅当x =1时取“=”,∴a ≤2.即函数f (x )在(0,+∞)上为单调递增函数时,a 的取值范围是(-∞,2].(2)∵f (x )在x =x 1和x =x 2处取得极值,且f ′(x )=1x +x -a =x 2-ax +1x (x >0), ∴x 1,x 2是方程x 2-ax +1=0的两个实根, 由根与系数的关系得x 1+x 2=a ,x 1x 2=1,∴f (x 2)-f (x 1)=ln x 2x 1+12(x 22-x 21)-a (x 2-x 1)=ln x 2x 1-12(x 22-x 21)=ln x 2x 1-12(x 22-x 21)1x 1x 2=ln x 2x 1-12⎝⎛⎭⎫x 2x 1-x 1x 2.设t =x 2x 1(t ≥ e),令h (t )=ln t -12⎝⎛⎭⎫t -1t (t ≥ e), 则h ′(t )=1t -12⎝⎛⎭⎫1+1t 2=-t -122t 2<0,∴h (t )在[e ,+∞)上是减函数,∴h (t )≤h (e)=12⎝⎛⎭⎫1- e +e e ,故f (x 2)-f (x 1) 的最大值为12⎝⎛⎭⎫1- e +e e .7.已知函数f (x )=13x 3+x 2+ax .(1)若函数f (x )在区间[1,+∞)上单调递增,求实数a 的最小值;(2)若函数g (x )=x e x ,对∀x 1∈⎣⎡⎦⎤12,2,∃x 2∈⎣⎡⎦⎤12,2,使f ′(x 1)≤g (x 2)成立,求实数a 的取值范围.解 (1)由题设知f ′(x )=x 2+2x +a ≥0在[1,+∞)上恒成立,即a ≥-(x +1)2+1在[1,+∞)上恒成立,而函数y =-(x +1)2+1在[1,+∞)单调递减,则y max =-3,∴a ≥-3,∴a 的最小值为-3.(2)“对∀x 1∈⎣⎡⎦⎤12,2,∃x 2∈⎣⎡⎦⎤12,2,使f ′(x 1)≤g (x 2)成立”等价于“当x ∈⎣⎡⎦⎤12,2时,f ′(x )max ≤g (x )max ”.因为f ′(x )=x 2+2x +a =(x +1)2+a -1在⎣⎡⎦⎤12,2上单调递增,所以f ′(x )max =f ′(2)=8+a .而g ′(x )=1-xe x ,由g ′(x )>0,得x <1,由g ′(x )<0,得x >1, 所以g (x )在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减. 所以当x ∈⎣⎡⎦⎤12,2时,g (x )max =g (1)=1e .由8+a ≤1e ,得a ≤1e -8,所以实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤-∞,1e -8.注 (1)∀x 1∈D 1,∃x 2∈D 2,f (x 1)>g (x 2),等价于函数f (x )在D 1上的最小值大于g (x )在D 2上的最小值即f (x )min >g (x )min (这里假设f (x )min ,g (x )min 存在).其等价转化的基本思想是:函数y =f (x )的任意一个函数值大于函数y =g (x )的某一个函数值,但并不要求大于函数y =g (x )的所有函数值.(2)∀x 1∈D 1,∃x 2∈D 2,f (x 1)<g (x 2),等价于函数f (x )在D 1上的最大值小于函数g (x )在D 2上的最大值(这里假设f (x )max ,g (x )max 存在).其等价转化的基本思想是:函数y =f (x )的任意一个函数值小于函数y =g (x )的某一个函数值,但并不要求小于函数y =g (x )的所有函数值.8.(丰台区2017届高三上学期期末)已知函数()e xf x x =与函数21()2g x x ax =+的图象在点(00),处有相同的切线. (Ⅰ)求a 的值;(Ⅱ)设()()()()h x f x bg x b =-∈R ,求函数()h x 在[12],上的最小值. 解:(Ⅰ)因为()e e x xf x x '=+,所以(0)1f '=.因为()g x x a '=+,所以(0)g a '=. .因为()f x 与()g x 的图象在(0,0)处有相同的切线,所以(0)(0)f g ''=,所以1a =.(Ⅱ)由(Ⅰ)知, 21()2g x x x =+, 令21()()()e 2xh x f x bg x x bx bx =-=--,[1,2]x ∈,则()e e (1)(1)(e )x x x h x x b x x b '=+-+=+-.(1)当0b ≤时,[1,2]x ∀∈,()0h x '>,所以()h x 在[1,2]上是增函数, 故h (x ) 的最小值为.(2)当0b >时,由()=0h x '得,ln x b =,①若ln 1b ≤,即0e b <≤,则[1,2]x ∀∈,()0h x '>,所以()h x 在[1,2]上是增函数, 故h (x )的最小值为3(1)=e 2h b -. ②若1ln 2b <<,即2e e b <<,则(1,ln )x b ∀∈,()0h x '<,所以()h x 在(1,ln )b 上是减函数,在(ln 2)b ,上是增函数,()0h x '>,故()h x 的最小值为21(ln )=ln 2h b b b -. ③若ln 2b ≥,即2e b ≥,则[1,2]x ∀∈,()0h x '<,所以()h x 在[1,2]上是减函数,故()h x 的最小值为2(2)=2e 4h b -.综上所述,当e b ≤时,()h x 的最小值为3(1)=e 2h b -;当2e e b <<时,()h x 的最小值为21ln 2b b -;当2e b ≥时,()h x 的最小值为22e 4b -. 9.(2017年山东,文20)已知函数321(),3f x x ax a R =-∈(1)当2a =时,求曲线()y f x =在点(3,(3))f 处的切线方程;(2)设函数()()()cos sin g x f x x a x x =+--,讨论()g x 的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.解 (1)由题意2'()f x x ax =-,所以,当2a =时,(3)0f =,2'()2f x x x =-,所以'(3)3f =,因此,曲线()y f x =在点(3,(3))f 处的切线方程是3(3)y x =-,即390x y --=.(2)因为'()()()sin g x x x a x a x =--- ()(sin )x a x x =--.令()sin '()1cos 0h x x x h x x =-⇒=->,所以()sin h x x x =-单调递增,且(0)0h =,则当0x >时,sin 0x x ->;当0x <时,sin 0x x -<(i )当0a <时,'()()(sin )g x x a x x =--,当(,)x a ∈-∞时,0,'()0,()x a g x g x -<>单调递增; 当(,0)x a ∈时,0,'()0,()x a g x g x -><单调递减; 当(0,)x ∈+∞时,0,'()0,()x a g x g x ->>单调递增. 所以,当x a =时,()g x 取到极大值,极大值是31()sin 6g a a a =--, 当0x =时,()g x 取到极小值,极小值是(0)g a =-.(ii )当0a =时,'()(sin )g x x x x =-,当(,)x ∈-∞+∞时'()0,()g x g x ≥单调递增; 所以,()g x 在(,)x ∈-∞+∞上单调递增,()g x 无极大值也无极小值. (iii )当0a >时,'()()(sin )g x x a x x =--,当(,0)x ∈-∞时,0,'()0,()x a g x g x -<>单调递增; 当(0,)x a ∈时,0,'()0,()x a g x g x -<<单调递减; 当(,)x a ∈+∞时,0,'()0,()x a g x g x ->>单调递增.所以,当0x =时,()g x 取到极大值,极大值是(0)g a =-; 当x a =时,()g x 取到极小值,极小值是31()sin 6g a a a =--.综上所述:当0a <时,函数()g x 在(,0)x ∈-∞和(0,)x ∈+∞上单调递增,在(,0)x a ∈上单调递减,函数既有极大值,又有极小值,极大值是31()sin 6g a a a =--,极小值是(0)g a =-.当0a =时,函数()g x 在(,)-∞+∞上单调递增,无极值;当0a >时,函数()g x 在(,0)x ∈-∞和(,)x a ∈+∞上单调递增,在(0,)x a ∈上单调递减,函数既有极大值,又有极小值,极大值是(0)g a =-,极小值是31()sin 6g a a a =--.10.(2016年天津,理20)设函数b ax x x f ---=31)()(,R x ∈,其中a ,R b ∈. (1)求)(x f 的单调区间;(2)若)(x f 存在极值点0x ,且)()(01x f x f =,其中01x x ≠,求证:3201=+x x ; (3)设0>a ,函数)()(x f x g =,求证:)(x g 在区间],[20上的最大值不小于...41.解 (1)由3()(1)f x x ax b =---,可得2()3(1)f x x a '=--. 下面分两种情况讨论:(i )当0a ≤时,有2'()3(1)0f x x a =--≥恒成立,所以()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞.(ii )当0a >时,令'()0f x =,解得13x =+,或13x =-. 当x 变化时,'(),()f x f x 的变化情况如下表:x 313a + 3(1,)3a ++∞()f x '0 +()f x 极小值 单调递增所以()f x 的单调递减区间为33(1,1)33a a -+,单调递增区间为33(,1),(1,)33a a-∞-++∞. (2)因为()f x 存在极值点,所以由(Ⅰ)知0a >,且01x ≠,由题意,得200'()3(1)0f x x a =--=即20(1)3a x -=,进而3000()(1)f x x ax b =--- 0233a ax b =---,又300(32)(22)f x x -=- 0(32)a x b ---008(1)233ax ax a b =-+--002()33a a x b f x =---=,且0032x x -≠,由题意及(Ⅰ)知,存在唯一实数1x 满足10()()f x f x =,且10x x ≠,因此1032x x =-,所以1023x x +=.(3)设()g x 在区间[]0,2上得最大值为M ,{}max ,x y 表示,x y 两数的最大值,下面分三种情况讨论:(i )当3a ≥时,331021a a-≤<≤+,由(Ⅰ)知,()f x 在区间[]0,2上单调递减,所以()f x 在区间[]0,2上的取值范围为[](2),(0)f f ,因此max{|(2)|,|(0)|}max{|12|,|1|}M f f a b b ==----max{|1()|,|1()|}a a b a a b =-++--+1(),01(),0a ab a b a a b a b -+++≥⎧=⎨--++<⎩, 所以12M a a b =-++≥.(ii )当334a ≤<时,101≤<12133<+<≤+,由(Ⅰ)和(Ⅱ)知,(0)(1(133f f f ≥-=+,(2)(1(1f f f ≤=, 所以()f x 在区间[]0,2上的取值范围为(1(1f f ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,因此max{|(1|,|(1|}M f f =+max{||,||}a b a b =--max{|()|,|()|}a b a b =++231||944a b =+≥⨯=.。