导数与三次函数问题★ 知识梳理★一、定义：、形如32(0)y ax bx cx d a =+++≠的函数，称为“三次函数”三次函数的导数232(0)y ax bx c a '=++≠， 2412b ac ∆=-叫做三次函数导函数的判别式。

二、三次函数图象与性质1.三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠图象2．函数()(0)f x ax bx cx d a =+++≠单调性、极值点个数情况。

()f x =32ax bx c ++，记∆=224124(3)b ac b ac -=-，（其中x 1,x 2是方程'()f x =0的根，且x 1<x 2）3、三次函数最值问题。

函数若，且，则：()()()(){}max 0,,f x f m f x f n =； 。

4、三次方程根的问题。

（三次函数的零点问题）三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f(1) 若032≤-ac b ，则0)(=x f 恰有一个实根；(2) 若032>-ac b ,且0)()(21>⋅x f x f ，则0)(=x f 恰有一个实根； (3) 若032>-ac b ,且0)()(21=⋅x f x f ，则0)(=x f 有两个不相等的实根； (4) 若032>-ac b ,且0)()(21<⋅x f x f ，则0)(=x f 有三个不相等的实根.5、对称中心。

三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 是关于点对称，且对称中心为点))3(,3(abf a b --，此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。

★典型考题★1.已知函数f(x)=ax 3+bx 2+cx+d 的图象如图所示，则（ A ） A .b ∈（-∞，0） ∈（0，1）C .b ∈（1，2） D. b ∈（2，+∞）2.如图，函数y ＝f （x ）的图象如下，则函数f （x ）的解析式可以为（ A ）Ａ）f （x ）＝（x －a ）2（b －x ）Ｂ）f （x ）＝（x －a ）2（x ＋b ） Ｃ）f （x ）＝－（x －a ）2（x ＋b ） Ｄ）f （x ）＝（x －b ）2（x －a ） 3.设＜b,函数的图像可能是（ C ）4．已知函数，当(,0)(5,)k ∈-∞⋃+∞时，只有一个实数根；当(0,5),()0k f x k ∈-=时有3个相异实根，现给出下列4个命题： ①函数有2个极值点； ②函数()f x 有3个极值点；③方程()5f x =-的根小于()0f x '=的任意实根； ④()0f x =和()0f x '=有一个相同的实根．其中正确命题的个数是（ C ）。

A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5、函数在闭区间[－3，0]上的最大值、最小值分别是（ C ） A. 1，－1B. 1，－17C. 3，－17D. 9，－196.函数f （x ）=x 3/3+ax 2/2+ax-2 （a ∈Ｒ）在(-∞,+∞)上为单调增函数，求实数a 的取值范围是——————。

a ∈[0，4]7.已知函数f （x ）＝x ３/3－（４m －１）x ２＋（１５m ２－２m －７）x ＋２在实数集Ｒ上是增函数，求实数m 的取值范围。

解：∵y ＝f （x ）在Ｒ上是单调增函数∴f ´（x ）＝x ２－２（４m －１）x ＋１５m ２－２m －７≥０在Ｒ上恒成立，Δ=… =m ２－６m ＋８≤０得２≤m ≤４8.已知曲线y ＝ x 3/3＋4/3，求曲线在点（２，４）处的切线方程 解：f ´（x ）＝x 2，f ´（２）＝４，曲线在点（２，４）处的切线斜率为k ＝f ´（２）＝４∴代入直线方程的斜截式，得切线方程为：y －４＝４（x －２）， 即 y ＝４x －４变式：已知曲线y ＝x 3/3＋4/3，则曲线过点（２，４）的切线方程——————。

错解：依上题，直接填上答案４x －y －４＝０错因剖析：如下图所示，在曲线上的点A 处的切线与该曲线还有一个交点。

这与圆的切线是有不同的。

点（２，４）在曲线y ＝x 3/3＋4/3上，它可以是切点也可以不是。

正确解法：设过点（２，４）的切线对应的切点为（x 0，x 03/3＋4/3），斜率为k=x 02，切线方程为y -（x 03/3＋4/3 ）=x 02（x-x 0） 即y=x 02x- 2x 03/3+4/3点（2，4）的坐标代入，得4=2x 02- 2x 03/3+ 4/3， 2 x 03-6 x 02+8=0 ， ∴x 03-3x 02+4=0， 又∵x 03+1-（3x 02-3）=0 （x 0+1）（x 02-x 0+1）-3（x 0-1）（x 0+1）=0∴（x 0+1）（x 02-4x 0+4）=0 ∴x 0=-1或x 0=2 ∴切线的方程为4x-4-y=0或x-y+2=0 点评：一个是“在点（2，4）”、一个是“过点（2，4）”，一字之差所得结果截然不同。

9、已知函数()33f x x x =-⑴求函数()f x 的单调区间及极值；⑵求()f x 在[]0,3上的最值。

解：令()2123301,1f x x x x '=-=⇒==- x 、()f x '、()f x 的变化情况如下表∴()f x 的单调递增区间是(),1-∞-和()1,+∞ ()f x 的单调递减区间是()1,1-当1x =-时，()f x 有极大值()()()311312f -=--⨯-=当1x =时，()f x 有极小值()311312f =-⨯=- ⑵()00f =，()3333318f =-⨯=∵()f x 在[]0,3上只有一个极值点()12f =- ∴()f x 在[]0,3上的最小值为－2，最大值为18 变式一、已知函数()3233f x x x x =++，其他不变解：()()22363310f x x x x '=++=+≥∴()f x 在(),-∞+∞单调递增，()f x 没有极值()f x 在[]0,3上的最小值为()00f =，最大值为()363f = 变式二、已知函数()323f x x x x =++；其他不变 解：()2323f x x x '=++△22433200=-⨯⨯=-<∴()0f x '=没有实数根 ∴()0f x '>在R 上恒成立 ∴()f x 在(),-∞+∞上单调递增，()f x 没有极值()f x 在[]0,3上的最小值为()00f =，最大值为()345f =变式三、已知函数1y t =，323y x x =-，实数t 为何值时，函数1y 与2y 的图象的交点有一个、二个、三个解：由例1画出函数2y 的大致图象如图，观察图象，可得当2t >或2t <-时，函数1y 与2y 只有一个交点。

当2t =-或2t =时，函数1y 与2y 有二个交点。

当22t -<<时，函数1y 与2y变式四、a 为何值时，函数3()3f x x x a =-+有一个零点两个零点三个零点解：令()2123301,1f x x x x '=-=⇒==-x 、()f x '、()f x 的变化情况如下表∴()f x 的单调递增区间是(),1-∞-和()1,+∞ ()f x 的单调递减区间是()1,1-当1x =-时，()f x 有极大值()()()311312f a a -=--⨯-+=+当1x =时，()f x 有极小值()311312f a a =-⨯+=-要使()f x 有一个零点，需且只需2020a a +<⎧⎨-<⎩，解得2a <-要使()f x 有二个零点，需且只需2020a a +=⎧⎨-<⎩，解得2a =-要使()f x 有三个零点，需且只需2020a a +>⎧⎨-<⎩，解得22a -<<变式五、已知函数()33,0f x x x a =->，如果过点(),2A a 可作曲线()y f x =的三条切线，求a 的取值范围解：设切点为()00,x y ，则()233f x x '=-∴切线方程()()000y y f x x x '-=- 即 ()2300332y x x x =-- ∵切线过点A (),2a ∴()23002332x a x =-- 即 ()320023320x ax a -++=*∵过点(),2A a 可作()y f x =的三条切线 ∴方程()*有三个相异的实数根设()320002332g x x ax a =-++，则()()200000666g x x ax x x a '=-=-当0x 变化时，()0g x '、()0g x 的变化情况如下表0x(),0-∞0 ()0,aa(),a +∞()0g x ' ＋ 0 － 0 ＋ ()0g x极大值32a +极小值332a a -++由单调性知：①若极大值320a +<或极小值3320a a -++>，方程()00g x =只有一个实数根；②若320a +=或3320a a -++=，方程()00g x =只有两个相异的实数根，综上，要使方程()00g x =有三个相异的实根，须且只须32320233202a a a a a a ⎧+>⎧>-⎪⇔⇔>⎨⎨-++<⎩⎪>⎩，所以，所求的a 的取值范围是()2,+∞。

变式六、已知函数()3213f x x x ax a =-+- ()a R ∈，若函数()f x 的图象与x 轴有且只有一个交点，求a 的取值范围。

解：∵()22f x x x a '=-+ ∴()4441a a ∆=-=- ①若1a ≥，则0∆≤∴()0f x '≥在R 上恒成立 ∴()f x 在R 上单调递增 ∵()00f a =-< ()320f a =>∴当1a ≥时，函数()f x 的图象与x 有且只有一个交点。

②若1a <，则0∆>∴()0f x '=有两个不相等的实根，不妨设为1x 、2x 且12x x <， 则12122x x x x a +=⎧⎨=⎩当x 变化时，()f x '、()f x 的取值变化情况如下表∵21120x x a -+= ∴2112a x x =-+∴()32111113f x x x ax a =-+-32211111123x x ax x x =-++-()311123x a x =+- ()2111323x x a ⎡⎤=+-⎣⎦ 同理 ()()22221323f x x x a ⎡⎤=+-⎣⎦ ∴()()()()22121212132329f x f x x x x a x a ⎡⎤⎡⎤=+-+-⎣⎦⎣⎦g()()()()2222121212132929x x x x a x x a ⎡⎤=+-++-⎣⎦ ()()(){}22212121322929a a a x x x x a ⎡⎤=+-+-+-⎣⎦g()224433339924a a a a a ⎡⎤⎛⎫=-+=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦令()()120f x f x >g ，解得0a >当01a <<时，()00f a =-<，()320f a => ∴当01a <<时，函数()f x 的图象与x 轴 有且只有一个交点∴()f x 的大致图象如图所示： 综上所述，a 的取值范围是()0,+∞综 合 练 习 题1、已知函数()32f x ax bx cx =++在点0x 处取得极大值5，其导函数()y f x '=的图象经过点()1,0，()2,0；如图所示， 求：⑴0x 的值；⑵a 、b 、c 的值。