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推论1 若f(z)在闭单通区域 中解析，则 f(z)沿 的边界L的积分为零．
证明 按定义, f(z)在包含 的某个开区域D+内 解析，这样 的边界线L就是D +内部的一条 闭曲线．根据柯西定定理可知, f(z)沿L的积分 为零
(2.2.5)
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推论2 若f(z)在单通区域D内解析，则 ∫l f(z)dz 与路径无关。
C-R条件: 在解析点, f(z)的实部与虚部取值的 关联性；
§2.2.1 单通区域的柯西定理
定理 若函数f(z)在单通区域D 内解析，则f(z)在D内沿任意 闭曲线的积分为零
∮l f(z)dz = 0 (2.2.1)
证明 这个定理的严格证明比较复 杂, 为简单起见, 我们在“f(z)在D内 连续” 附加条件下证明这个定理．
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§2.1.2 复变积分的计算方法
(1) 化为两个实变线积分计算． 将 f(z) = u+iv 及 dz = dx+idy 代入，即有
(2.1.3)
(2) 化为参数积分计算．设积分曲线L的参数方程为z(t)，
将z(t)及dz(t)＝z'(t)dt代入式(2.1.4)，可得
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【例2.1.1】计算积分I=
其中曲线L是
(1)沿1+ i 到2+4 i 的直线，见图2.2(a)；
(2)沿1+ i 到2+i，再到2+4 i 的折线，见图2.2(b) ；
(3)沿抛物线x=t, y=t2，其中1≤ t ≤2，见图2.2(c) ．
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解 (1) 直线方程为 先将 z=x+iy 代入被积表达式，
随后将 y=3x-2 代入，即有
先将复变积分化为两个实变积 分的线性叠加
(2.2.2)
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其次, 考查上述两个实变积分在什么条件下为零？
设l为D内任一闭曲线(图2.5), 若函数P(x,y),
Q(x,y) 以及
在D内连续，则格林公式
成立
由f(z)在 D内解析及 f’(z)在D内连续可得u,v
及ux,uy,vz,vy连续，将格林公式与C-R条件 代入式(2.2.2)，可得
则f(z)沿图2.3中无穷大半圆周CR的积分
证明 式(2.1.16)中的 积分是一个复数，只 要证明，当R→∞时这 个复数的模为零，则 式(2.1.16)得证.
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根据复变积分性质(5)及式(2.1.15)，易得
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【2.1.3】试证明 若当(Jordan)不等式
证明 分别作出
y1=2q/p 及
数学物理方法第2章复变函 数积分2020
§2.1.1 复变函数积分的定义
设L为复平面上的曲线，函 数f(z)在L上有定义，将曲
线L任意分成n段，xk是第k 段［zk-1，zk］上的任一点
．令n→∞，且每一段的长 度|Dz|→0时，若和式的极 限
存在，且与弧段的分法及各xk的选取无关，则称此
极限为f(z)沿曲线L的积分，记作
证明 设A、B分别为两积分 曲线的起点和终点，如图2.6 所示．
因为l1,与l2- (l2- 与l2重合但反 向)构成闭曲线l，由柯西定 理可得
(2.2.6)
移项，利用复变积分的性质(2)，即有
(2.2.7)
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§2.2.2 原函ຫໍສະໝຸດ 与定积分公式既然单通区域中解析函数的积分与路径无关， 设积分路径的起点为定点z0，终点为动点z, 则 积分上限的函数 (2.2.8)
y2 = sinq 的函数 曲线图(图2.4). 易见在开区间 (0,p/2)中，有
sinq >2q/p ； 而在闭区间[0,p/2 ]的端点，有sinq = 2q/p。
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【2.1.4】试证明 若当引理：若z在上半平 面及实轴上趋于∞时，f(z)一致地趋于零( 与辐角无关)，则
式中m>0，CR是以原点 为圆心、R为半径的上 半圆周，参看图2.3.
是单通区域内的单值函数，现在证明它是f (z) 的原函数．
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定理 若f(z)是单通区域D内的解析函数，则
也是D内的解析函数，且
证明 由 先计算
F(z+Dz)-F(z)。利用
式(2.2.8)及复变积分 的性质(1)，可得
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由于解析函数的积分与路径无
积分的许多性质是实变积分的直接推广。对 于这些性质，我们将不加证明地叙述．
(1)若曲线L依次由n段线段l1, l2,… ln组成，则
(2)掉转积分路径的方向，积分变号，即
式中l-与l重合，但方向相反
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(3) 若f1(z)与f2(z)沿L的积分存在，则
(2.1.10) 上式还可推广为有限多项函数和、差的情形． (4) 被积函数中的任意复常数a 可提出积分号外 ，即
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(5) 复变积分的模不大于被积函数的模沿曲线 的实变线积分，即
证明由实变函数线积分的定义出发，并利用“ 矢量之和的长度不大于矢量长度之和” ，以 及复变积分的定义，即有
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(6)若在曲线 l 上, max|f(z)|=M, 曲线 l 的长度为
l ，则
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【2.1.2】试证明，若z在上半平面及实轴上趋 于∞时, zf(z)一致地趋于零(与辐角无关)，即
由复变积分性质(5)导出的例2.1.2和例2.1.4这 两个结论，将会启发我们怎样用留数定理计 算实变积分，见4.2节．
对于解析函数的积分，还具有一些特有的性 质，由2.2节、2.3节介绍的柯西定理、柯西公 式、最大模定理等反映．
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§2.2 解析函数的柯西定理 原函数与定积分公式
柯西定理：解析函数积分理论的基本定理，从 积分的角度给出解析函数在其解析 区域取值的关联性．
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证明 当z 在CR上时，z=Reiq，由复变积
分性质(5)可得
将积分(2.1.19)分为两项: 0由p/2的积分与由p/2 到p的积分．第二项先作变换 q = p-j，再用q 表示j，两项合并后利用若当不等式，即有
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综合式(2.1.20)和式(2.1.19)式，并利用题设条件
(2.1.21)
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(2) 在1+i到2+i段 有 y=1，dy=o
；在2+i到2+4i段 有 x=2，
dx=0，因而
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(3) 将z=x+iy=t(1+it)及dz＝(1+i2t)dt 代入，即有
x=t, y=t2
本题沿三个不同路径的积分值相同，但是“积 分与路径无关”这个结果不是必然的．
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§2.1.3 复变积分的性质 既然复变积分可归结为实变积分，因此，复变