l 1 m 1 2 解：Ta mx 0 2 l l 2 4 可得：m e m 3
14 x d m x 2 23
2
1 b 1 b2 Ua k x 2 2 l 2 l 1 a 1 a2 Da c x 2 2 l 2 l
解： 设滑轮中心位移分别为 x1 , x2 ， 由滑轮系运动分析可知：
x 2 x1 x2 1
设绳中张力为 T0 ，则
2T0 k1 x1 k2 x2 2
由（1）和（2）可知：
x1
k1 k2 xx2 x 2 k1 k2 2 k1 k2
2
2
2 b2 k x , 可得：ke 2 k l 2 a2 k x , 可得：ce 2 c l
振动微分方程为： 4 a 2c b2k mx 2 x 2 x 0 3 l l cc 2 me ke
2
4b km l 3
ce 3a 4 c 2 b 3k 0 cc 16b 2l 2 km 2l m 阻尼固有频率为: =

1 4
4 4 sin t arctan 2 2 T 1 4 4
姓名：孔得旭
学号：2160940022
主讲教师：李伟
H
K 2 K 2 m ci d d 1 x H n sin nt n 4 n1 n d kd 1 4 n1 n sin nt n
由能量法：
1 1 1 k1k2 2 2 2 U a k1 x1 k2 x2 x 2 2 2 4 k k 1 2 Ue 1 ke x 2 2
可得：ke 于是： = 1 4
k1k2 4 k1 k2 k1k2 m k1 k2
姓名：孔得旭
学号：2160940022
主讲教师：李伟
2.4 在 图 示 振 动 系 统 中 ， 假 定 阻 尼 为 临 界 阻 尼 （

1,
simpt N p 0, lim cos p t 1, lim t ） 。已知 k 175 m ， 质 p 0 p 0 p
量 m 1.75kg ， 初始位移 x0 当 t=0 时放松质量块。求： （1）第一次到达平衡位置的时间？ （ 2 ）最大幅值为多少？所需时间又为多 少?
1cm ，初始速度 x0 12 cm s 。
解： 临界阻尼状态下系统自由振动的解为：
xe
0t
x0 0 x0 t x0
k 10 rad s m 0.5s
(1)平衡位置x 00 代入式中，t


x0
x0 0 x0
(2)最大幅值时 x 0 代入式中，t x0 0 x0

x0
0.6s
xmax 0.000496cm
姓名：孔得旭
学号：2160940022
2
2K n2 2 m cn
2
arctan
cn 2k 2 m ci
c sin t arctan d kd 2k 2 m x 2 2 4 2 2K m c 2c sin 2t arctan 2 kd 2 k 4 m 2 2 2 2 2 K 4 m 2 c
0 1 2 2
姓名：孔得旭
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主讲教师：李伟
2.7 图示振动系统的物理参数均为已知。上面的支座进行简谐振动
xs a0 sin t 。求：
（1 ） 质量块稳态振幅 X 与 a0 的比值。 （2）质量块的稳态响应。
ci 解：mx+cx+kx=cxs H k m 2 ci x c (1) a0 k m 2 2 c 2 2 m 2 k (2) arctan c x x sin t
解：设 m 2 的线位移为 X，有能量法
1 a2 U a k1 2 a4
1 a3 x k2 2 a4
2
2 2 1 k1a2 2 k2 a3 x x 2 2 a 4
2
又U e
1 ke x 2 ， 2
2
2 2 k1a2 k2 a3 故k B 2 a4
姓名：孔得旭
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主讲教师：李伟
2.8 图示振动系统的各物理参数均为 已知量。 （1）写出系统的振动微分方程； （2）写出激励函数的前面四项； （3）写出系统稳态响应的前三项。
2 1 1 1 解：（） 1 xs d sin nt T 2 n1 n mx cx 2kx kxs d d 2 d 4 d 6 sin t sin t sin t 2 T 2 T 3 T 1 K 2 3 H 2 2 2 K m ci 1 2i
姓名：孔得旭
学号：2160940022
主讲教师：李伟
习题二
2.1 习 题 图 2.1 所 示 系 统 中 ， 已 知
m1，m2，k1，k 2，a1，a 2，a 3，a 4 ; 水平刚杆的质量忽略不
计。 以 m 2 的线位移为运动坐标， 求系统的等效刚度பைடு நூலகம்k B ， 等效质量 m B 以及振动的固有频率。
1 a Ta m1 1 2 a4
2 1 1 m1a12 m2 a4 2 2 x m2 x x 2 2 a4 2
2 1 m1a12 m2 a4 2 又Te = me x ， 故mB = a4 2 2
1 = 2
ke 1 me 2
主讲教师：李伟
2.5 图示振动系统中有一小阻尼，因此，
p p 。质量块的质量为
9kg，其在自然静止状态的弹簧伸长为 12mm。在系统的自由振动 20 周内观察到振幅由 10mm 衰减到 2.5mm。求： （1）系统的阻尼系数？（2）衰减系数; （3）阻尼比； （4）临界阻尼。
9 9.8 解：k 7350 N m 0.012 k 0 28.58 rad s m 1 10 ln 0.69 20 2.5 阻尼比： = 1
k1a12 k2 a32 m1a12 m2 a4 2
姓名：孔得旭
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2.2 图示振动系统的弹性元件的质量忽略不计。求系统的的 等效刚度（ k1 和 k 2 为悬臂弹簧 的刚度）
k1k2 解：k1 , k2串联，k q1 = k1 k2
k q1，k3并联，k q2 =k q1 k3
2 xs
0
2k c m 2 2km
d d x 4 x d 4
1 2n H sin n t arctan n n n 1 n2 2 n 1

d d 4 2
1
1
1
2 2
2 2
2 2 sin t arctan 2 T 1 2 2
2
2 1 衰减系数：n=0 =0.314
=0.011
临界阻尼cc 2km 514.4 阻尼c cc 5.66
姓名：孔得旭
学号：2160940022
主讲教师：李伟
2.6 图示弹簧质量振动系统， 假设杆长为 1， 质量为 m， 且为均质杆。 试写出运动微分方程并求出临界阻尼系数和阻尼固有频率。
k q2，k4串联，k q =
k q2 k4
k q2 k4 k q2 k4
k1k2 k2 k3 k3k1 k4 k q = = k q2 k4 k1k2 k1 k2 k3 k4
姓名：孔得旭
学号：2160940022
主讲教师：李伟
2.3 习题图 2.3 所示振动系统中， 弹 性元件以及滑轮的质量忽略不计。 假定滑轮转动时无摩擦作用，求系 统的固有频率。