1、 方波振动信号的谐波分析，00,02(),2T x t x t T x t T⎧<<⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩。

绘制频谱图。

解：()x t 的数学表达式可写为： 计算三要素：()a n =0202()()sin 22Tn t b n x t dt T T π⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭⎰=20042sin Tn t x dt T T π⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰=0222cos T n t n T ππ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=()021cos ,1,2,x n n n ππ-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎡⎤⎣⎦ =4,1,3,5x n nπ=⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 01()cos sin 222n n n a n t n t X t a b T T ππ∞=⎛⎫ ⎪∴=++ ⎪ ⎪⎝⎭∑=12sin n n n t b T π∞=∑=0142sin n x n t nT ππ∞=∑,n=1,3,5, ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，02T t <<或2Tt T <<振幅频谱图4,1,3,5n n x A b n nπ===⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ()⎩⎨⎧≤≤-≤≤-=02/2/00t T T t x x t x相位频谱图1tan 0,1,3,5n n n a n b φ-⎛⎫===⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎝⎭2、 求周期性矩形脉冲波的复数形式的傅立叶级数，绘频谱图。

解： 数学表达式：计算三要素：傅立叶级数复数形式：频谱图0000,0sin ,0,n x t n TA x n t n n n T ππ⎧=⎪⎪=⎨⎪≠-∞<<∞⎪⎩()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤--≤≤-=220222200000T t t t t t x t t T t x 偶函数 T x t a 0002=2sin 2010tn n x a n ωπ⋅=0=n b 2sin 22010tn n x a ib a X n n nn ωπ⋅==-=()2sin 1101012/2/02/2/102/2/02/2/010********t n n x tin e e T x t in e T x dt e x T dt e t x T X t in t in t t t in t in t t tin T T n ωπωωωωωωω⋅=--⋅=-⋅=⋅⋅=⋅⋅=-------⎰⎰T t x t n n x X n 00010002sinlim =⋅=→ωπ()∑∑∞-∞=∞-∞===n tin n t in n e n t n x e X t x 112sin 010ωωωπ2.1解： （1）能量法222341222111()()222e a a k x k x k x a a += 2232122244e a a k k k a a ∴=+（2）能量法222 (1214)111222e a m x m x m x a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭212124e a m m m a ∴=+（3）固有频率222132224211e e k a k a k p m a m a m +==+2.3解：平衡位置系统受力如图 则122,2F G F G == 弹簧1k 变形112G x k =，弹簧变形222Gx k =，且m 静位移1222x x x =+ 12124422e G G Gx x x k k k ∴==+=+ ()1212,4e e k k k m m k k ∴==+∴固有圆频率()121212e e k k k p m k k m==+2.5解对数衰减率：111110ln ln 0.06920 2.5j A j A δ+=== 相对阻尼系数：22110.01122110.069ζππδ===⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭衰减系数：9.80.0110.3140.012n k g n ms ζωζζ===== 阻尼系数：220.3149 5.652(/)c nm N s m ==⨯⨯=临界阻尼： 5.652513.8(/)0.011c cc N s m ζ=== 2.7解受力分析如图-xs ’)单自由度振动系统振动微分方程()2022s sn n n smx c x x kx mx cx kx cx x x x x ζωωζω+-+=∴++=∴++=设iwtcs x e =，则()c cs x H x ω=22222()212n n n i iH i iζωωζλωωωζωωλζλ∴==-+-+()H ω=，相位差角：122tan ()12ζλπϕλ-=--()()()()()i iwt i wt s x t H x t H e ae ϕϕωω--===()0sin )s x a t x t t ωωϕ=∴=-Xa =其中，n ωλω==ζ= 2.8 解：1、 系统的振动微分方程为：0=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++•••s x x k kx x c x m即：s kx kx x c x m =++2激励函数为：()T t t Tdk kx s ≤≤=0 傅立叶级数三要素：kd tdt T dk T a T ==⎰002()0cos 20=⋅=⎰dt nwt t T dk T a T n()πn kd dt nwt t T d k T b T n -=⋅=⎰sin 20所以，激励函数的前四项为：()()()∑=⋅+⋅+=41sin cos 2n n n s t n b t n a a kx ωω)4sin 413sin 312sin 21(sin 2wt wt wt wt d k d k+++-=π 系统稳态响应的前三项为：])6()91(3)3sin()4()41(2)2sin()2()1()sin([24)2()1(2)sin(4222322222221312222ζλλψζλλψζλλψπλζλψ+--++--++---=+--+=∑=wt wt wt dd n n k nwt b d x n n n 其中3,2,1,12arctan22=-=n n n n λλζψ2.9 解：运用杜哈美积分法())]03.0sin()02.0(sin(50)03.0cos()02.0cos(5.0[)03.0sin()03.0(sin )(1)03.0sin(03.0)];01.0sin(50)01.0cos(5.0[)01.0sin()01.0(sin )50(1)01.0sin(01.0);01.00(50)(;)(sin )(1sin )(sin )(1sin )/(cos 20001.0020001.00000000000.0p p p p p mpF p p d p f mp p p x s t p p p mp F p pd p F F mpp px s t t t F F t f d t p f mppt p d t p f mp pt p x pt x t t t ---+=-+==+-+=--+==≤≤-=-+=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰⎰⎰⎰υτττυυτττυτττυτττχ时，当时，当4.1解直接法()11121221111221222213222212320()0()0()0m x k k x k x m x k x k x x m x k x x k x m x k x k k x ++-=⎧+--=⎧⎪⇒⎨⎨+-+=-++=⎪⎩⎩122111223222000k k k m x x k k k m x x +-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤∴+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦其中，122223k k k K k k k +-⎡⎤=⎢⎥-+⎣⎦拉格朗日法系统为无阻尼自由振动系统，拉格朗日方程形式为：0ii id TT Udt q q q δδδδδδ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭ 广义坐标为：12,x x2211221122T m x m x =+ 0,1,2iTi x δδ== 111111,T d T m x m x x dt x δδδδ⎛⎫== ⎪⎝⎭222222,T d T m x m x x dt x δδδδ⎛⎫== ⎪⎝⎭()2221122132111222U k x k x x k x =+-+ 112212213212(),()U U k x k x x k x x k x x x δδδδ=--=-+ ∴()11121221111221222213222212320()0()0()0m x k k x k x m x k x k x x m x k x x k x m x k x k k x ++-=⎧+--=⎧⎪⇒⎨⎨+-+=-++=⎪⎩⎩影响系数法令121,0x x ==11112112k k x k x k k =+=+ 2112212k k k x k ==-=-令120,1x x ==22223223k k x k x k k =+=+122223k k k K k k k +-⎡⎤∴=⎢⎥-+⎣⎦4.2解：直接法∴111213311113112332212123222111222333232331333122233()()0()0()()0()0()()0()0J k r k r J k r k r k r k r J k r k r J k r k r k r k r J k r k r J k r k r k r k r θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ⎧⎧----=++--=⎪⎪+---=⇒-++-=⎨⎨⎪⎪+-+-=--++=⎩⎩ ∴12300100000100001J M J J J ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦131311223223211121112k r k rk r k r K k rk r k r k r kr k rk rk r k r +----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+--⎣⎦⎣⎦4.3解a，1234mmMmm⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，1222233334444k k kk k k kKk k k kk k+-⎡⎤⎢⎥-+-⎢⎥=⎢⎥-+-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦b，1234mmMmm⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，222233334444k kk k k kKk k k kk k-⎡⎤⎢⎥-+-⎢⎥=⎢⎥-+-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦c，1234mmMmm⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，12222333344443k k kk k k kKk k k kk k k+-⎡⎤⎢⎥-+-⎢⎥=⎢⎥-+-⎢⎥-+⎢⎥⎣⎦4.4解：质心位于距左端34l处0324l m xdx mllx lm⎛⎫+⎪==⎪⎪⎝⎭⎰令1,0xθ==11211223442 k kx kx kl kl k k kx kx l=+===-=-令0x=，1θ=22233544448l l k k k l l kl θθ=+= ∴刚度矩阵为，222528kl kK kl kl ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦令1,0x θ==1122m mx m ∴==21120m m ==令0,1x θ==222524m I ml θ==，3222445()424ll m l I x dx m ml l -=+=⎰∴质量矩阵为，2205024mM ml ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦22202205502428kl mk x x klml kl θθ⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥∴+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦特征矩阵为，22222222552824n n nkl k m H K M kl kl ml ωωω⎡⎤--⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦将20n H K M ω=-=整理为，22422221440335n n m ll km k l ωω-+=求得特征值为，2120.735k k m m ω⎛=≈ ⎝，222 3.265k k mm ω⎛=+≈ ⎝ 2n H K M ω=-的伴随阵，2222558242222n n kl kl ml adjH kl k m ωω⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦将22120.735, 3.265k km mωω==代入 得对应特征向量，1211,1.0599.06A A l l ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦则主振型矩阵为，111.0599.06A l l ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦模态质量矩阵为21111201.0599.06 1.0599.065024TT P mM A MA ml l l l l ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦2.2340019.1mm ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦模态刚度矩阵为21111221.0599.06 1.0599.06528TT P kl k K A KA kl kl l l l l ⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦1.6420062.362kk ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦归一化因子为，i α==∴归一化因子方阵，0.669000.229R ⎤=⎥⎦ ∴正则振型矩阵为，110.6690.2290.66901.0599.060.708 2.07500.229N A AR ll l l ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎥===--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎦正则模态质量矩阵为，20.6690.2290.6690.229200.9990.0000.7082.0750.708 2.07550.000 1.002024TTN N N mM A MA ml ll l l ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎥⎥⎢===--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎦正则模态刚度矩阵为，20.6690.2290.6690.22920.7340.00020.7082.0750.708 2.07550.0003.16528T TN N N kl kk K A KA kl m kl l l l l ⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎥⎥===⎢--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢-⎢⎥⎢⎥⎦⎦⎢⎣⎦第一阶主振型示意图，1N 为节点1第二阶主振型示意图，2N 为节点1.265习题4.6解：（1）直接法，受力如图f f k )r r l ϕ2m ρϕ2()()0()()0r r f f r r r f f f mz k z l k z l m k z l l k z l l ϕϕρϕϕϕ+++-=⎧⎪⎨++--=⎪⎩222()()0()()0f r r r f f r r f f r r f f mz k k z k l k l m k l k l z k l k l ϕρϕϕ+++-=⎧⎪⇒⎨+-++=⎪⎩ 运动微分方程为222000f r r r f f r rf f r r f f k k k l k l mz z k l k lk l k l m ρϕϕ+-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 特征矩阵为222222f r r r f fr r f f r r f f k k m k l k l H K M k l k l k l k l m ωωωρ⎡⎤+--=-=⎢⎥-+-⎢⎥⎣⎦由20H K M ω=-=得()()2422222()0f r r r f f f r f r m k k m kl k l m k k l l ρωρω⎡⎤-+++++=⎣⎦21ω=22ω=H 的伴随矩阵22222r r f ff f r r f f r r f r k l k l m k l k l adjH k l k l k k m ωρω⎡⎤+--=⎢⎥-+-⎢⎥⎣⎦将固有频率21ω、22ω代入adjH ，得主振型：22(1)(2)1211,f r f r f f r r f f r r k k m k k m A A k l k l k l k l ωω⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+-+-==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦（2）f f r r k l k l = 则运动微分方程变为22200000f r r r f f k k mz z k l k l m ρϕϕ+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ z自由度的固有频率为ω=ϕ自由度的固有频率为ω=两运动互不相关 （3）2f r l l ρ=()()21,22fr f f r r f f r rf rll k l k l k l k l ml l ω++±-=若f f r r k l k l >()()2212,f r rf r ffrl l k l l k ml ml ωω++==，(1)(2)111,1f r A A l l ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦若f f r r k l k l <()()2212,f r ff r rrfl l k l l k ml ml ωω++==，(1)(2)111,1f r A A l l ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦4.9柔度矩阵 F=1111122123k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦刚度矩阵 K=1210121011F k --⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦质量矩阵 000000J M J J ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦所以222362422322025600nnnn n n nk J kH K M k k J kJ J k Jk k kk J ωωωωωωω--=-=---=-+-+=--解得：2(1)2(2)2(3)0.2, 1.5, 3.2nn n k k k J J Jωωω===(1)(2)(3)N1111.80.5 1.22.240.750.441111.80.5 1.22.240.750.440.330.740.62A0.60.370.740.740.560.27P0.5TCpA A AA⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥∴=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦∴⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦=对应主振型正则振型矩阵TN NPNiNi2Pi PiN0.67P A P0.11.5T sin t0.249.26000 1.81000 2.634.07k00K K00.75k0008.97kPXK M0.6XTP p PTp PJA MA JJA Aωω⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∴==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦=-∴=质量模态矩阵 M刚度模态矩阵简谐力作用下2222N N2274.07k9.26J0.110.75k1.81J0.248.97k 2.63J0.0094.07k9.26J0.539X=A X0.75k1.81J0.4938.97k 2.63Jωωωωωω⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦∴-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦物理坐标下位移响应4.102222(1)2(2)(1)(2)P TP P Pi Pi i i 0202202113,,A ,A 1111A 11Q 0P P A P Q 2Q X P (1cos t)/n nnnn m k k M K m kk k mk H K M kk mk k m m ωωωωωωω-⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦--∴=-==--⎡⎤⎡⎤∴====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎡⎤∴=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎡⎤⎡⎤=∴==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=-对应主振型由杜哈梅积分得2P 2P P 0m X 2k Q(1cos t)312mQ X A X (13k 1ω⎡⎤⎢⎥∴=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎡⎤∴==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦5.1 解：系统质量刚度矩阵分别为22,2m kk m k k k M K m kk k m kk -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦第一瑞丽商：假设21111112111112111,0.2;2211111222;1233123411,0.1234;22111112221,0.112331234TTTT A KA k A p A MA m A MA k p A MFMA m k p trD m⎡⎤⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦1则第二瑞丽商：1系统柔度矩阵 F=k 假设 A 则邓克莱法：m D=FM=则k这三种方法中，第二瑞丽商精度最高，邓克莱法计算结果偏小。