利用空间向量求空间角
一、高考考纲要求：
能用向量方法解决异面直线的夹角、线面角、面面角问题．体会向量法在立体几何中的应用．
二、命题趋势：
在高考中，本部分知识是考查的重点内容之一，主要考查异面直线所成角、线面角、面面角的计算，属中档题，综合性较强，与平行垂直联系较多.
三、教学目标
知识与技能：能用向量法熟练解决异面直线的夹角、线面角、面面角的计算问题，了解向量法在研究立体几何问题中的应用；
过程与方法：通过向量这个载体，实现“几何问题代数化”的思想，进一步发展学生的空间想象能力和几何直观能力； 情感态度价值观：通过数形结合的思想和方法的应用，进一步让学生感受和体会空间直角坐标系，方向向量，法向量的魅力.
四、教学重难点
重点：用向量法求空间角——线线角、线面角、二面角； 难点：将立体几何问题转化为向量问题.
五、教学过程
（一）空间角公式
1、异面直线所成角公式：如图，设异面直线l ，m 的方向向量分别为a r ,b r
,异面直线l ，m
2、线面角公式：设直线l 为平面α的斜线，a r 为l 的方向向量，n r
为平面α的法向量，θ为
l 与α所成的角，则sin cos ,a n θ==r
r
a n a n
⋅r r r r .
3、面面角公式：设1n r ，2n r 分别为平面α、β的法向量，二面角为θ，则12,n n θ=r r
或
12,n n θπ=-r r
（需要根据具体情况判断相等或互补）
，其中121212
cos ,n n n n n n ⋅=r r
r r r r .
α
θ
O
n
r a
（二）典例分析
如图，已知：在直角梯形OABC 中，//OA BC ，90AOC ∠=o
，SO ⊥面OABC ，且
1,2OS OC BC OA ====.求：
（1）异面直线SA 和OB 所成的角的余弦值； （2）OS 与面SAB 所成角α的正弦值； （3）二面角B AS O --的余弦值.
解：如图建立空间直角坐标系，则(0,0,0)O ，
(2,0,0)A ，(1,1,0)B ，(0,1,0)C ，(0,0,1)S ，
于是我们有(2,0,1)SA =-u u r ，(1,1,0)AB =-u u u r ，(1,1,0)OB =u u u r ，(0,0,1)OS =u u u r
，
（1）cos ,5SA OB SA OB SA OB
⋅==
=u u r u u u r
u u r u u u r u u r u u u r ， 所以异面直线SA 和OB 所成的角的余弦值为5
. （2）设平面SAB 的法向量(,,)n x y z =r
，
则0,0,
n AB n SA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u r
，即0,20.x y x z -+=⎧⎨-=⎩ 取1x =，则1y =，2z =，所以(1,1,2)n =r
，
sin cos ,3OS n OS n OS n α⋅∴===
=u u u r r
u u u r r u u u r r . （3）由（2）知平面SAB 的法向量1(1,1,2)n =u r
，
又OC ⊥Q 平面AOS ，OC ∴u u u r
是平面AOS 的法向量，
令2(0,1,0)n OC ==u u r u u u r ，则有121212
cos ,n n n n n n ⋅==
=u r u u r
u r u u r u r u u r . ∴二面角B AS O --O
A
B
C
S
（三）巩固练习
1、在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，11BC AA ==，点E 、F 分别11A C ，1AD 的中点，求：
（1）异面直线EF 和CD 所成的角的余弦值；（2）11D C 与平面11A BC 所成角的正弦值； （3）平面11A BC 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值.
解析：以D 为原点，分别以射线DA ，DC ，1DD ，为x 轴、y 轴、z 轴的非负半轴建立空间直角坐标系D xyz -，由于2AB =，11BC AA ==，所以(0,0,0)D ，(0,2,0)C ，
1(,1,1)2E ，11(,0,)22F ，1(1,0,1)A ，
(1,2,0)B ，1(0,2,1)C ，1(0,0,1)D ，则1
(0,1,)2EF =--u u u r ，(0,2,0)DC =u u u r ，11(1,2,0)AC =-u u u u r ，1(1,0,1)BC =-u u u u r ，11(0,2,0)DC =u u u u r .
（1
）cos ,5EF DC EF DC EF DC
⋅==-
u u u r u u u r
u u u r u u u r u u u r u u u r ∴异面直线EF 和CD
所成的角余弦值为
5
； （2）设平面11A BC 的法向量(,,)n x y z =r
，则有
则1110,0,
n A C n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u u r r u u u u r
，即20,0.x y x z -+=⎧⎨-+=⎩ 令2x =，则1y =，2z =，所以(2,1,2)n =r
，
又设11D C 与平面11A BC 所成的角为θ，
则11111121
sin cos ,233D C n D C n D C n θ⋅===
=⨯u u u u r r
u u u u r r u u u u r r . （3）由（2）知平面11A BC 的法向量1(2,1,2)n =r
，
又1DD ⊥Q 平面ABCD ，1DD ∴u u u u r
是平面ABCD 的法向量，
令21(0,0,1)n DD ==u u r u u u u r ，则12121222
cos ,313
n n n n n n ⋅
==
=⨯u r u u r
u r u u r u r u u r . 故所成的锐二面角的余弦值为
23
. 2、如图所示，四棱锥P ABCD -，ABC ∆为边长为2的正三角形，3CD =，1AD =，
PO 垂直于平面ABCD 于O ，O 为AC 的中点，1PO =，求：
（1）异面直线AB 与PC 所成角的余弦值； （2）平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值.
解：（Ⅰ）如图，以A 为坐标原点建立空间直角坐标系A −xyz ，
因为AD =1，CD =3，AC =2， 所以AD ⊥CD ，∠DAC =π
3
， ∴AD ∥BC ．
(000)A ，，，(310)B -，，，(310)C ，，
，(010)D ，，， 3102O ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，，3112P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，， 则(310)AB =-u u u r ，，，3112CP ⎛⎫
=-- ⎪ ⎪⎝⎭
u u u r ，，，
∴2
cos ||||22
AB CP AB CP AB CP 〈〉===-⨯⨯u u u r u u u r
u u u r u u u r g u u u r u u u r ，，
∴异面直线AB 与PC 所成角的余弦值为
2．
（Ⅱ）设平面PAB 法向量为1n r
=(x 1，y 1，z 1)，
可得11111
1
02
0y z y ++=-=，， 令11x =
，则1(1n =r
，
又1100)2DP DC ⎫=-=⎪⎪⎝⎭
u u u r u u u r ，，，， 设平面PCD 法向量为2222()n x y z =r
，，，
可得2222
1
020y z -+==，，
令21y =，则2n r =1012⎛
⎫ ⎪⎝⎭，，，则
121212cos =||||n n n n n n 〈〉r r
g r r
r r ，．
∴平面PAB 与平面PCD
（四）课堂小结
1．用向量来求空间角，都需将各类角转化成对应向量的夹角来计算，问题的关键在于确定对应线段的向量．
2．合理建立空间直角坐标系
(1)一般来说，如果已知的空间几何体中含有两两垂直且交于一点的三条直线时，就以这三条直线为坐标轴建立空间直角坐标系；如果不存在这样的三条直线，则应尽可能找两条垂直相交的直线，以其为两条坐标轴建立空间直角坐标系，即坐标系建立时以其中的垂直相交直线为基本出发点．
(2)建系的基本思想是寻找其中的线线垂直关系，在没有现成的垂直关系时要通过其他已知条件得到垂直关系，在此基础上选择一个合理的位置建立空间直角坐标系．
[易错防范]
1．利用向量求角，一定要注意将向量夹角转化为各空间角．因为向量夹角与各空间角的定义、范围不同．
2．求二面角要根据图形确定所求角是锐角还是钝角．
（五）课后作业
三维设计——课时跟踪检测（四十八）。