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用空间向量解决空间中“夹角”问题

利用空间向量解决空间中的“夹角”问题
学习目标 :
1.学会求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的向量方法;
2.能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题;
3.提高分析与推理能力和空间想象能力。

重点 :
利用空间向量解决空间中的“夹角” 难点 :
向量夹角与空间中的“夹角”的关系 一、复习引入
1.用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”
(1)建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题;(化为向量问题)
(2)通过向量运算,研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题;(进行向量运算)
(3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。

(回到图形) 2.向量的有关知识:
(1)两向量数量积的定义:><=⋅b a b a b a ,cos |||| (2)两向量夹角公式:|
|||,cos b a b a b a >=
<
(3)平面的法向量:与平面垂直的向量 二、知识讲解与典例分析
知识点1:异面直线所成的角(范围:]2
,
0(π
θ∈)
(1)定义:过空间任意一点o 分别作异面直线a 与b 的平行线a´与b´,那么直线a´与b´ 所成的锐角或直角,叫做异面直线a 与b 所成的角. (2)用向量法求异面直线所成角 设两异面直线a 、b 的方向向量分别为a 和b ,
问题1: 当a 与b 的夹角不大于90
的角θ与a 和b 的夹角的关系?问题 2:a 与b 的夹角大于90°时,,异面直线a θ与a 和b 的夹角的关系?
结论:异面直线a 、b 所成的角的余弦值为|
||||,cos |cos n m n m n m =
><=θ
a
例1如图,正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为a ,侧棱长为a 2,求1AC 和1CB 所成的角. 解法步骤:1.写出异面直线的方向向量的坐标。

2.利用空间两个向量的夹角公式求出夹角。

解:如图建立空间直角坐标系xyz A -,则
)2,,0(),0,21,23(),2,21,23(),0,0,0(11a a B a a C a a a C A --
∴ )2,21,23(1a a a AC -=,)2,2
1,23(1a a a CB = 即21
323||||,cos 22
111111==>=
<a a
CB AC CB AC CB AC ∴1AC 和1CB 所成的角为
3
π
知识点2、直线与平面所成的角(范围:]2
,
0[π
θ∈)
思考:设平面α的法向量为n ,则><BA n ,与θ的关系?
例2、如图,正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为a ,侧棱长为a 2,求1AC 和B B AA 11面所成角的正弦值. 分析:直线与平面所成的角步骤:
1. 求出平面的法向量
2. 求出直线的方向向量
3. 求以上两个向量的夹角,(锐角)其余角为所求角
解:如图建立空间直角坐标系xyz A -,则),0,,0(),2,0,0(1a AB a AA ==)2,21
,23(1a a a AC -= 设平面B B AA 11的法向量为),,(z y x n =
x
y
n
由⎩⎨
⎧==⇒⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅000020
01z y ay az AB n AA n 取1=x ,)0,0,1(=∴n
21323|
|||,cos 2
2
111-=-=
>=
<∴a
a
N AC n AC n AC ∴1AC 和B B AA 11面所成角的正弦值
2
1.
知识点3:二面角(范围:],0[πθ∈)
结论:

归纳:法向量的方向:一进一出,二面角等于法向量夹角;同进同出,二面角等于法向量夹角的补角. 例3、如图,ABCD 是一直角梯形,︒=
∠90ABC ,⊥SA 面ABCD ,1===BC AB SA ,2
1=AD ,求面SCD 与面SBA 所成二面角的余弦值. 解:如图建立空间直角坐标系xyz A -,则
)1,0,0(),0,2
1
,0(),0,1,1(),0,0,0(S D C A -
易知面SBA
的法向量为)0,2
1
,0(1==AD n
)1,2
1
,0(),0,21,1(-=-=SD CD
设面SCD 的法向量为),,(2z y x n =,则有
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
=-=-0
2
02z y y x ,取1=z ,得2,1==y x ,)1,21,1(2=∴n
3
6|
|||,cos 212121=
>=
<∴n n n n n n 又1n 方向朝面内,2n 方向朝面外,属于“一进一出”的情况,二面角等于法向量夹角 即所求二面角的余弦值为3
6.
三、课堂小结
1.异面直线所成的角:|,cos |cos ><=b a θ 2.直线和平面所成的角:|,cos |sin ><=n AB θ
3.二面角:><-=><=2121,cos cos ,cos cos n n n n θθ或.
四、小试牛刀
1:正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1,点E 、F 分别为CD 、1DD 的中点.求直线11C B 与平面C AB 1所成的角的正弦值.
2:正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1,点E 、F 分别为CD 、1DD 的中点.求二面角D AE F --的余弦值。

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