证 显然只要证明第一个论断. 条件的必要性是明显的. 我们只要证条件的充分性.
设A，B是复数域上两个n阶对称矩阵，且A与B有相同的秩r ， 由定理9.1.2，分别存在复可逆矩阵P和Q，使得
c1
0
c2
PAP
cr
0
0
0
d1
0
d2
QBQ
dr
0
0
0
当r 0时, ci 0, di 0, i 1,2,, r
9.2 复数域和实数域上的二次型
一.内容分布 9.2.1 复二次型的典范形 9.2.2 实二次型的典范形
二.教学目的 1．掌握复二次型的典范形、实二次型的典范形、实二次
型的惯性指标、符号差等概念。 2．掌握实二次型的惯性定律.
三.重点、难点： 实二次型的惯性定律.
9.2.1 复二次型的典范形式
定理9.2.1 复数域上两个n阶对称矩阵合同的充分且必要 条件是它们有相同的秩. 两个复二次型等价的充分且必要 条件是它们有相同的秩.
1 - 1 - 1 A -1 -3 a
-1 a a 经过合同变换可化为标准形
1 0 A 0 - 2
0
0
0 0 a 1a 3
所以当 a 1 或 a 3 时，二次型的惯性指标是
0，符号差是－2，其典范形为
f x1, x2 , x3 z12 z22
1 (n 1)(n 2) 类，属于同一类的二次型彼此等价， 2 属于不同类的二次型互不等价.
证 给定 0 r n和0 p r . 令
I p O O Cr,p O Ir p O
O O O
由定理9.2.4，R上每一n元二次型恰与一个以 Cr, p 为矩阵的典范形式等价. 当 r 取定后，p 可以取0，
y p1(c) yr (c) 0 z1(c) z p (c) 0
又 z p1(c) zn(c) 0. 所以c1, c2 ,, cn 是
齐次线性方程组
n
tijc j 0, i 1,2,, n
j 1
的一个非零解.这与矩阵 (tij ) 的非奇异性矛盾.
这就证明了 p p . 同理可证得 p p .
（1）
x12
x
2 p
x
2 p1
xr2
这里 r 是所给的二次型的秩.
二次型（1）叫做实二次型的典范形式，定理9.2.3 是说， 实数域上每一个二次型都与一个典范形式等价. 在典范形式 里，平方项的个数 r 等于二次型的秩，因而是唯一确定的.
定理 9.2.4（惯性定律）设实数域R上n元二次型
nn
aij xi x j
z1(c)2 z p (c)2 z p1(c)2 zr (c)2
nn
ai jcic j
j1 ji
然而 y1(c) y p(c) 0, z p1(c) zr (c) 0
所以 y p1(c)2 yr (c)2 z1(c)2 z p (c)2
因为 yi (c)2 和 zi (c)2 都是非负数，所以必须
（6）在R内有非零解. 令 (c1, c2 ,, cn ) 是（6）的 一个非零解. 把这一组值代入 yi 和 zi 的表示式
（4）和（5）. 记
n
yi (c) sijc j , i 1,2,, n
j 1
n
zi (c) tijc j , i 1,2,, n
j 1
我们有
y1(c)2 y p (c)2 y p1(c)2 yr (c)2
c1
0
c2
PAP
cr
0
0
0
如果r > 0 ，必要时交换两列和两行，我们总可以假定
c1,, c p 0, cr 0, 0 p r
取
1
0
| c1 |
T
1
| cr |
1
0
1
那么
I p O O T PAPT O Ir p O
O O O
定理9.2.3 实数域上每一 n 元二次型都与如下形式的一个 二次型等价：
1 (n 1)(n 2) 类，属于同一类的二次彼此等价， 2
属于不同类的二次互不等价.
例 1 a 满足什么条件时，二次型
f x1, x2 , x3 x12 3x22 ax32 2x1x2 2ax2 x3 2x1x3
的惯性指标是0，符号差是－2 ？写出其典范形。
解 实二次型 f x1, x2, x3 的矩阵为
1，… ，r ；而 r 又可以取0，1，…，n 中任何一
个数. 因此这样的 Cr, p 共有
1 2 (n 1) 1 (n 1)(n 2) 2
个. 对于每一个 Cr, p ，就有一个典范形式
x12
x
2 p
x
2 p1
xr2
与它相当. 把与同一个典范形式等价的二次型放在 一类，于是 R 上的一切 n 元二次型恰可以分成
O O O
如果 q2与 q1等价，那么 A2和 A1 合同. 于是存在实
可逆矩阵Q 使得 A2 QA1Q . 取 T Q1P ，那么
T A2T PQ1QA1QQ1P
I p O O PA1P O Ir p O
O O O
因此 q2与q1都与同一个典范形式等价，所以它们
有相同的秩和符号差.
反过来，如果 q1, q2 有相同的秩 r 和符号差s ,
那么它们也有相同的惯性指标 p 1 (r s) . 因此
A1, A2 都与矩阵
2
I

O
O
O Irp O
O O O
合同. 由此推出 A2和 A1合同，从而 q2与 q1等价.
推论 9.2.6 实数域 R 上一切n元二次型可以分成
i1 j1
（2）
等价于两个典范形式
y12
y
2 p
y
2 p1
yr2
（3）
z12
z
2 p
z2 p1
zr2
那么 p p
证 设（2）和（3）分别通过变量的非奇异线性变换
n
（4） yi sij x j , i 1,2,, n
j 1 n
（5） zi tij x j , i 1,2,, n
j1
nn
所以 p p .
由这个定理，实数域上每一个二次型都与
q( x1, x2 ,, xn ) 唯一的典范形式（1）等价. 在（1）
中，正平方项的个数 p 叫做所给二次型的惯性指标. 正项的个数p与负项的个数 r – p 的差s = p – (r – p) = 2p – r 叫做所给的二次型的符号差.
一个实二次型的秩，惯性指标和符号都是唯一确定 的.
定理9.2.5 实数域上两个 n 元二次型等价的充分 且必要条件是它们有相同的秩和符号差.
证 设 q1( x1, x2 ,, xn ) 和 q2( x1, x2 ,, xn ) 是实数
域上两个n元二次型. 令 A1 和 A2 分别是它们的矩
阵. 那么由定理9.2.2，存在实可逆矩阵P，使得
I p O O PA1P O Ir p O
化为所给的二次型 aij xi x j , 如果 p p , 不
i1 j1
妨设 p p , 考虑 p n p 个方程的齐次线性
方程组
（6）
n
sij x j 0,
i 1,2,, p
j1
n
tij x j
j 1
0,
i p 1,, n
因为 p p , 所以 p n p n, 因此，方程组
取 n 阶复矩阵
1
c1
S
0
0 1
d1
1
T
cr
1
1
0
0
1
dr
1
1
这里 ci , di 分别表示复数 ci , di 的一个平方根.
那么 S S, T T ，而
SPAPS
T QBQT
Ir O
O O
因此，矩阵A，B 都与矩阵
Ir O
O O
合同，所以A与B合同.
nn
即复二次型 q(x1, x2,, xn )
aij xi x j
i1 j1
9.2.2 实二次型的典范形式
定理9.2.2 实数域上每一n 阶对称矩阵A 都合同于如下形式 的一个矩阵：
（1）
I p
O
O
O Irp O
O
O
O
这里 r 等于A的秩.
证 由定理9.1.2，存在实可逆矩阵P，使得