这方程在 R 中无解. 但实际上从 16 世纪开始就有数学家引入形如
a + b√−1 的数，其中 a, b 是实数，并且认为它也适合实数所适合
的运算规则.
这样所有负数的平方根可通过
√ −1
来表达，且能对
形如 a + b√−1 的数进行加减乘除四则运算.a + b√−1 这种形式的
数称为复数. 其后，人们证明了三次和四次复系数多项式（包括实
复数域的构造
命题 令 R 为实数域，C = {(a, b)|a, b ∈ R}. 令
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d), (a, b)(c, d) = (ac − bd, ad + bc),
则 C 对于上述加法和乘法成为一个域，称为复数域.
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复数域的性质
复数域 C 有下列性质：
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复数域的性质
复数域 C 有下列性质：
(i) C 中子集 {(a, 0)|a ∈ R} 对于 C 的加法和乘法成为一个子域. 一个自然的对应 (a, 0) → a 建立了这个子 域与 R 之间的一个 域同构，我们干脆记它为 R，这即说明 C 包含实数域 R. R 自然是 R 上二维向量空间：任意 (c, 0) ∈ R，(c, 0) 对 (a, b) 的数量乘积就是它们在 C 中的乘积，(c, 0)(a, b) = (ca, cb). 于 是有 (a, b) = (a, 0) + (b, 0)(0, 1). 干脆将 (a, 0), (b, 0) 写成 a, b， 则 (a, b) = a + b(0, 1).
(iii) C 中任意含 R 的子域在 (i) 中规定的数量乘法下自然成为 C 的子空间 (域 R 上的). 因 C 是二 维的，若 K 不等于 C，则必 为 R. 故 C 中没有真子域 K 既含 R 又使 K 中有 −1 的平方根 √−1.
从上面的命题看出，虚数、复数的引入，不是想象的或虚的，其数 学实质是把实数域 R 进行扩充得到一个更大的域，使得 x2 + 1 = 0 在大域中有根.
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复数域的性质
(ii) C 的乘法单位元是 (1, 0) = 1. 由乘法运算规则 (0, 1)2 + 1 = (0, 1)2 + (1, 0) = 0，故 C 中元素 (0, 1) 满足 x2 + 1 = 0，或 x2 = −1，它 是 −1 的平方根. 如将它记成 √−1(或 i)，则 C 就由 a + b√−1(或 a + bi) 组成，即 C = {a + b√−1|a ∈ R}.
域的例子
例 数域是域.
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域的例子
例
数域是域.
高等代数中讲过复数域
C，实数域
R，有理数域ຫໍສະໝຸດ Q，及√ Q( 2)
=
{a
+
√ b2
|
a,
b
∈
Q}，这些都是数域.
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的式子，其中 ai, bi ∈ P，且分母不为零多项式，在通常分式运算下 成为一个域，称为 P 上的有理分式域，记为 P(x).
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复数域的构造
在实数域 R 上负数是没有平方根的，即 x2 + a = 0，a 是正实数，
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复数域的性质
(ii) C 的乘法单位元是 (1, 0) = 1. 由乘法运算规则 (0, 1)2 + 1 = (0, 1)2 + (1, 0) = 0，故 C 中元素 (0, 1) 满足 x2 + 1 = 0，或 x2 = −1，它 是 −1 的平方根. 如将它记成 √−1(或 i)，则 C 就由 a + b√−1(或 a + bi) 组成，即 C = {a + b√−1|a ∈ R}.
定义 设 F 是一个域. 若对任何正整数 m，都有 m1 ̸= 0，就称 F 是特 征为 0 的域；如 m 是使 m1 = 0 的最小的正整数，则称 F 是特 征为 m 的域，这时 m 必为素数.
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虚数. 历史上，虚数的支持者与反对者的斗争经历了 300 年. 到 19
世纪经过 Gauss 和 Hamilton 在平面的点集上严格定义了四则运算，
检验了运算规则才得到严格意义下的复数.
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复数域的性质
(ii) C 的乘法单位元是 (1, 0) = 1. 由乘法运算规则 (0, 1)2 + 1 = (0, 1)2 + (1, 0) = 0，故 C 中元素 (0, 1) 满足 x2 + 1 = 0，或 x2 = −1，它 是 −1 的平方根. 如将它记成 √−1(或 i)，则 C 就由 a + b√−1(或 a + bi) 组成，即 C = {a + b√−1|a ∈ R}.
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域的扩张
人们为了数学上、工程上或其它方面的一定的需要，主动扩充老的 运算系统（例如把实数域 R 扩充为复数域 C），甚至创造出新的运 算系统（比如 F2）. 由于与某些老的运算系统有共同的运算性质 （例如 F2 与数域），于是有一些共同的数学理论（例如 F2 上也有线 性方程组理论、矩阵理论、向量空间理论等）对新的运算系统（一 般域）成立，因而在新的运算系统中能应用这些理论. 这就是扩充 域或者造新域的好处与目的.
域的特征
数域的特征为 0，而 F2 的特征为 2. 若 F 是一个有限个元的域，可 证它的特征是某个素数. 这只要证有某个正整数 m，使 m1 = 0. 考 察 1, 2 · 1, 3 · 1, · · · , n · 1, · · · 它们都是 1 的倍数，都属于 F. 因 F 中 仅有有限个元，上述倍数中必有两个是相同的. 设 k1 = l1，且 k > l， 于是 (k − l)1 = 0，而 k − l 是正整数. 故 F 以某个素数为特征.
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域的特征
F2 与任意数域 P 有一重要的区别是：在 F2 中有 1 + 1 = 0，而数 域 P 中对任意正整数 n，n1 = 1 + 1 + · · · + 1 ̸= 0. 对任意域 F，设 m 是使 m1 = 0 的最小正整数，因 1 ̸= 0，故 m > 1. 我们来证明 m 必为素数. 用反证法，若 m = m1m2, m1, m2 是两个比 m 小的正整 数，于是 m1 = (m11)(m21) = 0，由于域 F 中没有零因子，故必须 m11 = 0 或 m21 = 0，这都与 m 的最小性矛盾，故 m 为素数.
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域的特征
F2 与任意数域 P 有一重要的区别是：在 F2 中有 1 + 1 = 0，而数 域 P 中对任意正整数 n，n1 = 1 + 1 + · · · + 1 ̸= 0. 对任意域 F，设 m 是使 m1 = 0 的最小正整数，因 1 ̸= 0，故 m > 1. 我们来证明 m 必为素数. 用反证法，若 m = m1m2, m1, m2 是两个比 m 小的正整 数，于是 m1 = (m11)(m21) = 0，由于域 F 中没有零因子，故必须 m11 = 0 或 m21 = 0，这都与 m 的最小性矛盾，故 m 为素数.
(iii) C 中任意含 R 的子域在 (i) 中规定的数量乘法下自然成为 C 的子空间 (域 R 上的). 因 C 是二 维的，若 K 不等于 C，则必 为 R. 故 C 中没有真子域 K 既含 R 又使 K 中有 −1 的平方根 √−1.
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(iii) C 中任意含 R 的子域在 (i) 中规定的数量乘法下自然成为 C 的子空间 (域 R 上的). 因 C 是二 维的，若 K 不等于 C，则必 为 R. 故 C 中没有真子域 K 既含 R 又使 K 中有 −1 的平方根 √−1.
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