教学情况记录表
还是代数式，都必须使二次根式有意义，即 a _ 0,b _ 0 .要防止出现 （_4） （一9）’丄4 .—9这样的错误.
（2）另外该性质并非局限于被开方数为两个因数，它可以推广到更多个，如
...abc = a ・b ・•. c （ a 亠 0, b 亠 0, c 亠 0）.
（3）如果一个二次根式的被开方数比较大，可以运用该性质将其分解为若干个， 再分别运用,a^|a 化简二次根式. 4、商的算术平方根的性质（例4）
商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术 （或a“b= .a" b ）（a_0,b 0）.可以简单地说：商的 算术平方根等于算术平方根的商•
注意：（1）在运用商的算术平方根的性质解决有关计算时， 一定要准确把握性质 成立的条件，即被开方数的分子为非负数，而分母大于
0.
5、最简二次根式（例5）
定义：一般地，如果一个二次根式满足下面两个条件，那么, 根式叫做最简二次根式
（1）被开方数的因数是整数，因式是整式； ⑵被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
如3^6,415，凶^,凶2都是最简二次根式.要注意分母中不能含有根号，如
不
4
2
V 2
是最简二次根式.
把二次根式化为最简二次根式时，当被开方数为小数或分数时，可运用商的算术 平方根的性质变形，使被开方数化为整数；当被开方数为整数时，可以把它分解 因数，再运用积的算术平方根的性质变形，化为最简二次根式 . &二次根式的乘法和除法（例 6）
（2）如果被开方数是带分数，应先化成假分
数，如
2：必须先化成］4，注意
；如果被开方数是小数，应先化成分数，如
0.5必须先化成;
平方根的商，即 我们把这样的二次
(i)把积的算术平方根的性质..a5「a・ b(a_o,b_o)反过来写为
「a • b = ...a ・b(a _0,b 一0)，则为二次根式的乘法法则，即二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变•
二次根式的乘法法则可推广到多个二次根式进行相乘的运算，如
•a • b • c = ；abc(a _0, b _0,c _0).二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即系数之积作为积的系数，被开方数之积作为被开方数
(2)把商的算术平方根的性质亠「b)(a _0,b 0).反过来
写为；一：(或、a「b「a")(a_0, b 0)，则为二次根式的除法法则，即
二次根式相除，就是把被开方数相除，根指数不变•
注意：二次根式的乘、除法法则和积的算术平方根、商的算术平方根的性质互为逆运算，在计算和化简二次根式时可结合题目灵活运用，但始终要注意法则与性质成立的条件•
7、分母有理化(例7)
定义：把分母中的二次根式化去，叫做分母有理化•例如
注意：(1)有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，
那么这两个代数式互为有理化因式.
(2) 分母有理化的依据：分式的基本性质.
(3) 分母有理化的方法：将分子和分母都乘分母的有理化因式，化去分母中的二次根式•
(4) 分母有理化因式不唯一，但以运算最简便为宜，如.a(a 0)的有理化因式
8、二次根式的合并(例8)
合并被开方数相同的二次根式，把系数相加减，根指数和被开方数不变•方法与整式加减运算中的合并同类项类似，例如3^3 -2丿3 +丄『3 = (3-2+丄)
2 2 2 二次根式的系数是带分数的要化成假分数的形式.
9、二次根式的加减法(例9)
二次根式的加减法法则：二次根式的加减运算，就是将被开方数相同的项进行合并。
为此，首先应将每个二次根式化为最简二次根式，然后将被开方数相同的最简二次根式的项进行合并•可简单地概括为：先化简，后合并•
（1）二次根式的加减实际上就是合并被开方数相同的二次根式，因此在进行二次根式加减时，能否准确化简二次根式是关键•化成最简二次根式后，被开方数不同的二次根式不能合并，如，2 • J3就是最简结果，不能再合并.
（2）二次根式的加法也满足加法交换律和结合律.
10、二次根式的混合运算
（1）运算顺序：与数、整式和分式的混合运算一样，二次根式的混合运算，也应先算乘除，后算加减；有括号时，先算括号内的.
（2）二次根式混合运算的结果应写为最简形式，这个形式可以是最简二次根式，也可以是几个非同类最简二次根式的和或差.
（3）在运算过程中，每个二次根式都可以看成是一个单项式”因此实数运算中的运算律（结合律、交换律、分配律等）和所有的乘法公式（平方差公式、完
全平方公式等）在二次根式的运算中仍然适用•
三、例题讲解
1、下列各式中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？
（1）-5 ；（2）x2 1 ；（3）9 （4）364
2、化简：（1）（J2）2；（2）（一加'3）2；（3）V（一7）2；（4）—（（一£）2
(1) 3,2 (-2. 2) ^2 ；
(2) 2ajab-bJOB+b yO5
2
10、( 1) ( ( 80 、40)亠 5
(2) (5.3 2 5)2
四、中考链接
_ ____ 2
1、若实数a,b 满足|a +2|+J 匸4=0，则 _______________
2、计算近强= _______________
3、计算（吕手—
4、 计算 3(6 汉 J 2 +2 J 3 = _______
5、 计算：V27
=
2
6、 8-3 ；
2= -----------------
7、 (1)斗+(1 +(3)(1 _7§)_V12 = __________
2
8、先化简，再求值：x - y ，其中x=1 2.3,y=1-2J3 x-y x - y
(1) 3、48
1
.3 3J2 ；
⑵3 4。
-72
厂
10
9、计算：(1) ,2 (、.8 - .10) (2) ( .24 50)【2
rr
（2） J48 -勇—占工 + J 24
9、（岳阳）下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）
10、如果，x • x -6 =（ x （x -6），那么（）
A . x > 0
B . x >6
C . 0< x < 6
D . x 为一切实数
11、（湖南长沙）小明的作业本上有以下四题： ① J16a 4 =4a 2 ; ② J5a 汇 J10a = ; ③ a j 」=（a 2 •丄=Ja ;
④13a - .2a = , a 。
做错的题是（）
A .①
B .②
C .③
D .④ 12、 化简J 1+1的结果为（）
、5 6 A .
11
B . 30 330
C .
330
D . 30 11
30
30
13、 （青海）若最简二次根式a 与4-2a 的被开方数相同，则a 的值为（）
3
4
A . a =
B . a
C . a=1
D . a= — 1
4
3
14、
（江西）化简、8 -、2（厂2 2）得（）
8、计算
: (1)
A . —2
B . 、2_2
C . 2
D . 4-2 - 2。