数列求和的七种基本方法甘志国部分内容(已发表于数理天地(高中)，2014(11) : 14-15)数列求和是数列问题中的基本题型，但具有复杂多变、综合性强、解法灵活等特点，本文将通过例题(这些例题涵盖了2014年高考卷中的数列求和大题)简单介绍数列求和的七种基本方法.1运用公式法很多数列的前n项和S n的求法，就是套等差、等比数列S n的公式，因此以下常用公式应当熟记:L 1123n n(n21) 135L(2n1) n2 1222L2n1 2n1111L 11122232n2还要记住一些正整数的幕和公式：2 2 2 2 11 2 3 n n(n 1)( 2n 1)6小3 小3 3 1 2 “八21 2 3 n n (n 1)4例1已知数列｛a n｝的前n项和S n32n n2，求数列｛a n｝的前n项和T n.(1) 所以2由S n 32n n ,可得a n16 时,T n=S n17时，T nT n求S n 133 2n, a n 0 16，所以:32na1(a1S]62S162n32n2na2a2(S nS n32nn232n2 (n 1)a na®S6)5125123 (n 2)(ai7 a18 a n)(n(n1,2,L17,且n N ),16)k(n 1 k) k(n 1) k2，本题即求数列｛a/的前n项和.解设a kS n (12 3 n)(n 1) (1222 32 n 2)11n(n 1) (n 1) n(n 1)(2n 1) 2 6 1：n(n 1)(n 2) 6答案：S n n 2.答案：S n n 3n .(1)求 a n ； ⑵设b h log 3a n ，求数列｛bj 的前n 项和S n .答案：（1）2n 1n na n 3； (2) S n2. 咼考题4 （2014年高考重庆卷文科第 16题）已知a n 是首项为1,公差为2的等差数列，S n 表示a n 的前n 项和.(1)求 a n 及 S n ；2（2）设b n 是首项为2的等比数列，公比 q 满足q @4 1）q S 4 0，求b n 的通 项公式及其前n 项和T n .答案：（1） a n 2n 1,S n n 2； （2） b n 22n1,T n 2（4n 1）.32倒序相加法事实上，等差数列的前 n 项和S n 的公式推导方法就是倒序相加法•例3 求正整数 m 与n （m n ）之间的分母为3的所有既约分数的和 S . 解显然，这些既约分数为：1 24 4 2 1 m ,m ,m , ,n ,n ,n 33 3 3 33高考题1 （2014年高考浙江卷文科第19题（部分））求数列2n 1的前n 项和S n .高考题2 （2014年高考四川卷理科第19题（部分））求数列2n 4的前n 项和S n .咼考题3（2014年咼考福建卷文科第 17题）在等比数列｛a n ｝中，a 2 3,a 5 81.3裂项相消法a 1 10， a 2为整数，且5 S 4. (1)求｛a n ｝的通项公式；有12442S (m 3)(m 3)(m3 (n3)(n(n也有S (n2(n才4(n3)4(m 3)(m 1) (m所以2S (mn) 2(n m) 2(n 2 2m ),S 2nm2例4设f (x)4x 4x，求和2120022 f3 L f 20012002 2002 2002解可先证得f (x)f(1 x) 1，由此结论用倒序相加法可求得答案为2001 2 例5若｛a n ｝是各项均不为0的等差数列,1 11n求证：a 〔a 2 a ?a 3a n a n 1a 1a n 1证明 设等差数列 ｛a n ｝的公差为d :1 1和―a 〔 a ? a ? a 3a n a n 11 1 1 1 1 1 1— (- ) (- ) ( d a 1 a 2 a 2 a 3 a n a n1 1 11 ndnd a 1a n 1da 1 a n 1a 1 a n 11 T T 12 12L1—2(nN 且n 2)1 23n证明1121-2n1 (n 1) n高考题5(2014年高考全国大纲卷理科第18题)等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，已知要证结论显然成立; 0,得若 d1 11证明-)1 a na n 1a n a n 122 2⑵设b n ，求数列｛b n ｝的前n 项和T n . a n a n 1答案：⑴a n 13 3n ；⑵S n10(10 3n)高考题6 (2014年高考广东卷文科第 19题)设各项均为正数的数列 a n 的前n 项和为S n ，且 S n 满足 S ；n 2 n 3 6 3n 2 0,n N • (1)求a i 的值; ⑵求数列a n 的通项公式; (3)证明：对一切正整数 n ,有 答案： (1) a 1 2；ag 1) a2@ 1) 1a n (a n 1) ⑵a n 2n ； (3)当 n 1时， 可得欲证成立.当n 2时， 1 a n (a n 1)1 2n (2 n 1) (2n 1)(2 n 1) 2n 1 2n 1 1 1 ，再用裂项相消法可得欲高考题 7 (2014年高考山东卷理科第 19题)已知等差数列｛a n ｝的公差为2，前n 项和 为& ,且S 1，S 2，S 4成等比数列.(1) 求数列｛a n ｝的通项公式; ⑵令b n =( 1)n1^J,求数列｛b n ｝的前n 项和人. a n an 1 答案：(1) a n2n ，T n 2n 22n 1 2n2n 1 n 为奇数n 为偶数 4分组求和法 例9求S n解设a n，得 a n所以本题即求数列2 丄 的前n 项和:2的前n 项和T n .a 12解在S na n 1中，令n 1可求得a 11 .2还可得4S n2(a n 1),4S n 1(a n 11)2相减，得4a n 12 2a n 1a n2a n 12a n(a n 1a n )(a n 1 an2) 0a n 1 a na n 2n 1当n 为奇数时，T n T n1 b n 虫」『(用以上结论) 2 2总之，T n ( 1广P 卫. 2(1) 求数列a n 和b n 的通项公式;⑵求数列b n 的前n 项和.S n 2 n 1 - - L2 42n a n2n 22n例10设数列｛a n ｝的前n 项和S n 满足S na n，又b n(1)n S n ，求数列｛b n ｝所以｛a n ｝是首项为 1公差为2的等差数列，得所以S na n 122n 2,b n(1)n当n 为偶数时，T n ( 1222) ( 32 42)[(n 1)2 n 2] 3 7 11(2n 1)n(n 1)2高考题8(2014年高考北京卷文科第15题)已知a n 是等差数列，满足 a 1 3，a 4 12，数列b n 满足bi 4，b 4 20，且b n a n 是等比数列3答案：⑴a n=3n,d=3n 2n 1；(2) n(n 1) 2n 1.2高考题9 (2014年高考山东卷文科第19题)在等差数列｛a n｝中，已知公差d 2 , a2是a1与a4的等比中项•(1) 求数列｛a n｝的通项公式；⑵设b n an(n 1)，记T n2bi b2 b3b4 …(1)n b n ,求Tn . (n 1)2n为奇数答案：⑴a n 2n , T n2n(n 1)2n为偶数咼考题10(2014年高考浙江卷理科第19题(部分))求数列2n-1-的前n项n(n 1)和S n.答案：2n1—2.n 15错位相减法高考题11 (2014年高考江西卷理科第17题)已知首项都是1的两个数列a n , b n (b n 0, n M)满足a n b n 1 a n 1b n 2b n 1b n 0.a“(1)令C n —，求数列C n的通项公式；b n(2)若b n3n 1，求数列a n的前n项和S n.解(1) c n2n 1.⑵得a n b n C n (2n1)3n1.先写出S n的勺表达式:S n 11331 5 32733(2n1) 3n1①把此式两边都乘以公比3, 得3S n1 31332 5 33(2n3)3n1(2n1)3n②①-②，得2S n 1231 2 32 2 3323n 1(2n1)3n③2S n(2 302312 32 23323n 1)(2n1)3n 1④由等比数列的前n项和公式，得2S n3n 1 (2n 1) 3n 12S n3n 1 (2n 1) 3n 1 (2n 2) 3n 2 ⑤S n (n 1) 3n1因为此解答确实步骤多，且有三步容易出错：（1）等式③右边前n项的符号都是“ +”，但最后一项是“一”；（2）当等式③右边的前n项不组成等比数列时，须把第一项作微调，变成等比数列（即等式④），这增加了难度；（3）等式⑤中最后一步的变形（即合并）有难度•但这种方法（即错位相减法）又是基本方法且程序法，所以备受命题专家的青睐，在高考试卷中频频出现就不足为怪了•考生在复习备考中，应彻底弄清、完全掌握，争取拿到满分这里笔者再给出一个小技巧一一检验：算得了S n的表达式后，一定要抽出万忙的时间检验一下确，一般来说就可以确定算对了，否则就算错了，需要检查或重算•1S 1 1 1,S2 S1 3 3 10，所以求出的答案正确2a2,a4是方程x 5x 6 0的根.（1）求a n的通项公式;⑵求数列色的前n项和•2n1答案：(1) a n— n 1.2a1 1, na n 1(n1)a n n(n 1),n N*.（1）证明：数列O n.是等差数列；n⑵设b n3n \ a n，求数列｛b n｝的前n项和S n答案：⑴略•S, 5是否正确，若它们均正（重点是检查容易出错的三点对于本题，已经算出了S n (n 1) 3n1，所以S1 1,S2 10.而由通项公式可知高考题12 （2014年高考课标全国卷I文科第17题）已知a n是递增的等差数列,（2）用错位相减法可求得答案为2n1高考题13(2014 年高考安徽卷文科第18题）数列｛a n｝满足62，点@8,4^)在函数f (x)的图象上，求数列｛a n｝的前n项和S n ；1，函数f (x)的图象在点(a2，d)处的切线在x轴上的截距为2 1，求数In 2an的前n项和T n.b n⑵由(1)可求得a n n2，所以b n 3n n，再用错位相减法可求得高考题14 (2014年高考四川卷文科第19题)设等差数列｛a n｝的公差为d，点(a n , b n )在函数f(x) 2x的图象上(n N*).(1) 证明：数列｛b n｝为等比数列;⑵若印1，函数f (x)的图象在点(a2,d)处的切线在x轴上的截距为2—，求数ln 2列何嶄｝的前n项和S n.答案：(1)略.⑵可求得a n n,b n 2n，所以a n b；n 4n，再用错位相减法可求得n 1& (3n 1) 4 4高考题15 (2014年高考四川卷理科第19题)设等差数列｛a n｝的公差为d，点(a n,b n)在函数f (x)x2的图象上(n N*).答案：(1) Sn= n23n.T n⑵可求得a na nn,bn2n，所以b n歹，再用错位相减法可求得答案为n 22〒待定系数法例11数列｛(2n 1)3n｝的前n项和S n解设等差数列｛a m｝的公差为d，等比数列｛b m｝的公比为q(q 1)，得6七、求导法、积分法 例13（1）求证:m 1a mb m [a 1 (m 1)d] bq (m 1,2,L ,n)S n佝 d)q （印 2d)q 2 L［印(n1)d]q n qS n bi{ag⑻ d)q 2 L [a 1 (n 2)d]q'(1 q)S n bg dq dq 2 1 L dq n 1[a 1 (n 1)d]q n }d{(d dqdq 2 L dq n 1) ［印(n 1)d]q n= b db1.dq n [a 1 (n 1)d ]q n a 1 d1 qq1 cdn a ddna 1 d1 1qbq等比数列（其公比q1），且a i ,d 均是与n 无关的常数,则数列｛a m b m ｝的前n 项和S n （an b ）q nb ，其中 a,b 是与n 无关的常数•由此结论就可以用待定系数法快速求解本题: 可设S n(an b) 3n b (其中a,b 是常数).可得S 3,S 23 27 30，所以3(a b) 9(2a b)b 3，解得b 30a 3，所以b 3S n (n 1)3n 13.例12求和 S nnn 1n2+2 2+3 22+L +(n 1) 22 + n 2.+211 1 丄+3丄22+ L +n用待定系数法可求出该等式的右边为 1 ,所以S n2n 2 2n4.1)；⑵求证：1 2x3x 2nnx[(x⑶求数列（2n 1) 3n的前n 项和 S n （此即例6）.先用错位相减法求数列｛a m b m ｝的前n 项和S n :na i d} 所以有下面的结论成立: 若｛a m ｝,｛b m ｝分别是等差数列、d q 11} 1n[a 1 (n 1)d]q }解(1)当x 0时，显然成立•当x 0时，由等比数列的前 n 项和公式知，欲证结论也成立.(2) 视(1)的结论为两个函数相等，两边求导后即得欲证成立 (3) (2n 1) 3n =6(n 3n 1) 3n .3n 1的前n 项和为(2n°3一1 ;又数列3n(2)对于整数n 3，求证:n1 n k 2n1 1Cnk 01 k n 1答案：(1)在已知等式两边对⑵(i) 在结论(1)中令xx 求导后移项可得欲证.1可证.n即 (1)k (k 2 k)Cn 0，再由结论(i)得结论(ii)成立.k 1(iii) 在已知等式两边在［0,1］上对x 积分后可得欲证(ii) 由已知等式两边对 x 求导后再求导，又令 x 1，得k(k 1)c k ( 1)k2由⑵的结论中令x 3，得数列前n 项和为33.所以数列(2n21) 3n的前n 项和为高考题16 的两边对(sin 2x) 2 S n 6 3宁(n 1) 23n 1 3(2008年高考江苏卷第23题)请先阅读：在等式 导，得(cos2x) (2cos x1) 4cosx (sinx)，化简后得等式sin2x (1)利用上题的想法 (或其他方法 )，试由等式(1 x)n整数n 2)证明：n ［(1x)n11]nk k 1 kC nx2cos2x 2cos x 1(x .由求导法则，2sin xcosx .C0 C ；x C 2x 2C ：x n (xR,(i)n(1)k kC ：k 1(ii)n(1)k k 2Cnk 1(iii)。