数列求和的常用方法（三课时）数列求和是数列的重要内容之一，也是高考数学的重点考查对象。

数列求和的基本思路是，抓通项，找规律，套方法。

下面介绍数列求和的几种常用方法：一、直接（或转化）由等差、等比数列的求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn3、 )1(211+==∑=n n k S nk n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n5、 213)]1(21[+==∑=n n k S nk n例1（07高考山东文18）设{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知37S =，且123334a a a ++，，构成等差数列．（1）求数列{}n a 的等差数列．（2）令31ln 12n n b a n +== ，，，，求数列{}n b 的前n 项和T ． 解：（1）由已知得1231327:(3)(4)3.2a a a a a a ++=⎧⎪⎨+++=⎪⎩，解得22a =．设数列{}n a 的公比为q ，由22a =，可得1322a a q q==，．又37S =，可知2227q q ++=，即22520q q -+=，解得12122q q ==，．由题意得12q q >∴=，．11a ∴=．故数列{}n a 的通项为12n n a -=．（2）由于31ln 12n n b a n +== ，，，，由（1）得3312n n a +=3ln 23ln 2n n b n ∴==， 又13ln 2n n n b b +-= {}n b ∴是等差数列． 12n n T b b b ∴=+++1()2(3ln 23ln 2)23(1)ln 2.2n n b b n n n +=+=+= 故3(1)ln 22n n n T +=．练习：设S n ＝1+2+3+…+n，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(21++=n n S n （利用常用公式）∴ 1)32()(++=n nS n S n f ＝64342++n n n＝n n 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当 88-n ，即n ＝8时，501)(max =n f二、错位相减法设数列{}n a 的等比数列，数列{}n b 是等差数列，则数列{}n n b a 的前n 项和n S 求解，均可用错位相减法。

例2（07高考天津理21）在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*+==++-∈N ，，其中0λ>． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（Ⅰ）解：由11(2)2()n n n n a a n λλλ+*+=++-∈N ，0λ>，可得111221n nn n n na a λλλλ+++⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以2nn n a λλ⎧⎫⎪⎪⎛⎫-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭为等差数列，其公差为1，首项为0，故21n n n a n λλ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以数列{}n a 的通项公式为(1)2n n n a n λ=-+．（Ⅱ）解：设234123(2)(1)n n n T n n λλλλλ-=++++-+- ， ①345123(2)(1)n n n T n n λλλλλλ+=++++-+- ② 当1λ≠时，①式减去②式，得212311(1)(1)(1)1n n n n n T n n λλλλλλλλλ+++--=+++--=--- ， 21121222(1)(1)(1)1(1)n n n n n n n n T λλλλλλλλλ++++----+=-=---． 这时数列{}n a 的前n 项和21212(1)22(1)n n n n n n S λλλλ+++--+=+--． 当1λ=时，(1)2n n n T -=．这时数列{}n a 的前n 项和1(1)222n n n n S +-=+-． 例3（07高考全国Ⅱ文21）设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，5313a b +=（Ⅰ）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则依题意有0q >且4212211413d q d q ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩，，解得2d =，2q =．所以1(1)21n a n d n =+-=-，112n n n b q --==．（Ⅱ）1212n n n a n b --=．122135232112222n n n n n S ----=+++++ ，①3252321223222n n n n n S ----=+++++ ，②②－①得22122221222222n n n n S ---=+++++- ，221111212212222n n n ---⎛⎫=+⨯++++- ⎪⎝⎭1111212221212n n n ----=+⨯--12362n n -+=-．三、逆序相加法把数列正着写和倒着写再相加（即等差数列求和公式的推导过程的推广）例4（07豫南五市二联理22.）设函数222)(+=x xx f 的图象上有两点P 1(x 1, y 1)、P 2(x 2, y 2)，若)(2121OP OP +=,且点P 的横坐标为21.（I ）求证：P 点的纵坐标为定值，并求出这个定值；（II ）若;求,),()3()2()1(*n n S N n nn f n f n f n f S ∈+⋯+++=（III ）略 （I ）∵)(2121OP OP +=,且点P 的横坐标为21. ∴P 是12P P的中点，且121x x+=((())1221122212112141222222222px xx x x x x x x y yy +++==+=+=++∴=由（I ）知，121x x+=()()()121,12f f f x x +==-且()()12111212n n n n f f f f n n n n n n f f f f n n n n S S -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭又，（1）+（2）得：()()()11221211211113n n n n n f f f f f f f f n n n n n n f n S S ⎡-⎤⎡-⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦=++++=+-∴=四、裂项求和法这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如： （1）111)1(1+-=+=n n n n a n （2）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n（3）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n 等。

例5 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和. 解：设n n n n a n -+=++=111（裂项） 则 11321211+++⋅⋅⋅++++=n n S n （裂项求和）＝)1()23()12(n n -++⋅⋅⋅+-+- ＝11-+n例6（06高考湖北卷理17）已知二次函数()y f x =的图像经过坐标原点，其导函数为'()62f x x =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上。

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设11n n n b a a +=，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m T <对所有n N *∈都成立的最小正整数m ；解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax 2+bx (a ≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x －2,得 a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x 2－2x.又因为点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上，所以n S ＝3n 2－2n.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝（3n 2－2n ）－[])1(2)132---n n （＝6n －5.当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2＝6×1－5，所以，a n ＝6n －5 （n N *∈） （Ⅱ）由（Ⅰ）得知13+=n n n a a b ＝[]5)1(6)56(3---n n ＝)161561(21+--n n ，故T n ＝∑=ni i b 1＝21⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--++-+-)161561(...)13171()711(n n ＝21（1－161+n ）. 因此，要使21（1－161+n ）<20m （n N *∈）成立的m,必须且仅须满足21≤20m，即m ≥10，所以满足要求的最小正整数m 为10.评析：一般地，若数列{}n a 为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，则求和：∑=+ni i i a a 111首先考虑=∑=+ni i i a a 111∑=+-n i i i a a d 11)11(1则∑=+n i i i a a 111=1111)11(1++=-n n a a n a a d 。

下列求和：∑=++ni i i a a 111也可用裂项求和法。

五、分组求和法所谓分组法求和就是：对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。

例7数列{a n }的前n 项和12-=n n a S ，数列{b n }满)(,311*+∈+==N n b a b b n n n . （Ⅰ）证明数列{a n }为等比数列；（Ⅱ）求数列{b n }的前n 项和T n 。

解析：（Ⅰ）由12,,1211-=∴∈-=++*n n n n a S N n a S ，两式相减得：,2211n n n a a a -=++01.,211≠=∈=∴*+n n n a a N n a a 知同，,21=∴+nn a a 同定义知}{n a 是首项为1，公比为2的等比数列. （Ⅱ）,22,211111-+-+-=-+==n n n n n n n n b b b b a ,2,2,2234123012=-=-=-b b b b b b,221--=-n n n b b 等式左、右两边分别相加得： ,222121322211211+=--+=++++=---n n n n b bn T n n n 2)2222()22()22()22()22(12101210+++++=++++++++=∴--=.12222121-+=+--n n n n例8求2222121234(1)n S n -=-+-++- （n N +∈） 解：⑴ 当n 为偶数时，222222(1)(12)(34)[(1)](12)2n n S n n n +=-+-++--=-+++=-； ⑵ 当n 为奇数时，2222222222(1)1(12)(34)[(2)(1)][12(1)]()22n n S n n n n n n n n -=-+-++---+=-+++-+=-+=+ 综上所述，11(1)(1)2n S n n +=-+．点评：分组求和即将不能直接求和的数列分解成若干个可以求和的数列,分别求和.六、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n 项和，是一个重要的方法.例9 求11111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++之和. 解：由于)110(91999991111111-=⋅⋅⋅⨯=⋅⋅⋅kk k个个 （找通项及特征） ∴11111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++ ＝)110(91)110(91)110(91)110(91321-+⋅⋅⋅+-+-+-n （分组求和） ＝)1111(91)10101010(911321 个n n+⋅⋅⋅+++-+⋅⋅⋅+++ ＝9110)110(1091nn ---⋅＝)91010(8111n n --+ 例10 已知数列{a n }：∑∞=+-+++=11))(1(,)3)(1(8n n n n a a n n n a 求的值.解：∵ ])4)(2(1)3)(1(1)[1(8))(1(1++-+++=-++n n n n n a a n n n （找通项及特征） ＝])4)(3(1)4)(2(1[8+++++⋅n n n n （设制分组） ＝)4131(8)4121(4+-+++-+⋅n n n n （裂项）∴ ∑∑∑∞=∞=∞=++-+++-+=-+1111)4131(8)4121(4))(1(n n n n n n n n n a a n （分组、裂项求和）＝418)4131(4⋅++⋅＝313。