系，即 σx = Eεx 这就是虎克定律。 应力
（Hooke‘s Law）
Y
弹塑性范围
弹性范围
斜率, E
应变
工程上，一般将应变与应力间的关系表示为
xE 1xyz yE 1yzx
xy
1
G
xy
yz
1
G
yz
zE 1zxy
zx
1
G
zx
称它们为物理方程（广义虎克定律）。
x 1 E 1 1 2 x 1 y 1 z
1
0
对 1 0
称
1
2
对于平面应变问题的弹性矩阵，只须在上式
中，以 E
1 2
代E，
1
代μ即可。
小结
则有
uu vv ww (在 u 上)
用矩阵形式表示为：
uu (在 u 上)
小结
弹性力学基本方程的一般形式为
回顾
平衡微分方程 σb0 (在 内)
几何方程 物理方程
ε tu σDε
(在 内) (在 内)
边界条件
nσt
(在 t 上)
uu
(在 u 上)
其中 t u ， 为弹性体的完整边界。
§2-3 平面应变和平面应力问题
平面应变问题
位移：按平面应变的定义，三个方向的位移函数是
uux,y vv(x,y) w0
应变：由几何方程应变-位移关系，得
x
u x
1x,
y,
y
v y
3x,
y,
xy yz
u y
v x
2x,
v w0 z y
y
z
w0, z
zx
u z
w0 x
不等于零的三个应变分量是εx、εy和γxy，而且应变仅发
由于认为板内 zx 0 zy 0 ，将其代入物理方程
yz
1
G
yz
zx
1
G
zx，则有
yz 0
zx 0
于是，物理方程的另外三式成为
x
1 E
( x
y )
y
1 E
( y
x )
xy
1
G
xy
21
E
μ
τxy
如果用应变分量来表示应力分量，上面三式变为
x
E
12
(x
y)
y
E
12
(x
y )
研究的基本技巧
采用微小体积元dxdydz 的分析方法（针对任意 变形体）
dz
dy
dx
弹性体的基本假设
回顾
为突出所处理的问题的实质，并使问题简单化和抽 象化，在弹性力学中，特提出以下几个基本假定。
(1) 物质连续性假定：物质无空隙，可用连续函数来描述； (2) 物质均匀性假定：物体内各个位置的物质具有相同特性； (3) 物质(力学)特性各向同性假定：物体内同一位置的物质在
y
y
o z
y
o z
y
o
x
o
x
平面应变问题
还有一种情况，当构件的纵向尺寸不很大 但两端面被刚性光滑面固定，不能发生纵向位 移时，若其他条件与上面所述相同，也属于平 面应变问题。 通常，只要是长的等直柱体或板，受到垂直于 其纵轴而且沿长度方向无变化的载荷作用时， 都可以简化为平面应变问题。下面是这种情况 下的应力、应变以及弹性力学的基本方程式。
X Y
nxx nyxy nxyx nyy
nnzzyxzz
Z
nxzx
nyzy
nzz
其矩阵表达式为
t nσ
(在 t 上)
其中，面积力向量 t[XYZ]T，方向余弦矩阵为
nn0x
0 ny
0 ny 0 nx
0 nz
n0z
0 0 nz 0 ny nx
5. 位移边界条件
回顾
已知位移 u 边界上弹性体的位移为 u、 v、 w，
可写成矩阵形式
D
其中
1
1
1
对
D
E1 1 1 2
1
0
1
0
1 0
1 2
21
称
0
0
00 0 00 0
1 2
21
0
1 2
21
称为弹性矩阵，由弹性常数E和 μ决定。
4. 应力边界条件
回顾
弹性体在应力边界 t 上单位面积的面力为X 、Y 、Z 。设
边界外法线的方向余弦为 nx、ny、nz ，则边界上弹性体 的应力边界条件可表示为
回顾
σb0
其中，是微分算子
x
0
0
y
0 0
y x
0
z
z
0
0
0
0
z
y x
式中，b是体积力向量，b[XYZ]T
二维问题：平衡微分方程
x yxX0
x y
xyy Y0
x y
回顾
2.几何方程：位移-应变的关系 回 顾
B1 θ2
θ1 A1
2.几何方程：位移-应变的关系 回 顾 六个应变分量与三个位移分量间的全部关系式：
yx
xy
yx
d’
a’
1.平衡微分方程
回顾
由力平衡条件 X0 有
xxxdxdy dzxdy dzyx yyxdydx dyzxdxd
zx zzxdzdx dzyxdx dXydxd 0ydz
化简得到
xyxzxX0
x y z
Y0
xyy zyY0
x y z
Z0
xzyzz Z0
x y z
平衡微分方程的矩阵形式为
三个。
平面应力问题
对于具有如下特征的构件，可作为平面应力 问题处理。
(1)物体沿一个坐标方向的尺寸(如沿z轴方向)远小 于沿其它两个方向的尺寸，如图所示的等厚度薄板；
(2)外力作用在周边上，并与xoy面平行，板的侧面 没有外力，体积力垂直于z轴；
(3)由于板的厚度很小，故外载荷面积力和体积力 都可看作是沿z轴方向均匀分布，并且为常量。
得
x
1
E
1 x
y
y
1
E
1 y
x
xy
1 G
x
y
21
E
xy
平面应变问题
应力：如果用应变分量来表示应力分量，则有
x
E(1) (1)(12)
x
1y
y
E(1) (1)(12)
1x
y
xy
E
2(1)
xy
E(1) (1)(12)
12 2(1)
xy
由上面的分析可知，独立的应力分量只有 σx、σy 和xy
y 1 E 1 1 2 1 x y 1 z
z 1 E 1 1 2 1 x 1 y z
xy 21Exy yz 21Eyz zx 21Ezx
若令
T x y z xy yzzx
T x y z xy yz zx
代表应变列阵和应力列阵，则应力-应变关系
体积力沿板厚不变，且沿z轴方向的分力Z=0。在板 的前后表面上没有外力作用。即
zh 时
2
z 0 zx 0
y
zy 0
y
hh
2
2
o
x
oz
h
平面应力问题
在平面应力问题中，认为 z 等于零，但沿z轴的应 变不等于零。这与平面应变的情况刚好相反。
将 z 0 代入物理方程，zE 1zxy有
z E xy
各个方向上具有相同特性； (4) 线性弹性假定：物体的变形与外来作用力的关系是线性的，
外力去除后，物体可恢复原状； (5) 小变形假定：物体变形远小于物体的几何尺寸。
以上基本假定将作为问题简化的出发点。
§2-2 弹性力学基本方程
回顾
b’ a’
b
zx zx
xz
a
xy
c
zy zy
c’ yz yz
xz
d
xy
Gxy
E
2（1)
xy
E
12
12xy
平面应变和平面应力问题物理方程比较：
x
E
12
(x
y)
平面
y 1E2 (x y)
应力
xy
Gxy

2（1E)xy
E
12
12xy
x
E(1) (1)(12)
x
1y
平面
y
E(1) (1)(12)
1
x
y
应变
xy
2(1E)xy
E(1) (1)(12)
21(12)xy
平面应变问题
设一构件（如图），其 纵向（z）尺寸远大于 横向（x，y）尺寸，且 与纵轴垂直的各截面都 相同；受到垂直于纵轴 但不沿长度变化的外力（包括体积力X、Y， 同时有Z=0）的作用，而且约束条件也不沿 长度变化。
平面应变问题
这时，可以把构件在纵向作为无限长看待。因此， 任一横截面都可以视为对称面，其上各点就不会 产生沿z向的位移，而沿x、y方向的位移也与坐标 z无关。则有
(2) 与纵向(z轴)垂直的各横截面的尺寸和形状均相同； (3) 所有外力均与纵轴(z轴)垂直，并且沿纵轴(z轴)没
有变化； (4) 物体的约束(支承)条件不随z轴变化。
在工程和机械中，许多结构或构件属于这一类问
题。如直的堤坝和隧道；圆柱形长管受到内水
（油）压力作用；圆柱形长辊轴受到垂直于纵轴
的均匀压力等，均可近似的视为平面应变问题。
如果用 E 和 分别代换平面应力物理
1 2