x
0
0
y
0

z




0
y
0
x z
0

0
0

0




z
y x
式中，b是体积力向量，b [ X Y Z ]T
二维问题：平衡微分方程
x yx X 0
x y xy y Y 0 x y
各个方向上具有相同特性； (4) 线性弹性假定：物体的变形与外来作用力的关系是线性的，
外力去除后，物体可恢复原状； (5) 小变形假定：物体变形远小于物体的几何尺寸。
以上基本假定将作为问题简化的出发点。
§2-2 弹性力学基本方程
回顾
b’ a’
b
zx zx
xz
a
xy
c
zy zy
c’ yz yz
xz
d
yx
xy
yx
d’
a’
1.平衡微分方程
回顾
由力平衡条件 X 0 有


x

x
x
dx dydz
xdydz
yx


yx
y
dy dxdz yxdxdz




zx

zx
z
dz
dxdy


zx
dxdy

Xdxdydz

0 0
ny nx
0 nz
nz 0

0 0 nz 0 ny nx
5. 位移边界条件
回顾
已知位移 u 边界上弹性体的位移为 u、v、w ，
则有
u u v v w w (在 u 上)
用矩阵形式表示为：
u u (在 u 上)
小结
弹性力学基本方程的一般形式为
回顾
平衡微分方程 σ b 0
ε tu
其中 t 为微分算子 的转置
回顾


x
0
0
0


0
y

0
t



0

z


T
0
y x
0
z

y

z
0
x
3.物理方程：应力-应变的关系
由简单的轴向拉伸试验可知，在单向应力状
0


21
0


1 2

21
称为弹性矩阵，由弹性常数E和 μ决定。
4. 应力边界条件
回顾
弹性体在应力边界 t 上单位面积的面力为X 、Y 、Z 。设 边界外法线的方向余弦为 nx、ny、nz ，则边界上弹性体 的应力边界条件可表示为

x
y
1
z

z

1
E1 1

2

1
x

1


y
z

xy

E
21

xy

yz

E
21

yz
zx

E
21
zx
若令
x
y
z
xy
yz
T zx
(在 内)
几何方程 物理方程
ε tu σ Dε
(在 内) (在 内)
边界条件
nσ t
(在 t 上)
uu
(在 u 上)
其中 t u ， 为弹性体的完整边界。
§2-3 平面应变和平面应力问题
任何构件都占有三维空间，在载荷或温 度变化等的作用下，物体内产生的应力、 应变和位移必然是三向的。一般说来， 它们都是三个坐标x、y、z的函数。这样 的问题称为弹性力学空间问题。
§2-1 弹性力学基本概念
回顾
位移 应变 应力
物体变形后的形状 物体的变形程度 物体的受力状态
弹 性 模量量
物体的材料性能
因此，在材料确定的情况下，基本的力学变量应该有：
位移（u）、应变（ε）、应力（σ）
回顾
弹性力学目的：对弹性体中的位移、应力、应变进行 定义和表达，进而建立平衡方程、几何方程和材料物 理方程
x
y
z
xy
yz
T zx
代表应变列阵和应力列阵，则应力-应变关系
可写成矩阵形式
D
其中
1

1
1
对

D

1
E1 1

2

1

0
1
0
1 0
1 2
21
称
回顾
2.几何方程：位移-应变的关系 回 顾
B1 θ2
θ1 A1
2.几何方程：位移-应变的关系 回 顾 六个应变分量与三个位移分量间的全部关系式：
x

u x
y

v y
z

w z
xy

v x

u y

yz

w y

v z
zx

u z

w x
几何方程式的矩阵形式为
0
化简得到
x yx zx X 0
x y z
Y 0
xy y zy Y 0
x y z
Z 0
xz yz z Z 0
x y z
平衡微分方程的矩阵形式为
回顾
σb 0
其中， 是微分算子
态下，处于弹性阶段时，应力应变呈线性关
系，即 σx = Eεx 这就是虎克定律。 应力
（Hooke‘s Law）
Y
弹塑性范围
弹性范围
斜率, E
应变
工程上，一般将应变与应力间的关系表示为
x

1 E
x

y
z
y

1 E
y
z
x
xy

1 G

xy
yz

1 G

y
z
z

1 E
z

x
y
zx

1 G

zx
称它们为物理方程（广义虎克定律）。
x

1
E1 1



2



x
1
y
1
z

y

1
E1 1

2


1

X Y
nx x ny xy nx yx ny y

nz nz
xz yz

Z
nx zx
ny zy
nz z

其矩阵表达式为
t nσ
(在 t 上)
其中，面积力向量 t [ X Y Z ]T ，方向余弦矩阵为
n n0x
0 ny
研究的基本技巧
采用微小体积元dxdydz 的分析方法（针对任意 变形体）
dz
dy
dx
弹性体的基本假设
回顾
为突出所处理的问题的实质，并使问题简单化和抽 象化，在弹性力学中，特提出以下几个基本假定。
(1) 物质连续性假定：物质无空隙，可用连续函数来描述； (2) 物质均匀性假定：物体内各个位置的物质具有相同特性； (3) 物质(力学)特性各向同性假定：物体内同一位置的物质在