音速喷嘴公式推导
1. 气体热力学性质
在工程热力学中，常用的状态参数有六个，即压力p 、体积V 、温度T 、热力学能U 、比焓h 和比熵s .
其中,焓H 是一个组合状态参数
pV U H +=
单位质量物质的焓称为比焓h
m
H h =
熵是一个导出的状态参数,对简单可压缩均匀系,它可以由其它状态参数按下列关系式导出:
0T dV d S p U S ++=⎰
, T
V
p U S d d d +=
单位质量物质的熵称为比熵
d d s T v p u m S s ++=
⎰, T
v
p u m dS ds d d +== 比热容也是物质的重要热力性质之一,它的定义为单位质量的物质在无摩擦内平衡的特定过程中,作单位温度变化的时候所吸收或放出的热量.
气体的比热容,常用的有比定容热容(v c )和比定压热容(p c )
T
q T
q
c v
v v d )(
δδ=
∂=
T
q T
q
c p
p p d )(
δδ=
∂=
比定压热容与比定容热容的比值称为热容比,用γ表示
v
p c c =
γ
对于完全气体,以下等式成立:
RT p ρ=(R 为气体常数), γρc p =(c 为常数), R c p 1
-=
γγ
1
-=
γR
c v , T c h p = 由熵的定义可以看出,只要过程进行时,热力系向外界放出的热量始终等于热产,那么过程就是等熵的.但是,通常所说的定熵过程都是指无摩擦绝热过程. 绝热过程是指热力系在和外界无热量交换的情况下进行的过程. 2. 可压缩流体运动的三种参考状态
(1) 滞止状态
滞止状态,是指流体从某一状态经历一个等熵过程,使其最终流动速度为零时所达到的状态.对于静止流体,它所处的状态就是滞止状态;对于流动的流体,滞止状态可以看成是这样一种假想的无限大的容器中流体的“静止状态”，从这一状态等熵加速，最后流体恰好能达到该流动状态.
按滞止状态的定义,每个流动状态的滞止状态都是惟一确定的,因而,每个流动状态都有惟一的滞止压力、滞止温度、滞止密度、滞止焓等滞止参数. 滞止参数又称为总参数.
作为一种参考状态,滞止状态的概念是与流体实际流动中所发生的过程无关的,在实际流动过程中,沿流动途径可以有热量交换或存在摩擦力等,但沿实际流动的每个截面上,都存在上面定义的滞止状态,这样,滞止状态是每一截面上流动状态的函数,一般而言,滞止状态是沿流动方向变化的量,只有在流体作等熵流动时,滞止参数才是沿整个流动途径不变的量.
滞止状态对应的参数称为滞止参数,在参数相应表达字母的右下角用角标“0”表示,如滞止压力0P 、滞止温度0T 、滞止密度0ρ. （2）临界状态
可压缩流体在流动过程中，其压力、密度、温度和流速等参数都会沿流动方向发生变化.若在某一截面上,流体的流速与该截面上流体介质中的当地声速相等,则称该截面为临界截面,该截面所处的状态称为临界状态,临界状态的参数称为临界参数,用下角标“*”表示，如临界压力*P ，临界温度*T ，临界密度*ρ. (2) 极限速度状态
当可压缩流体作绝热流动时,如果存在一个截面,当流体达到该截面处时,它的比焓值降至0=h ,则流体的速度可达到最大极限值.此时的流速称为极限速度,流体所处的状态称作极限速度状态.极限速度m u 和滞止焓0h 之间有如下关系:
02
max 2
1h u = 或
02h u =.
（4）三种状态参数之间的关系 完全气体的声速公式为
RT a γ=
定义马赫数
RT
v a v M a γ==
即流体质点的运动速度与流体质点当地的声速之比。

流场中各点的气体参数不同，马赫数也不同.
一维定常绝能流动的能量方程为
2
22112
v h v h +=+
如果把气流速度1v 绝能的滞止到零,此时所对应的焓值1h 就称为滞止焓,用0h 表示,则
2
2
0v h h +=
对于完全气体还有T c h p =成立,代入上式,有
p
c v T T 22
0+= 其中0T 为滞止温度,T 为静温.
因为R c p 1
-=
γγ,而RT
v M a
γ2
2
=,代入上式,可得 2
02
11a M T T -+=γ (2.1) 同理可以得到其它滞止参数和静参数之间的关系
1
20211-⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+=γγ
γa M p p (2.2)
1
1
20211-⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+=γγρρa M (2.3)
在气体动力学中,有时候用气流速度与临界声速之比代替马赫数更为方便,这个比值λ称
为速度因数,即
*
=
v v λ 速度因数λ和马赫数a M 之间的关系为
2
)1(21a a
M M -++=γγλ 或 2
)1()1(2
λγγλ--+=a M 将上式代入(2.1)、（2.2）、（2.3）可以得到
2
01
11)(λγγλτ+--==
T T （2.4） 1
20111)(-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+--==γγ
λγγλπp p （2.5） 1
1
20111)(-⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+--==
γλγγρρλε （2.6）
3．一维定常等熵管流 假设:
(1) 流体密度ρ是变化的.
(2) 忽略流体的粘性作用.
(3) 流动是等熵过程.由于流动的高速度,流体流过速度起显著变化的区域所需时间很短,
加上气体传热能力很弱,因而可以认为流动过程是绝热的.这样,在流动参量连续变化的区域中,无粘性绝热的流动过程就是等熵过程.
(4) 忽略重力效应.在小范围空间内,气体的重力引起的压强变化可忽略.
管道内流动一般为二维问题.如果(1)管截面特征线尺度和特征长度相比很小;(2)管截面积A(x)沿轴向变化很小;(3)管道曲率很小,这种管流就可以近似看作一维流动,取流动参量在管截面上平均值作为该处值.
取图示微元控制体,由质量守恒定律、动量守恒定律和能量守恒定律可以得到
一维管流微元控制体
0)(d d
=ρvA x
（1） 0d d 1d d =+x
p x v v
ρ （2）
0)2
1(d d 2
=+h v x （3） 等熵方程和状态方程取平均后形式不变，仍为
0)(d d =γρ
p
x （4） T R p ρ= （5）
在一维定常等熵流动中，流量公式为Av q m ρ=.如果已知流场中某截面的气流密度ρ,截面积A 和该截面上的流速v ,可按上式确定通过此截面的流量m q ,而气体动力学中一般都是先给出气流的滞止参数(如用仪器测量出滞止参数,实验室音速喷嘴装置是用温变和压变测量出滞止容器中的温度和压力)和某截面的λ(或a M ),流量公式可以表示成气流滞止参数和λ的关系式.
A v v v
Av q m ***
*=
=ρρρρ (a)
式中
1
1
001
101212--*⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+=γγγγρρRT p (b)
1
20
+=
*γγRT v (c) 1
1
21
10011121)1()(--***⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛
+--
⎪⎭
⎫ ⎝⎛+====γγλγγλγλελελρρρρλρρv v (d)
对于给定的气体,式(d)右端是λ的函数,用)(λq 表示,则有
1
1
21
111121)(--**⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛
+--
⎪⎭
⎫
⎝⎛+==
γγλγγλγρρλv v q (6)
将式(b)、(c)、(d)和式（6）代入（a ）,可得
)()(12)
(12120
00
01
1
01
1λλγγλγγγγγγAq T p C q T A p R T A p q R q m *
-+-=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+=
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛++=
(7)
式中, 1
1
12-+*⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=
γγγγR C .
对于音速喷嘴来说,1=λ,1)(=λq 代人(7)式,得 ***
=
==
=C T Ap q C T Ap Aq T p C q m 0
00
00
0)1()(λλ (8)
由于存在摩擦,实际喷管的性能与按等熵流动关系式计算出来的会稍有不同,但是因为偏差很小,所以喷管设计时,一般先按等熵流动公式计算,然后由实验确定的系数——流量系数进行修正.
喷管的流量系数C 的定义为,实际喷管的流量与在同样进、出口参数条件下按等熵流动计算的流量之比
m
m
q q C '= （9）
由式（8），实际喷管的流量可以表示为
0T p ACC C T Ap C q m
**=
=' （11）。