万有引力与宇宙航行 知识点 开普勒行星运动定律 Ⅰ1．定律内容(1)开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是01椭圆，太阳处在椭圆的一个02焦点上。

(2)开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的03面积相等。

(3)开普勒第三定律：所有行星轨道的04半长轴的三次方跟它的05公转周期的二次方的比都相等，即06a 3T2＝k 。

2．适用条件：适用于宇宙中一切环绕同一中心天体的运动。

知识点 万有引力定律及应用 Ⅱ1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与01物体的质量m 1和m 2的乘积成正比，与02它们之间距离r 的二次方成反比。

2．公式：F ＝03G m 1m 2r 2，其中G 叫作引力常量，G ＝6.67×10－11 N·m 2/kg 2，其值由卡文迪什通过扭秤实验测得。

3．适用条件：适用于两个04质点或均匀球体；r 为两质点或均匀球体球心间的距离。

知识点 环绕速度 Ⅱ1017.9 km/s 。

2．02地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度。

3．03发射速度，04环绕速度。

4．第一宇宙速度的计算方法(1)由G mm 地R 2＝m v 2R ，解得：v ＝05Gm 地R ； (2)由mg ＝m v 2R ，解得：v ＝06gR 。

知识点 第二宇宙速度和第三宇宙速度 Ⅰ1．第二宇宙速度(脱离速度)使物体挣脱01地球引力束缚的最小发射速度，其数值为0211.2 km/s 。

2．第三宇宙速度(逃逸速度)使物体挣脱03太阳引力束缚的最小发射速度，其数值为0416.7 km/s 。

知识点 相对论时空观与牛顿力学的局限性 Ⅰ1．相对论时空观(1)爱因斯坦的两个假设：在不同的惯性参考系中，01相同的；真空中的光速在不同的惯性参考系中大小都是02相同的。

(2)同时的相对性：根据爱因斯坦的假设，如果两个事件在一个参考系中是同03不一定是同时的。

(3)爱因斯坦假设的结果①时间延缓效应如果相对于地面以v 运动的惯性参考系上的人观察到与其一起运动的物体完成某个动作的时间间隔为Δτ，地面上的人观察到该物体完成这个动作的时间间隔为Δt ，那么两者之间的关系是Δt 04Δτ1－⎝ ⎛⎭⎪⎫v c 2。

②长度收缩效应如果与杆相对静止的人测得杆长是l 0，沿着杆的方向，以v 相对杆运动的人测得杆长是l ，那么两者之间的关系是l 05l 01－⎝ ⎛⎭⎪⎫v c 2。

2．牛顿力学的成就与局限性(1)牛顿力学的成就牛顿力学的基础是06牛顿运动定律。

牛顿力学在07宏观、08低速的广阔领域里与实际相符，显示了牛顿运动定律的正确性和牛顿力学的魅力。

(2)牛顿力学的局限性①物体在以接近09光速运动时所遵从的规律，有些是与牛顿力学的结论并不相同的。

②电子、质子、中子等微观粒子不仅具有粒子性，同时还具有10波动性，它们的运动规律在很多情况下不能用牛顿力学来说明，而11量子力学能够很好地描述微观粒子运动的规律。

③基于实验检验的牛顿力学不会被新的科学成就所否定，而是作为某些条件下的12特殊情形，被包括在新的科学成就之中。

当物体的运动速度13远小于光速c 时，14相对论物理学与牛顿力学的结论没有区别；当另一个重要常数即普朗克常量h 可以忽略不计时，15量子力学和牛顿力学的结论没有区别。

相对论与量子力学都没有否定过去的科学，而只认为过去的科学是自己在16一定条件下的特殊情形。

一 堵点疏通1．只有天体之间才存在万有引力。

( )2．行星在椭圆轨道上的运行速率是变化的，离太阳越远，运行速率越小。

( )3．人造地球卫星绕地球运动，其轨道平面一定过地心。

( )4．地球同步卫星一定在赤道的正上方。

( )5．同步卫星的运行速度一定小于地球第一宇宙速度。

( )6．发射火星探测器的速度必须大于11.2 km/s 。

( )答案 1.× 2.√ 3.√ 4.√ 5.√ 6.√二 对点激活1．关于万有引力公式F ＝G m 1m 2r 2，以下说法中正确的是( )A．公式只适用于星球之间的引力计算，不适用于质量较小的物体B．当两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大C．两物体间的万有引力也遵从牛顿第三定律D．公式中引力常量G的值是牛顿规定的答案 C解析万有引力公式F＝G m1m2r2适用于质点或均匀球体间引力的计算，当两物体间距离趋近于0时，两个物体就不能看作质点，故F＝G m1m2r2已不再适用，所以不能说万有引力趋近于无穷大，故A、B错误；两物体间的万有引力也遵从牛顿第三定律，C正确；G的值是卡文迪什通过实验测得的，D错误。

2．(人教版必修第二册·P64·T4改编)火星的质量和半径分别约为地球的110和12，地球的第一宇宙速度为v，则火星的第一宇宙速度约为()A.55v B.5vC.2vD.2 2 v答案 A解析由GMmR2＝m v2R求得第一宇宙速度v＝GMR，故v火v＝M火M·RR火＝1 5，所以v火＝55v，故A正确。

3．地球的公转轨道接近圆，但彗星的运动轨道则是一个非常扁的椭圆。

天文学家哈雷曾经在1682年跟踪过一颗彗星，他算出这颗彗星轨道的半长轴约等于地球公转半径的18倍(如图所示)，并预言这颗彗星将每隔一定时间就会出现。

哈雷的预言得到证实，该彗星被命名为哈雷彗星。

哈雷彗星最近出现的时间是1986年，请你根据开普勒第三定律估算，它下次飞近地球大约将在哪一年？答案 2062年解析 设地球绕太阳公转的轨道半径为R 0，周期为T 0，哈雷彗星绕太阳公转的轨道半长轴为a ，周期为T ，根据开普勒第三定律a 3T 2＝k ，有a 3T 2＝R 30T 20，则哈雷彗星的公转周期T ＝a 3R 30T 0≈76.4年，所以它下次飞近地球大约将在1986年＋76.4年≈2062年。

4．一个质子由两个u 夸克和一个d 夸克组成。

一个夸克的质量是7.1×10－30 kg ，求两个夸克相距1.0×10－16 m 时的万有引力。

答案 3.36×10－37 N解析 两个夸克相距1.0×10－16 m 时的万有引力F ＝G m 1m 2r 2≈3.36×10－37 N 。

考点1 开普勒三定律的理解与应用1.微元法解读开普勒第二定律：行星在近日点、远日点时的速度方向与两点连线垂直，若行星在近日点、远日点到太阳的距离分别为a 、b ，取足够短的时间Δt ，则行星在Δt 时间内的运动可看作匀速直线运动，由S a ＝S b 知12v a ·Δt ·a ＝12v b ·Δt ·b ，可得v a ＝v b b a 。

行星到太阳的距离越大，行星的速率越小，反之越大。

2．行星绕太阳的运动通常按匀速圆周运动处理。

3．开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动。

4．开普勒第三定律a 3T 2＝k 中，k 值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k 值不同，故该定律只能用在同一中心天体的两星体之间。

例1(2017·全国卷Ⅱ)(多选)如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P 为近日点，Q 为远日点，M 、N 为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T 0。

若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经M、Q到N的运动过程中()A．从P到M所用的时间等于T0 4B．从Q到N阶段，机械能逐渐变大C．从P到Q阶段，速率逐渐变小D．从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功(1)从P到M与从M到Q的平均速率相等吗？提示：不相等。

(2)从Q到N除万有引力做功之外，还有其他力对海王星做功吗？提示：没有。

尝试解答选CD。

由开普勒第二定律可知，相等时间内，太阳与海王星连线扫过的面积都相等，A错误；由机械能守恒定律知，从Q到N阶段，除万有引力做功之外，没有其他的力对海王星做功，故机械能守恒，B错误；从P到Q阶段，万有引力做负功，动能转化成海王星的势能，所以动能减小，速率逐渐变小，C正确；从M到N阶段，万有引力与速度的夹角先是钝角后是锐角，即万有引力对它先做负功后做正功，D正确。

绕太阳沿椭圆轨道运行的行星在近日点线速度最大，越靠近近日点线速度越大，线速度大小与行星到太阳的距离成反比。

[变式1－1](2021·安徽省皖西南八校高三上联考)2020年是我国第一颗人造地球卫星“东方红一号”卫星成功发射50周年。

已知该卫星发射后先以近地点M点所在的圆为轨道做圆周运动，稳定后再变轨为如图所示的椭圆轨道。

下列说法正确的是()A．卫星在圆轨道上运动的周期小于在椭圆轨道上运动的周期B．卫星在椭圆轨道上运动时，在M点的线速度小于在N点的线速度C．卫星在变轨为椭圆轨道时需要减速D．卫星从M点运动到N点的过程中，地球对卫星的引力做正功，卫星的动能增大答案 A解析根据开普勒第三定律，卫星的轨道半长轴越大，周期越大，A正确；由开普勒第二定律得，卫星在近地点的速度大于在远地点的速度，B错误；卫星在M点由圆轨道变为椭圆轨道是离心运动，需要加速，C错误；卫星从M点运动到N点的过程中，远离地球，地球对卫星的引力做负功，卫星的动能减小，D 错误。

[变式1－2](2020·东北三省四市教研联合体高三下模拟)如图所示，已知地球半径为R，甲、乙两颗卫星绕地球运动。

卫星甲做匀速圆周运动，其轨道直径为4R，C是轨道上任意一点；卫星乙的轨道是椭圆，椭圆的长轴长为6R，A、B是轨道的近地点和远地点。

不计卫星间相互作用，下列说法正确的是()A．卫星甲在C点的速度一定小于卫星乙在B点的速度B．卫星甲的周期大于卫星乙的周期C．卫星甲在C点的速度一定小于卫星乙在A点的速度D．在任意相等的时间内，卫星甲与地心的连线扫过的面积一定等于卫星乙与地心的连线扫过的面积答案 C解析假设卫星乙以B点到地心的距离为轨道半径做匀速圆周运动，线速度大小为v B，由G Mmr2＝m v2r得v＝GMr，因为r B>r甲C，可知v甲C>v B，由于卫星乙从以B点到地心的距离为轨道半径的圆轨道在B点减速做近心运动才能进入椭圆轨道，则卫星乙在B点的速度小于v B，所以卫星甲在C点的速度一定大于卫星乙在B点的速度，故A错误；由题意可知，卫星甲的轨道半径小于卫星乙做椭圆运动的半长轴，由开普勒第三定律a3T2＝k可知，卫星甲的周期小于卫星乙的周期，故B错误；假设卫星乙以A点到地心的距离为轨道半径做匀速圆周运动，线速度大小为v A，由G Mmr2＝m v2r得v＝GMr，因为r甲C>r A，可知v甲C<v A，由于卫星乙从以A点到地心的距离为轨道半径的圆轨道在A点加速做离心运动才能进入椭圆轨道，则卫星乙在A点的速度大于v A，所以卫星甲在C点的速度一定小于卫星乙在A点的速度，故C正确；由开普勒第二定律可知，卫星在同一轨道上运动时与地心的连线在相等时间内扫过的面积相等，故D错误。