10. 复数运算律 设： z1 = x1 + i y1 、z2 = x2 + i y2 则：以下的交换律、结合律、分配律成立
(加法交换律) (乘法交换律) (加法结合律) (乘法结合律) (分配律)
练习：
证明： ze i 是将复向量 z 向逆时针方向旋转 度。
一对应。此球面称为复球面。圆 L 的半径 → , L' 趋
向球顶缩成一点 N → 复平面的无限远处对应于球面上的 一点 N ，这样，复平面的无限远处看成一个“点”—— 无限远点。见下页图。
三、复数的运算规则 (基本运算：加减乘除)
由于实数是复数的特例，故在规定其运算方法时，既 应使复数运算的法则适用于实数特例时，能够和实数运算 的结果相符合，又应使复数的算术运算能够满足实数算术 运算的一般规律 (如交换律，结合律等)。 1. 加法 z z1 z2 (x1+iy1)+(x2 +iy2 )=(x1+x2 )+i(y1 + y2 )
第一章 复变函数论基础
实变函数：实变量的函数。例：x,y — 实变量； f (x,y) — 实变函数
复变函数：复变量的函数，实变函数的推广 思考：复变函数和实变函数的区别和联系
实数 → 实变量 → 实变函数 复数 → 复变量 → 复变函数 (a,b) (x,y) (u(x,y),v(x,y))
1.1 复数 (复数的定义、几何表示、运算规则)
z：z的模
modulus
辐角： argument
有
2. 复球面 复数不仅可用平面上的点表示，还可用球面上的点表
示。方法：过复平面的坐标原点 o 作一球面与复平面相切， 过 o 作复平面的垂线交球面于 N 点 (北极点)，作射线 NP 交球面于 P' ,交复平面于 P 点，可知 P' 与 P 对应，这样， 球面上所有的点 (北极点除外) 均与复平面上所有的点一
(模相乘，辐角相加)
4. 除法
(分母有理化)
5. 乘方: N 个 z 相乘，即 棣摩弗公式:
(模相除，辐角相减)
6. 开方:
令 w n = z0 、z0 = 0 e i0 ，且设 w = e i 。 已知 0 、0，求： 、
Hale Waihona Puke 由有(k：整数)
即 w 的模 与 z0 的模一一对应，而 w 的辐角与 z0 的辐
i：虚数单位 ← imaginary unit) 2. 基本概念：x = Re z (实部) y = Im z (虚部)
纯虚数、共轭复数 (z x iy 、z x iy) 、复数相等
说明：复数定义的本质——有序实数对，即 z = (x, y)，x, y R
注意：x, y 的次序很重要， (x, y) ≠ (y, x) 虚数单位的表示方法：
角不是一一对应。仅有 n 个不同的值满足 w n = z0，即
这 n 个不同的值均匀分布在半径为 的圆周上。下 图为 n = 5 的例子。
7. 模运算
(两边之和不小于第三边) (一边不小于两边之差)
8. 共轭复数运算
9. 关于 的四则运算
若 ≠ ，则
说明：运算 + 、0 ∙ 、 无意义
数的扩展：正数→负数→实数
在实数范围内：方程 ax2 + bx + c = 0
当 = b2 4ac < 0 时，没有实根。
(命题：把10分 成两部分，使 其乘积为40。)
→ 扩大数域，引进复数 (数的创生)
一、复数的定义和运算 1. 定义：复数——形如 z = x + i y 的数 (x,y为实数，i 2 = –1
i = (0, 1) ——在计算机编程中常用
二、复数的表示方法 (代数表示法、三角表示法、指数表示法) 1. 复平面 (1) 直角坐标表示：在坐标平面 oxy上，用点 (x, y) 表示复
数 z = x + i y，平面上的点 (x, y) 与复数 z = x + i y 一一 对应。全体复数布满整个平面——复平面 (或 z 平面)。
从原点 (0,0) 出发指向点 (x,y) 矢量 — op 复矢量。
定义：x 轴—实轴，y 轴—虚轴
(2) 极坐标表示：复平面上的点用极坐标 (, ) 表示
(：z 的模， ：z 的辐角) 注：用极坐标表示一个复数 z 时，辐角 Argz 的值不唯一
即 其中 argz 为辐角主值，且 0 ≤ argz < 2π 。 利用欧拉公式：
几何意义：z1、z2 为复平面上的矢量，且 z = z1 + z2 遵守平行四边形法则。见下页图。
2. 减法 z z1 z2 (x1+iy1)-(x2 +iy2 )=(x1-x2 )+i(y1 y2 )
3. 乘法 z z1 z2 (x1 iy1)(x2 iy2 )=(x1x2 y1y2 )+i(x1y2 x2 y1)