所以运输问题的模型可记为 Min Z = 21x11 + 25x12 + 7x13 + 15x14 + 51x21 + 51x22 + 37x23 + 15x24 s.t.
x11 + x12 + x13 + x14 = 2000 x21 + x22 + x23 + x24 = 1100 x11 + x21 = 1700 x12 + x22 = 1100 x13 + x23 = 200 x14 + x24 = 100 xij ≥ 0（i = 1,2；j = 1,2,3,4）.
其中c =（c1,c2,…,cn）为行向量，称为价值向量，
a11 a A = 21 a m1 a12 a22 am 2
C
单500
75
解：(1) 确定决策变量：设x1，x2为下一个 生产周期产品甲和乙的产量；
(2) 所满足的约束条件:
对资源A的限制：3x1 + 2x2 ≤ 65 对资源B的限制：2x1 + x2 ≤ 40
对资源C的限制： 3x2 ≤ 75
基本要求：x1，x2 ≥ 0 ； (3) 明确目标函数: 获利最大，即求Z= 1500x1 + 2500x2的最大值，用 max表示最大值，s.t.（subject to的简写）表示约束条件，则该模型 可记为： max Z = 1500 x1 + 2500 x2 s.t. 3 x1 + 2 x2 ≤ 65 2 x1 + x2 ≤ 40 3 x2 ≤ 75
标准形式
max z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn (1.2a)
s.t. (LP)
a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn = b2
……
am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn = bm (1.2b) xj ≥ 0 （j = 1,2,…,n）
二．运筹学的定义
英国运筹学会的定义：运筹学是一系列科学方法 的应用，在工业、商业、政府部门及国防中用这 些方法处理大量的人员、机器、材料和资金等复 杂问题，这种方法的特点是科学的建立系统模型， 包括度量各种因素，例如分析机会和风险，以及 预测和比较各种决策、策略或控制的结果，使管 理机构科学地确定它的政策和行动。 美国运筹学会的定义：运筹学的研究内容是，在 需要对有限的资源进行分配的情况下，作出人机 系统最优设计和操作的科学决策。
x11 + x12 + x13 + x14 = 2000 x21 + x22 + x23 + x24 = 1100
对销地需求量的约束
x11 + x21 = 1700 x12 + x22 = 1100 x13 + x23 = 200 x14 + x24 = 100
另外xij是运输量必须是非负。因而还应满足xij-≥0（i = 1,2；j = 1,2,3,4），目标函数为总运费 z = 21x11 + 25x12 + 7x13 + 15x14 + 51x21 + 51x22 + 37x23 + 15x24 最小
（1-5）
二、线性规划问题的数学模型 前三例的共同点
第一，求一组决策变量 xi，并往往要求它 们为非负；
第二，确定决策变量可能受到的约束，称 为约束条件，它们可以用决策变量的线性 等式或线性不等式来表示； 第三，在满足约束条件的前提下，使某个 函数值达到最大（如利润等）或最小（如 成本、运费等）.该函数称为目标函数，它 是决策变量的线性函数 为了用单纯形法解决线性规划问题必需将 线性规划问题化解为标准型
某工厂要做100套钢架，每套有长2.9米、 2.1米和1.5米的圆钢组成，已知原料长7.4 米，问应如何下料使需用的原材料最省。 解：如果从每根7.4米长的原料上各截一根 2.9米、2.1米和1.5米长的圆钢，则还余0.9 米，用100根原料，浪费预料共90米。现 采用套裁的办法，设计五种方案，如表1.2 所示。
三．运筹学解决问题五大过程
1．提出并形成问题（好坏评价系统——二 战时商船上配高射炮，从打下飞机情况看 是不经济或不可行的，但从保护商船来说 是可行的） 2．建立模型 3．分析并求解模型 4．检验并评价模型 5．应用实施
运筹学研究----分支
线性规划 目标规划 整数规划 网络规划与网络计划技术 非线性规划 动态规划 排队论 决策论 存贮论 对策论
本人理解运筹学的研究
分析具体问题找出各种优化方法就是运筹 学
当前的应用案例
2002年1月22日美国第二大连锁零售商卡马特以 163亿美元的资产103亿债务申请破产保护；而老 对手沃尔玛2001年以销售收入2200亿美元排名 销售收入第一。 1987年 2001年 卡马特 240亿美元 2114家连锁店 沃尔玛 120亿美元 4200家连锁店 原因：建立了从原料采购到连锁店管理的信息管 理系统 国内：中国石化，宝钢等都没有从运筹学角度来 管理原料采购、生产工艺、产品库存等问题
(1.2c)
这里等式右端 bi 全为非负值（ i = 1,2,…,m），称上述问题为 （LP）问题.
简记、矩阵形式、
1、简记形式
n
max z c j x j
j 1
n
(1.3a)
（LP）
s.t.
a
j 1
ij
x j bi（i = 1,2,…,m）
(1.3b) (1.3c)
xj≥0 （j = 1,2,…,n）
例1(资源的合理利用问题)某工厂在下一个生产周期内生产甲、乙两种产品， 要消耗A、B和C三种资源，已知每件产品对这三种资源的消耗、这三种资源 的现有数量和每件产品可获得的利润如表所示.问：如何安排生产计划，使 得既能充分利用现有资源又使总利润最大？
产品 资源
甲
乙
资源限制
A B
3 2
2 1
65 40
第一章 线性规划及单纯形法
线性规划（Linear Programming， 简记为LP）是运筹学的一个重要分 支，是运筹学中研究较早、发展较 快、理论上较为成熟和应用上极为 广泛的一个分支.
§1 线性规划问题及其数学模型
一、线性规划问题的提出 建立数学模型三个步骤 (1) 根据影响所要达到目的的因素确定决策变量； (2) 由决策变量所受的限制条件确定决策变量所要满足 的约束条件； (3) 由决策变量和所要达到目的之间的函数关系确定目 标函数
… …
am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn ≤（或=，≥bm
xj ≥ 0 （j = 1,2,…,n）
(1.1c)
(1.1b)
其中aij、bi、cj（i = 1,2,…,m；j = 1,2,…,n）为已知常数， 式（1.1a）称为目标函数，式（1.1b）和（1.1c）称为约束条 件.
绪论
一．运筹学的产生和发展 1．二战期间 英、美的雷达系统从技术上说是可行的，但面对 德国的空袭实际运用并不好，如何更好的使用雷 达确定敌机的位置，为此英国军事部门召集了不 同学科的科学家，于1940年8月成立了一个由布 雷克特（P.M.S.Blackett）领导的跨学科的11人小 组，称为OR小组，小组成员：3个生物、2个数学、 4个物理、一个军官、一个测量员。
(2) 所满足的约束条件 配料平衡条件：x1 + x2 = 1
对化学成分A的要求：12 x1+ 3 x2 ≥ 4
对化学成分B的要求：2 x1 + 3 x2 ≥ 2 对化学成分C的要求：3 x1 + 15 x2 ≥ 5 基本要求：
x 1 ，x 2 ≥ 0
min Z= 3x1 + 2x2 s.t. 12x- + 3x2 ≥ 4 1 2x1 + 3x2 ≥ 2 3x1 + 15x2 ≥ 5
2、矩阵形式 max z = cx （LP） s.t. (1.4a) (1.4b) (1.4c)
Ax = b x ≥ 0
向量形式
3、向量形式 max z = cx
n j 1
(1.5a)
（LP） s.t. p j x j b
(1.5b)
(1.5c)
x ≥ 0
a1n a2 n amn
运筹学的其它研究
2．电话系统-----丹麦工程师爱尔郎（ERLANG） 3. 1947年（G.B.Dantzig)提出线性规划的单纯形 法---解决了美国空军军事规划的线性规划问题。 4．经济系统-----1939年苏联学者康托洛维奇-----投入产出模型 5．我国于50年代中期钱学森、许国志将运筹学 引入到导弹研究系统、投入产出、质量管理研究 中来，后来华罗庚等一皮数学家和经济学家加入 到运筹学研究中来。
美国的运筹学起源
1942年美国成立了17人的运筹学小组，这个小组 开展了护航舰队保护商船队的编队问题，和当船 队遭到德国潜艇攻击时，如何使船队损失最小的 问题研究，研究了反潜深水炸弹的合理爆炸深度 后，使德国潜艇被毁数增加到400%；研究了船只 在受到敌机攻击时，提出了大船应急转向和小船 应缓慢转向的逃避方法，研究结果是船只在受敌 机攻击时，中弹数由47%降到29%。美国空军称 为“运行分析”，陆军和海军叫做“运行研究和运 行评价”
圆钢套裁方案
方
案 长度 2.9 2.1 1.5
一
二