原料总费用 5x11 x21 x31 6x12 x22 x32 2x13 x23 x33
目标函数：总利润=总收益-原料总费用
8 x11 x12 x13 6 x21 x22 x23 3 x31 x32 x33 5 x11 x21 x31 -6 x12 x22 x32 -2 x13 x23 x33 =3x11 2 x12 6 x13 x21 4 x 23 2 x31 3x32 x33
20
2
1 0 2
0.2
3
0 2 1
0.3
4
0 1 2
1.0
5
0 0 4
0.6
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1 1 0
0.6
150 200 300
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截法j
一根原材所截各种用材的数量（根） 1 2 1 0 3 0 2 4 0 1 5 0 0
需求量/根
3、下料模型
总根数 则LP模型如下：
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4、配料模型
约束条件—原理供应约束
x11 x21 x31 100 x12 x22 x32 60 原料A 原料B
总收益
10 2x11 x12 x13 8 2x21 x22 x23 6 3x31 x32 x33
别为300元和200元。甲、乙产品的部件分别在A、B两个 车间生产，每件甲、乙产品的部件分别消耗A、B车间1、 2工时。两种产品的部件最后都要在C车间装配，装配每 件甲、乙产品分别消耗2工时和3工时。已知A，B，C三 个车间每周可用于这两种产品的最大生产能力分别为6工 时、8工时、18工时，则每周各生产甲、乙产品多少件？ 试建立该问题的数学模型。
A x11 x21 x31
B x12 x22 x32
C x13 x23 x33
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4、配料模型
约束条件—规格约束
x11 x12 0.5; 0.3; x11 x12 x13 x11 x12 x13 x21 x22 0.6; 0.2; x21 x22 x23 x21 x22 x23 x31 x33 0.4; 0.6; x31 x32 x33 x31 x32 x33
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2、产品配套模型
非线性约束等价转换
z 60 x11 75 x21 108 x31 / 3 z 80 x12 105 x21 120 x32 / 5 即 z 20 x11 25 x21 36 x31 0 z 16 x12 21x21 24 x32 0
投资问题：从投资项目中选取方案，使投资回报最大 产品生产计划：合理利用人力、物力、财力等，使获利最大
劳动力安排：用最少的劳动力来满足工作的需要
运输问题：如何制定调运方案，使总运费最小
4
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1、资源分配模型
例1.1 某装配厂拟生产甲、乙两种新产品，每件利润分
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1、资源分配模型—小结
建立线性规划模型的一般步骤：
1.正确设立决策变量
设xj（j=1,2,· · · ,n）为项目j的经营数量。
2.恰当建立目标函数
n项经营活动的总利润（或总产值，总收入）为
z cj xj
j 1
（1）工时约束
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2、产品配套模型
（2）配套约束(表1.3)
表1-3 每台机床的生产率
机床种类
每种机床生产率/(件/日) A零件 B零件
甲
乙 丙
60
75 108
80
105 120
z min 60x11 75x21 108x31 3, 80x12 105x22 120x32 5
1. 决策变量：
设xij 表示机床i每个工作日加工零件j的时间（单位：工作日） i 1, 2,3; j 1, 2 ； z为A,B两种零件按3: 5的比例配套的数量（套 日）
2. 约束条件：
x11 x12 1 x21 x22 1 x31 x32 1
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1、资源分配模型—小结
小结：对于例题1.1的资源分配问题（经营规划问题），
一般可表述为：
某企业拟将现有的m种资源（用i=1,2，· · · ，m表示）投入n
项生产或商务活动（用j=1，2，· · · ，n表示）。其中第i种资 源的数量为bi，项目j每经营1个单位所创造的利润（或价值） 为cj，所消耗的第i种资源的数量为aij。为履行合同，项目j 的经营数量至少为ej；而市场调查，其最高需求量为dj。试 建立其数学模型。
产品 车间
单耗/（工时/件） 甲 乙 0 2 1 0
最大生产能力 /(工时/周) 6 8
1、资源分配模型
A B
C
利润/（1×100元/件）
2
3
3
2
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设 x1, x2 分别为甲、乙产品的周产量（决策变量） z为这两种产品每周的总利润，则 式（0）称为目标函数，z为目标值
z 3x1 2x2
0
x1 0, x2 0 ④
非负性约束
上述函数约束和非负性约束，统称为约束条件或约束方程，
简称约束。 综上所述，例题1.1的数学模型简记如下：
max z 3 x1 2 x2 6 1x1 2 x2 8 s.t. 2 x1 3 x2 18 x , x 0 1 2
0
① ② ③ ④
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1、资源分配模型—小结
由目标函数和约束方程构成的一组数学表达式，称为数
学规划（模型）； 若全为线性表达式，则称为线性规划（模型）； 若组中有一个或更多表达式非线性，则称为非线性规划 （模型）。
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用材 A（2.6） B（1.8） 余料/m 1 1 150 200
设xj表示第j种截法下料的根数（ j=1,2,3,4,5 0 2 1 2 ）， 4 z为下料 300 C（1.1）
0.6 0.2 0.3 1.0 0.6
min z x1 x2 x3 x4 x5 150 x1 x2 x 2 x3 x4 200 1 s.t. 2 x2 x3 2 x4 4 x5 360 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0
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4、配料模型
例1.4 某食品厂拟用A，B两种紧俏原料和一种普通原料C，
加工制作甲、乙、丙三种食品。食品的规格、加工费、 销价，以及原料的购价、供量见表1-6。应如何为三种食 品配料？试建立其数学模型。
表1-6 原料 食品 甲 乙 丙 原料
购价 供量
食物规格（配用的原料所占比率）/% A
不少于50 不少于60 不少于40 5 100
食品 加工费 2 2 3 元/kg Kg/元
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B
不少于30 不少于20 不限 6 60
C
不限 不限 不多于60 2 不限
销价 10 8 6
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4、配料模型
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线性规划的三个要素
决策变量
决策问题待定的量值 取值要求非负
约束条件
任何管理决策问题都是限定在一定的条件下求解 把各种限制条件表示为一组等式或不等式称约束条件 约束条件是决策方案可行的保障 约束条件是决策变量的线性函数
目标函数
衡量决策优劣的准则，如时间最省、利润最大、成本最低 目标函数是决策变量的线性函数 有的目标要实现极大，有的则要求极小
需求量/根 150 200 360
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3、下料模型
解：首先需要找出全部省料截法(见表1-5) 。 （所谓省料截法，这里指一个原材截后的余料长度小于最短的 用材C的长度的各种截法）
表1-5 截法j 用材 一根原材所截各种用材的数量（根） 需求量/根
1
A（2.6） B（1.8） C（1.1） 余料/m
nห้องสมุดไป่ตู้
3. 适度构建约束方程
（1）合同约束
x j ej
xj d j
j 1,2,, n
j 1,2,, n
bi
（2）需求约束
（3）资源约束
a x
j 1 ij
n
j
i 1, 2,, m
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1、资源分配模型—小结
综上所述可得LP模型如下：
n
max z c j x j
j 1
n aij x j bi j 1 s.t. x j e j x j d j
i 1, 2, , m j 1, 2, , n j 1, 2, , n
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2、产品配套模型