所需人数 60 70 60 50 20 30
设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，并 连续工作八小时，问该公交线路怎样安排司机和乘务人员， 既能满足工作需要，又配备最少司机和乘务人员?
2020/9/9
管 理 运9 筹 学
解：设 xi 表示第i班次时开始上班的司机和乘务人员
数, 这样我们建立如下的数学模型。
2020/9/9
管 理 运6 筹 学
资源分配模型
例1-1. 某工厂要安排甲、乙两种产品分别在车间A、B生 产，然后都在C车间装配。生产数据如下表：
车间
产品
A B C 单位产品获利(元)
单耗(工时/件)
甲
乙
1
0
0
2
2
3
300 200
最大生产能力 （工时/周）
6 8 18
问题：工厂应分别生产多少单位甲、乙产品？
2020/9/9
管 理 1运2 筹 学
甲 乙 丙 资源限制 铸造工时(小时/件) 5 10 7 8000 机加工工时(小时/件) 6 4 8 12000 装配工时(小时/件) 3 2 2 10000 自产铸件成本(元/件) 3 5 4 外协铸件成本(元/件) 5 6 -机加工成本(元/件) 2 1 3 装配成本(元/件) 3 2 2 产品售价(元/件) 23 18 16
资源限制 300 台时 400 千克 250 千克
问题：工厂应分别生产多少单位Ⅰ、Ⅱ产品才能使工厂获利 最多？
2020/9/9
管 理 运4 筹 学
线性规划模型：
max f = 50 x1 + 100 x2
s.t.
x1 + x2 ≤ 300
2 x1 + x2 ≤ 400
x2 ≤ 250
x1 , x2 ≥ 0
6x1 + 4x2 + 8x3 + 6x4 + 4x5 ≤ 12000
3x1 + 2x2 + 2x3 + 3x4 + 2x5 ≤ 10000
x1,x2,x3,x4,x5 ≥ 0
2020/9/9
管 理 1运4 筹 学
例1.3 永久机械厂生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种产品，均要经过A、B 两道工序加工。假设有两种规格的设备A1、A2能完成 A 工 序；有三种规格的设备B1、B2、B3能完成 B 工序。Ⅰ可在A、 B的任何规格的设备上加工；Ⅱ 可在任意规格的A设备上加 工，但对B工序，只能在B1设备上加工；Ⅲ只能在A2与B2设 备上加工；数据如下表。问：为使该厂获得最大利润，应 如何制定产品加工方案？
资源分配模型 产品配套模型 下料模型 配料模型
2020/9/9
管 理 运3 筹 学
例1.0 某工厂在计划期内要安排Ⅰ、Ⅱ两种产品的生产，
已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消
耗、资源的限制，如下表：
设备 原料 A 原料 B 单位产品获利
Ⅰ 1 2 0 50 元
Ⅱ 1 1 1 100 元
2020/9/9
管 理 1运3 筹 学
解：设 x1,x2,x3 分别为三道工序都由本公司加工的甲、乙、 丙三种产品的件数，x4,x5 分别为由外协铸造再由本公司
加工和装配的甲、乙两种产品的件数。
max 15x1 + 10x2 + 7x3 + 13x4 + 9x5
s.t.
5x1 + 10x2 + 7x3 ≤ 8000
2020/9/9
管 理 1运5 筹 学
设备
A1 A2 B1 B2 B3 原料（元/件） 售价（元/件）
产品单件工时
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
5
10
2020/9/9
管 理 运7 筹 学
解：设 变量（单位）
max z 3x1 2x2
x1
6
s.t.
2
x1
2x2 3x2
8 18
x1, x2 0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2020/9/9
管 理 运8 筹 学
例1.1 某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机 和乘务人员数如下：
班次 1 2 3 4 5 6
时间 6：00 —— 10：00 10：00 —— 14：00 14：00 —— 18：00 18：00 —— 22：00 22：00 —— 2：00 2：00 —— 6：00
另解：设 xi ( i = 1,2,…,6)表示第1班次至第6班次开始
休息的人数,这样我们建立如下的数学模型。
min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 s.t. x2 + x3 ≥ 60
x3 + x4 ≥ 70 x4 + x5 ≥ 60 x5 + x6 ≥ 50 x6 + x1 ≥ 20 x1 + x2 ≥ 30 x1,x2,x3,x4,x5,x6 ≥ 0
min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 s.t. x1 + x6 ≥ 60
x1 + x2 ≥ 70 x2 + x3 ≥ 60 x3 + x4 ≥ 50 x4 + x5 ≥ 20 x5 + x6 ≥ 30 x1,x2,x3,x4,x5,x6 ≥ 0
2020/9/9
管 理 1运0 筹 学
管理运筹学
——模型与方法
赵明霞 山西大学经济与管理学院
管理运筹学
第1章 线性规划基本模型
1.1 线性规划的实用模型 1.2 线性规划的一般模型 1.3 线性规划的图解法 1.4 标准形线性规划的解
2020/9/9
管 理 运2 筹 学
1.1 线性规划的实用模型
线性规划(LP, Linear Programming)的组成： •目标函数 opt（optimize） max z (f) 或 min z(f) •约束条件 s.t. (subject to) 满足于 •决策变量 用符号来表示可控制的因素
2020/9/9
管 理 1运1 筹 学
例1.2 某公司面临一个是外包协作还是自行生产的问题。 该公司生产甲、乙、丙三种产品，都需要经过铸造、机加工 和装配三个车间。甲、乙两种产品的铸件可以外包协作，亦 可以自行生产，但产品丙必须本厂铸造才能保证质量。数据 如表。问：公司为了获得最大利润，甲、乙、丙三种产品各 生产多少件？甲、乙两种产品的铸造中，由本公司铸造和由 外包协作各应多少件？
2020/9/9
管 理 运5 筹 学
线性规划建模过程
1.理解要解决的问题，明确目标和条件；
2.定义决策变量（ x1 ，x2 ，… ，xn ），每一组值表示一个方 案；
3.用决策变量的线性函数形式写出目标函数，确定最大化或最 小化目标；
4.用一组决策变量的等式或不等式表示解决问题过程中必须遵 循的约束条件