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上海高二数学矩阵及其运算

矩阵及其运算矩阵的概念1、形如13⎛⎫ ⎪⎝⎭、512128363836232128⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭、2332441m n ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭、2313242414m n ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭这样的矩形数表叫做矩阵。

2、在矩阵中,水平方向排列的数组成的向量()12,,n a a a ⋅⋅⋅称为行向量;垂直方向排列的数组成的向量12n b b b ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭称为列向量;由m 个行向量与n 个列向量组成的矩阵称为m n ⨯阶矩阵,m n ⨯阶矩阵可记做m n A ⨯,如矩阵13⎛⎫⎪⎝⎭为21⨯阶矩阵,可记做21A ⨯;矩阵512128363836232128⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭为33⨯阶矩阵,可记做33A ⨯。

有时矩阵也可用A 、B 等字母表示。

3、矩阵中的每一个数叫做矩阵的元素,在一个m n ⨯阶矩阵m n A ⨯中的第i (i m ≤)行第j (j n ≤)列数可用字母ij a 表示,如矩阵512128363836232128⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭第3行第2个数为3221a =。

4、当一个矩阵中所有元素均为0时,我们称这个矩阵为零矩阵。

如000000⎛⎫⎪⎝⎭为一个23⨯阶零矩阵。

5、当一个矩阵的行数与列数相等时,这个矩阵称为方矩阵,简称方阵,一个方阵有n 行(列),可称此方阵为n 阶方阵,如矩阵512128363836232128⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭、2332441m n ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭均为三阶方阵。

在一个n 阶方阵中,从左上角到右下角所有元素组成对角线,如果其对角线的元素均为1,其余元素均为零的方阵,叫做单位矩阵。

如矩阵1001⎛⎫⎪⎝⎭为2阶单位矩阵,矩阵100010001⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭为3阶单位矩阵。

6、如果矩阵A 与矩阵B 的行数和列数分别相等,那么A 与B 叫做同阶矩阵;如果矩阵A 与矩阵B 是同阶矩阵,当且仅当它们对应位置的元素都相等时,那么矩阵A 与矩阵B 叫做相等的矩阵,记为A B =。

7、对于方程组231324244x y mz x y z x y nz ++=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩中未知数z y x ,,的系数按原来的次序排列所得的矩阵2332441m n ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭,我们叫做方程组的系数矩阵;而矩阵2313242414m n ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭叫做方程组的增广矩阵。

应用举例: 例1、已知矩阵222,22x x y b a A B x a b yx y ---⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭且A B =,求a 、b 的值及矩阵A 。

例2、写出下列线性方程组的增广矩阵:(1)23146x y x y +=⎧⎨-=⎩;(2)23203250230x y z x y z x y z +-+=⎧⎪-++-=⎨⎪-++=⎩例3、已知线性方程组的增广矩阵,写出其对应的方程组:(1)235124-⎛⎫ ⎪-⎝⎭(2)210203213023-⎛⎫⎪- ⎪⎪-⎝⎭例4、已知矩阵sin cos 0sin cos 1ααββ+⎛⎫⎪+⎝⎭为单位矩阵,且,,2παβπ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭,求()sin αβ-的值。

矩阵的基本变换:(1)互换矩阵的两行或两列;(2)把某一行同乘(除)以一个非零的数; (3)某一行乘以一个数加到另一行。

显然,通过以上三个基本变换,可将线性方程组的系数矩阵变成单位矩阵,这时增广矩阵的最后一个列向量给出了方程组的解。

应用举例:例1、用矩阵变换的方法解三元一次方程组4357245238x y z x y z x y z +-=⎧⎪++=⎨⎪--=⎩的解。

例2、运用矩阵变换方法解方程组:322ax y x y b+=⎧⎨-=⎩(a 、b 为常数)课堂练习:用矩阵变换方法解下列问题: (1)若方程组2(1)(1)4x y k x k y +=⎧⎨-++=⎩的解x 与y 相等,求k 的值。

(3)解方程组:320255781x y z x y z x y z -+=⎧⎪++=⎨⎪-+=-⎩矩阵运算(对从实际问题中抽象出来的矩阵,我们经常将几个矩阵联系起来,讨论它们是否相等,它们在什么条件下可以进行何种运算,这些运算具有什么性质等问题,这是下面所要讨论的主要内容.) 1.相等定义如果两个矩阵[]n m ij a A ⨯=,[]p s ij b B ⨯=满足: (1)行、列数相同,即p n s m ==,;(2)对应元素相等,即a ij =b ij (i =1,2,…,m ;j =1,2,…,n ),则称矩阵A 与矩阵B 相等,记作A =B(由矩阵相等定义可知,用等式表示两个m ⨯n 矩阵相等,等价于元素之间的m ⨯n 个等式.)例如,矩阵A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡232221131211a a a a a a ,B =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--412503 那么A =B ,当且仅当a 11=3,a 12=0,a 13=-5,a 21=-2,a 22=1,a 23=4而C =⎥⎦⎤⎢⎣⎡22211211c c c c 因为B ,C 这两个矩阵的列数不同,所以无论矩阵C 中的元素c 11,c 12,c 21,c 22取什么数都不会与矩阵B 相等.2.加法定义设[]n m ij a A ⨯=,[]p s ij b B ⨯=是两个m ⨯n 矩阵,则称矩阵C =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++mn mn m m m m n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a221122222221211112121111为A 与B 的和,记作C =A +B =[]ij ij b a +(由定义可知,只有行数、列数分别相同的两个矩阵,才能作加法运算.) 同样,我们可以定义矩阵的减法:D =A -B =A +(-B )=[]ij ij b a - 称D 为A 与B 的差.例1设矩阵A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡---152403,B =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--130432,求A +B ,A -B .例2、矩阵cos cos 0tan 1A αβα⎛⎫=⎪⎝⎭,00tan tan tan B βαβ⎛⎫= ⎪-⎝⎭,01017C ⎛⎫- ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭,若A B C +=,(0,)2πα∈,(,)2πβπ∈,求sin2αβ+的值。

矩阵加法满足的运算规则是什么设A ,B ,C ,O 都是m ⨯n 矩阵,不难验证矩阵的加法满足以下运算规则 1.加法交换律:A +B =B +A ; 2.加法结合律:(A +B )+C =A +(B +C ); 3.零矩阵满足:A +O =A ;4.存在矩阵-A ,满足:A -A =A +(-A )=O . 3.数乘定义设矩阵[]n m ij a A ⨯=,λ为任意实数,则称矩阵[]n m ij c C ⨯=为数λ与矩阵A 的数乘,其中),2,1;,,2,1(n j m i a c ij ij ===λ,记为C =λA(由定义可知,数λ乘一个矩阵A ,需要用数λ去乘矩阵A 的每一个元素.特别地,当λ=-1时,λA =-A ,得到A 的负矩阵.)例3设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--062504713,用2去乘矩阵A ,求2A. 数乘矩阵满足的运算规则是什么对数k ,l 和矩阵A =[]n m ij a ⨯,B =[]n m ij b ⨯满足以下运算规则: 1.数对矩阵的分配律:k (A +B )=kA +kB ; 2.矩阵对数的分配律:(k +l )A =kA +lA ; 3.数与矩阵的结合律:(kl )A =k (lA )=l (kA ); 4.数1与矩阵满足:1A =A .例4设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-610523,B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--712834,求3A -2B . 4.乘法矩阵乘积的定义设A =[]ij a 是一个m ⨯s 矩阵,B =[]ij b 是一个s ⨯n 矩阵,则称m ⨯n 矩阵C =[]ij c 为矩阵A 与B 的乘积,记作C =AB .其中c ij =a i 1b 1j +a i 2b 2j +…+a is b sj =a b ik kj k s-∑1(i =1,2,…,m ;j =1,2,…,n ).(由矩阵乘积的定义可知:)(1)只有当左矩阵A 的列数等于右矩阵B 的行数时,A ,B 才能作乘法运算AB ; (2)两个矩阵的乘积AB 亦是矩阵,它的行数等于左矩阵A 的行数,它的列数等于右矩阵B 的列数;(3)乘积矩阵AB 中的第i 行第j 列的元素等于A 的第i 行元素与B 的第j 列对应元素的乘积之和,故简称行乘列的法则.例6设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--530412,B =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--10789,计算AB . 例7设矩阵A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡2142,B =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1122,求AB 和BA . 由例6、例7可知,当乘积矩阵AB 有意义时,BA 不一定有意义;即使乘积矩阵AB 和BA 有意义时,AB 和BA 也不一定相等.因此,矩阵乘法不满足交换律,在以后进行矩阵乘法时,一定要注意乘法的次序,不能随意改变.在例6中矩阵A 和B 都是非零矩阵(A ≠O ,B ≠O ),但是矩阵A 和B 的乘积矩阵AB 是一个零矩阵(AB =O ),即两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵.因此,当AB =O ,不能得出A 和B 中至少有一个是零矩阵的结论.一般地,当乘积矩阵AB =AC ,且A ≠O 时,不能消去矩阵A ,而得到B =C .这说明矩阵乘法也不满足消去律.那么矩阵乘法满足哪些运算规则呢 矩阵乘法满足下列运算规则: 1.乘法结合律:(AB )C =A (BC ); 2.左乘分配律:A (B +C )=AB +AC ; 右乘分配律:(B +C )A =BA +CA ;3.数乘结合律:k (AB )=(kA )B =A (kB ),其中k 是一个常数. 例8:已知⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0110A ,矩阵12B ⎛⎫= ⎪⎝⎭,求AB 。

练习:计算下列矩阵的乘法(1)1212()n n b b a a a b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭;(2)1212()n n a a b b b a ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭。

例9、已知矩阵[])(x f A =,[]x x B -=1,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=a2x C ,若A=BC ,求函数)x (f 在[1,2]上的最小值.例10:将下列线性方程组写成矩阵乘法的形式(1)21437x y x y -=⎧⎨+=⎩;(2)2314231241x y z x y z x y z -+=⎧⎪-+=⎨⎪-+=-⎩。

例11:若AB BA =,矩阵B 就称为与A 可变换,设1101A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,求所有与A 可交换的矩阵B 。

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