第 九 章 矩阵和行列式初步
格致中学 王国伟
第一课时 9.1 矩阵的概念（1）
[教学目标]
1、了解矩阵的产生背景，并会用矩阵形式表示一些实际问题；
2、了解矩阵、行向量、列向量、方矩阵、零矩阵、单位矩阵等概念；
3、理解同阶矩阵、相等的矩阵等概念；
4、理解线性方程组与系数矩阵及其增广矩阵之间的转化。

[教学重点]
1、与矩阵有关的概念；
2、线性方程组的系数矩阵及增广矩阵的概念。

[教学难点]
学习矩阵的目的。

[教学过程]
一、情境设置、引入：
引例1：已知向量()1,3OP =，如果把的坐标排成一列，可简记为13⎛⎫
⎪⎝⎭
；
引例2：2008
我们可将上表奖牌数简记为：512128363836232128⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
；
引例3：将方程组231
324244x y mz x y z x y nz ++=⎧⎪
-+=⎨⎪+-=⎩
中未知数z y x ,,的系数按原来的次序排列，可简记为
2332441m n ⎛⎫ ⎪- ⎪
⎪
-⎝⎭
；若将常数项增加进去，则可简记为：2313242414m n ⎛⎫ ⎪
- ⎪ ⎪-⎝⎭。

二、概念讲解：
1、上述形如13⎛⎫ ⎪⎝⎭、512128363836232128⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭、2332441m n ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭、2313242414m n ⎛⎫ ⎪
-
⎪ ⎪
-⎝
⎭这样的矩形数表
叫做矩阵。

2、在矩阵中，水平方向排列的数组成的向量()12,,n a a a ⋅⋅⋅称为行向量；垂直方向排列的数
组成的向量12
n b b b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭
称为列向量；由m 个行向量与n 个列向量组成的矩阵称为m n ⨯阶矩阵，
m n ⨯阶矩阵可记做m n A ⨯，如矩阵13⎛⎫ ⎪⎝⎭为21⨯阶矩阵，可记做21A ⨯；矩阵512128363836232128⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭
为33⨯阶矩阵，可记做33A ⨯。

有时矩阵也可用A 、B 等字母表示。

3、矩阵中的每一个数叫做矩阵的元素，在一个m n ⨯阶矩阵m n A ⨯中的第i （i m ≤）行第
j
（j n ≤）列数可用字母ij a 表示，如矩阵512128363836232128⎛⎫
⎪
⎪ ⎪⎝⎭
第3行第2个数为3221a =。

4、当一个矩阵中所有元素均为0时，我们称这个矩阵为零矩阵。

如000000⎛⎫
⎪⎝⎭
为一个23
⨯阶零矩阵。

5、当一个矩阵的行数与列数相等时，这个矩阵称为方矩阵，简称方阵，一个方阵有n 行（列），
可称此方阵为n 阶方阵，如矩阵512128363836232128⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭、2332441m n ⎛⎫
⎪
- ⎪ ⎪-⎝⎭
均为三阶方阵。

在一个
n 阶方阵中，从左上角到右下角所有元素组成对角线，如果其对角线的元素均为1，其余
元素均为零的方阵，叫做单位矩阵。

如矩阵1001⎛⎫ ⎪⎝⎭为2阶单位矩阵，矩阵100010001⎛⎫
⎪
⎪ ⎪
⎝⎭
为
3阶单位矩阵。

6、如果矩阵A 与矩阵B 的行数和列数分别相等，那么A 与B 叫做同阶矩阵；如果矩阵A 与矩阵B 是同阶矩阵，当且仅当它们对应位置的元素都相等时，那么矩阵A 与矩阵B 叫做相等的矩阵，记为A B =。

7、对于方程组231324244x y mz x y z x y nz ++=⎧⎪
-+=⎨⎪+-=⎩
中未知数z y x ,,的系数按原来的次序排列所得的矩阵
2332441m n ⎛⎫ ⎪- ⎪
⎪
-⎝⎭
，我们叫做方程组的系数矩阵；而矩阵2313242414m n ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭叫做方程组的增
广矩阵。

三、应用举例：
例1、下表是我国第一位奥运会射箭比赛金牌得主张娟娟与对手韩国选手朴成贤在决赛中的
（1）将两人的成绩各阶段成绩用矩形表示； （2）写出行向量、列向量，并指出其实际意义。

解：（1）2627292811029262628109⎛⎫
⎪⎝⎭
（2）有两个行向量，分别为：()126
272928110a =，
()229262628109a =，
它们分别表示两位运动员在决赛各阶段各自成绩； 有五个列向量，分别为1234526272928110,,,,29262628109b b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=====
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
它们分别表示两位运动员在每一个阶段的成绩。

例2、已知矩阵222,22x x y b a A B x a b y x y ---⎛⎫⎛⎫
== ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭
且A B =，求a 、b 的值及矩阵A 。

解：由题意知：22x y x y -=⎧⎨
=⎩解得：24x y =-⎧⎨=-⎩，又由2
22214
b a x a b x y -=-=⎧⎨+=+=⎩解得：2
6a b =⎧⎨=⎩， 22414A ⎛⎫=
⎪-⎝⎭
例3、写出下列线性方程组的增广矩阵：
（1）23146x y x y +=⎧⎨-=⎩； （2）23203250230
x y z x y z x y z +-+=⎧⎪-++-=⎨⎪-++=⎩
解：（1）231416⎛⎫ ⎪-⎝⎭； （2）123213252113--⎛⎫
⎪
- ⎪
⎪
--⎝⎭
例4、已知线性方程组的增广矩阵，写出其对应的方程组：
（1）235124-⎛⎫ ⎪-⎝⎭ （2）210203213023-⎛⎫
⎪
- ⎪ ⎪-⎝⎭ 解：（1）23524x y x y +=-⎧⎨-+=⎩ （2）22
321323
x y y z x z -=⎧⎪
-=⎨⎪+=-⎩
例5、已知矩阵sin cos 0sin cos 1ααββ+⎛⎫
⎪+⎝⎭为单位向量，且,,2παβπ⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
，求()sin αβ-的值。

解：由单位向量定义可知：sin cos 1sin cos 0ααββ+=⎧⎨+=⎩，,,2παβπ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，2
34
παπβ⎧
=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩
(
)sin sin 42παβ⎛⎫
∴-=-=- ⎪
⎝⎭。

四、课堂练习：
1、请根据游戏“剪刀、石头、布”的游戏规则，作出一个3阶方阵（胜用1表示，输用1-
表示，相同则为0）。

解：0111
01110-⎛⎫
⎪
- ⎪ ⎪-⎝⎭
2、奥运会足球比赛中国队所在C 组小组赛单循环比赛结果如下：
中国平新西兰1∶1 巴西胜比利时1∶0 中国负比利时0∶2
巴西胜新西兰5∶0 中国负巴西0∶3 比利时胜新西兰0∶1
（1）试用一个4阶方阵表示这4个队之间的净胜球数；（以中国、巴西、比利时、新西兰为
顺序排列）
（2）若胜一场可得3分，平一场得1分，负一场得0分，试写出一个4阶方阵表示各队的
得分情况；（排列顺序与（1）相同）
（3）若最后的名次的排定按如下规则：先看积分，同积分看净胜球，试根据（1）、（2）两
个矩阵确定各队名次。

解：（1）
0320
3015
2101
0510
--
⎛⎫
⎪
⎪
⎪
-
⎪
--
⎝⎭
（2）
0001
3033
3003
1000
⎛⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎝⎭
（3）名次为巴西、比利时、中国、新西兰。

五、小结：
本课学习了矩阵及与矩阵相关的一些概念。

六、作业：
习题册P45习题9.1A组1、2；P46 习题9.1B组1。