上海高二数学矩阵及其运算有详细答案精品 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】上海版高二上数学矩阵及其运算一．初识矩阵 （一）引入：引例1：已知向量()1,3OP =，如果把OP 的坐标排成一列，可简记为13⎛⎫⎪⎝⎭；引例2：2008年北京奥运会奖牌榜前三位成绩如下表：记为：512128363836232128⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭；我们可将上表奖牌数简231324244x y mz x y z x y nz ++=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩中未引例3：将方程组知数z y x ,,的系数按原来的次序排列，可简记为2332441m n ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭；若将常数项增加进去，则可简记为：2313242414m n ⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭。

（二）矩阵的概念1、上述形如13⎛⎫ ⎪⎝⎭、512128363836232128⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭、2332441m n ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭、2313242414m n ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭这样的矩形数表叫做矩阵。

2、在矩阵中，水平方向排列的数组成的向量()12,,n a a a ⋅⋅⋅称为行向量；垂直方向排列的数组成的向量12n b b b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭称为列向量；由m 个行向量与n 个列向量组成的矩阵称为m n ⨯阶矩阵，m n ⨯阶矩阵可记做m n A ⨯，如矩阵13⎛⎫ ⎪⎝⎭为21⨯阶矩阵，可记做21A ⨯；矩阵512128363836232128⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭为33⨯阶矩阵，可记做33A ⨯。

有时矩阵也可用A 、B 等字母表示。

3、矩阵中的每一个数叫做矩阵的元素，在一个m n ⨯阶矩阵m n A ⨯中的第i （i m ≤）行第j（j n ≤）列数可用字母ij a 表示，如矩阵512128363836232128⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭第3行第2个数为3221a =。

4、当一个矩阵中所有元素均为0时，我们称这个矩阵为零矩阵。

如000000⎛⎫⎪⎝⎭为一个23⨯阶零矩阵。

5、当一个矩阵的行数与列数相等时，这个矩阵称为方矩阵，简称方阵，一个方阵有n 行（列），可称此方阵为n 阶方阵，如矩阵512128363836232128⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭、2332441m n ⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭均为三阶方阵。

在一个n 阶方阵中，从左上角到右下角所有元素组成对角线，如果其对角线的元素均为1，其余元素均为零的方阵，叫做单位矩阵。

如矩阵1001⎛⎫⎪⎝⎭为2阶单位矩阵，矩阵100010001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭为3阶单位矩阵。

6、如果矩阵A 与矩阵B 的行数和列数分别相等，那么A 与B 叫做同阶矩阵；如果矩阵A 与矩阵B 是同阶矩阵，当且仅当它们对应位置的元素都相等时，那么矩阵A 与矩阵B 叫做相等的矩阵，记为A B =。

7、对于方程组231324244x y mz x y z x y nz ++=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩中未知数z y x ,,的系数按原来的次序排列所得的矩阵2332441m n ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭，我们叫做方程组的系数矩阵；而矩阵2313242414m n ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭叫做方程组的增广矩阵。

（三）、应用举例：例1、下表是我国第一位奥运会射箭比赛金牌得主张娟娟与对手韩国选手朴成贤在决赛中的各阶段成绩表：（1）将两人的成绩各阶段成绩用矩阵表示； （2）写出行向量、列向量，并指出其实际意义。

例2、已知矩阵222,22x x y b a A B x a b y x y ---⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭且A B =，求a 、b 的值及矩阵A 。

例3、写出下列线性方程组的增广矩阵：（1）23146x y x y +=⎧⎨-=⎩；（2）23203250230x y z x y z x y z +-+=⎧⎪-++-=⎨⎪-++=⎩例4、已知线性方程组的增广矩阵，写出其对应的方程组：（1）235124-⎛⎫ ⎪-⎝⎭（2）210203213023-⎛⎫⎪- ⎪⎪-⎝⎭例5、已知矩阵sin cos 0sin cos 1ααββ+⎛⎫⎪+⎝⎭为单位矩阵，且,,2παβπ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，求()sin αβ-的值。

（四）、课堂练习：1、请根据游戏“剪刀、石头、布”的游戏规则，作出一个3阶方阵（胜用1表示，输用1-表示，相同则为0）。

2、奥运会足球比赛中国队所在C组小组赛单循环比赛结果如下：中国平新西兰1∶1巴西胜比利时1∶0中国负比利时0∶2巴西胜新西兰5∶0中国负巴西0∶3比利时胜新西兰0∶1（1）试用一个4阶方阵表示这4个队之间的净胜球数；（以中国、巴西、比利时、新西兰为顺序排列）（2）若胜一场可得3分，平一场得1分，负一场得0分，试写出一个4阶方阵表示各队的得分情况；（排列顺序与（1）相同）（3）若最后的名次的排定按如下规则：先看积分，同积分看净胜球，试根据（1）、（2）两个矩阵确定各队名次。

二、矩阵的三种基本变换（一）、复习引入：引例、根据下列增广矩阵，写出其对应的线性方程组，并分析这些增广矩阵所对应线性方程组解的关系，从中你能得到哪些启发？（1）213322-⎛⎫⎪-⎝⎭（2）322213-⎛⎫⎪-⎝⎭（3）1312222133⎛⎫-⎪⎪⎪- ⎪⎝⎭（4）1312211366⎛⎫-⎪⎪⎪⎪⎝⎭（5）10811366⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭（6）1080113⎛⎫⎪⎝⎭（二）、矩阵的三种基本变换新课讲解：通过上面练习，我们可以发现以下三个有关线性方程组的增广矩阵的基本变换：（1）互换矩阵的两行；（2）把某一行同乘（除）以一个非零的数；（3）某一行乘以一个数加到另一行。

显然，通过以上三个基本变换，可将线性方程组的系数矩阵变成单位矩阵，这时增广矩阵的最后一个列向量给出了方程组的解。

（三）、应用举例：例1、已知每公斤五角硬币价值132元，每公斤一元硬币价值165元，现有总重量为两公斤的硬币，总数共计462个，问其中一元与五角的硬币分别有多少个（来自网上“新鸡兔同笼问题”）例2、用矩阵变换的方法解三元一次方程组4357245238x y zx y zx y z+-=⎧⎪++=⎨⎪--=⎩的解。

例3、运用矩阵变换方法解方程组：322ax yx y b+=⎧⎨-=⎩（a、b为常数）说明：（1）符合情况ⅰ）时，方程组有唯一解，此时两个线性方程所表示的直线相交；（2）符合情况ⅱ）时，两个线性方程所表示的直线平行，此时方程组无解；（3）符合情况ⅲ）时，两个线性方程所表示的直线重合，此时方程组有无穷多解。

（四）、课堂练习：用矩阵变换方法解下列问题：（1）若方程组2(1)(1)4x yk x k y+=⎧⎨-++=⎩的解x与y相等，求k的值。

（2）有黑白两种小球各若干个，且同色小球质量均相等，在如下图所示的两次称量的天平恰好平衡，如果每只砝码质量均为5克，每只黑球和白球的质量各是多少克？（3）解方程组：⎩第一次称量第二次称量三、矩阵运算（对从实际问题中抽象出来的矩阵，我们经常将几个矩阵联系起来，讨论它们是否相等，它们在什么条件下可以进行何种运算，这些运算具有什么性质等问题，这是下面所要讨论的主要内容.） 1．相等定义如果两个矩阵[]nm ija A ⨯=，[]ps ijb B ⨯=满足：(1)行、列数相同，即p n s m ==,；(2)对应元素相等，即a ij =b ij (=1,2,…,m ；j =1,2,…,n )， 则称矩阵A 与矩阵B 相等，记作A =B（由矩阵相等定义可知，用等式表示两个m n 矩阵相等，等价于元素之间的m n 个等式.）例如，矩阵A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡232221131211a a a a a a ，B =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--412503 那么A =B ，当且仅当a 11=3，a 12=0，a 13=-5，a 21=-2，a 22=1，a 23=4而C =⎥⎦⎤⎢⎣⎡22211211c c c c 因为B ,C 这两个矩阵的列数不同，所以无论矩阵C 中的元素c 11,c 12,c 21,c 22取什么数都不会与矩阵B 相等.2．加法 定义设[]nm ija A ⨯=，[]ps ijb B ⨯=是两个m n 矩阵，则称矩阵C =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++mn mn m m m m n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a221122222221211112121111为A 与B 的和，记作C =A +B =[]ij ij b a +（由定义可知，只有行数、列数分别相同的两个矩阵，才能作加法运算.） 同样，我们可以定义矩阵的减法：D =A -B =A +(-B )=[]ij ij b a - 称D 为A 与B 的差.例1设矩阵A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡---152403，B =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--130432，求A +B ，A -B . 例2、矩阵cos cos 0tan 1A αβα⎛⎫=⎪⎝⎭，00tan tan tan B βαβ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，01017C ⎛⎫- ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，若A B C +=，(0,)2πα∈，(,)2πβπ∈，求sin2αβ+的值。

矩阵加法满足的运算规则是什么？设A ,B ,C ,O 都是m n 矩阵，不难验证矩阵的加法满足以下运算规则 1.加法交换律：A +B =B +A ； 2.加法结合律：(A +B )+C =A +(B +C )； 3.零矩阵满足：A +O =A ；4.存在矩阵-A ，满足：A -A =A +(-A )=O . 3．数乘定义设矩阵[]nm ija A ⨯=，λ为任意实数，则称矩阵[]nm ijc C ⨯=为数λ与矩阵A 的数乘，其中),2,1;,,2,1(n j m i a c ij ij ===λ，记为C =λA（由定义可知，数λ乘一个矩阵A ，需要用数λ去乘矩阵A 的每一个元素.特别地，当λ=-1时，λA =-A ，得到A 的负矩阵.）例3设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--062504713，用2去乘矩阵A ，求2A.数乘矩阵满足的运算规则是什么？对数k ,l 和矩阵A =[]nm ija ⨯，B =[]nm ijb ⨯满足以下运算规则：1.数对矩阵的分配律：k (A +B )=kA +kB ；2.矩阵对数的分配律：(k +l )A =kA +lA ；3.数与矩阵的结合律：(kl )A =k (lA )=l (kA )；4.数1与矩阵满足：1A =A .例4设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-610523，B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--712834，求3A -2B . 例5．给出二元一次方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩存在唯一解的条件。