平面向量的向量表示四种策略
平面向量基本定理；如果1e →+2e →
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内任一向量→
a ，有且只有一对数数λ1，λ2，满足→
a =λ
11e →
+λ
22e →
，称λ
11e →
λ+λ
22e →为1e →
，
2e →
的线性组合。

根据平面向量基本定理，任一向量→
a 与有序数对(λ1,λ2)一一对应，称(λ1,λ2)为→
a 在
基底{1e →，2e →}下的坐标，当取{1e →，2e →
}为单位正交基底{→
i ，→
j }时定义(λ1，λ2)为向量→
a 的平面直角坐标。

下面我们谈谈用基向量表示向量的四种策略. 策略1.构造法
例1、如图，→--OA ，→--OB 为单位向量，→--OA 与→
--OB 夹角为1200
， →--OC 与→
--OA 的夹角为450
，|→--OC |=5，用→--OA ，→--OB 表示→
--OC 。

解析：以→--OA ，→--OB 为邻边，→
--OC 为对角线构造平行四边形
把向量→--OC 在→--OA ，→--OB 方向上进行分解，如图，设→--OE =λ→--OA ，→
--OD =μ→
--OB ，λ>0，μ>0
则→--OC =λ→--OA +μ→
--OB ∵ |→--OA |=|→
--OB |=1 ∴ λ=|→--OE |，μ=|→
--OD | △OEC 中，∠E=600
，∠OCE=750
，由
45
sin |CE |60
sin |OC |75
sin |OE |→
--→
--→
--=
=
得：
6)
623(560sin 75sin |OC ||OE |00
+=
=
→
--→
--
3
6
560sin 45sin |OC ||CE |0
=
=→
--→
-- ∴ 3
6
5,6)623(5=μ+=
λ
∴ →
--→--→
--++=
OB 3
65OA 6)623(5OC
说明：用若干个向量的线性组合表示一个向量，是向量中的基本而又重要的问题，通常
通过构造平行四边形来处理.
策略2. 数形结合
例2、求与向量→
a =3(，-1）和→
b =（1，3）夹角相等，且模为2的向量→
c 的坐标。

解析：从分析形的特征着手
∵ |→
a |=|→
b |=2, →
a ·→
b =0 ∴ △AOB 为等腰直角三角形，如图 ∵ |→--OC |=2，∠AOC=∠BOC ∴ C 为AB 中点 ∴ C （
2
1
3,213-+） 说明：数形结合是学好向量的重要思想方法，分析图中的几何性质可以简化计算。

策略3. 方程(组)思想
例3、已知△ABC 中，A （2，-1），B （3，2），C （-3，-1），BC 边上的高为AD ，求点D 和向量→
--AD 坐标。

解析：设D （x ，y ），则→
--AD =（x-2，y+1） ∵→--BC =（-6，-3），→--AD ·→
--BC =0
∴ -6(x-2)-3(y+1)=0，即2x+y-3=0 ① ∵→
--BD =(x-3，y-2)，→--BC ∥→
--BD
∴ -6(y-2)=-3(x-3)，即x-2y+1=0 ② 由①②得：⎩
⎨⎧==1y 1
x
∴ D （1，1），→
--AD =（-1，2） 说明：本题运用了解方程组思想. 策略4.运用基本定理
例4、在△OAB 的边OA 、OB 上分别取点M 、N ，使|→
--OM |∶|→--OA |=1∶3，|→--ON |∶|→
--OB |=1∶4，设线段AN 与BM 交于点P ，记→--OA = →a ，→--OB =→b ，用 →a ，→b 表示向量→
--OP 。

解析：∵ B 、P 、M 共线,∴ 记→--BP =s →
--PM
∴ →→→--→--→--→--→
--+++=+++=+++=
a )
s 1(3s b s 11OA )s 1(3s OB s 11OM s 1s OB s 11OP ① 同理，记→
--→--=PN t AP
∴ →
--OP =
→→+++b )
t 1(4t
a t 11 ② ∵ →
a ,→
b 不共线
∴ 由①②得⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧+=++=+)
t 1(4t s 11)s 1(3s t 11解之得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==38t 29s
∴ →
→→
--+=b 11
2a 118OP
说明：从点共线转化为向量共线，进而引入参数（如s ，t ）是常用技巧之一。

平面向量基本定理是向量重要定理之一，利用该定理唯一性的性质得到关于s ，t 的方程。

练习
1、平面上A （-2，1），B （1，4），D （4，-3），C 点满足2
1AC =→
--→
--CB ，连DC 并延长至
E ，使|→
--CE |=
4
1|→
--ED |，则点E 坐标为： A 、（-8，35-
） B 、（311,38-） C 、（0，1） D 、（0，1）或（2，3
11） 2、△OAB 中，→
--OA =→
a ，→
--OB =→
b ，→
--OP =→
p ，若→
p =)|
b |b
|
a |a
(
t →
→
→
→
+
，t ∈R ，则点P 在
A 、∠AO
B 平分线所在直线上 B 、线段AB 中垂线上
C 、AB 边所在直线上
D 、AB 边的中线上
3、正方形PQRS 对角线交点为M ，坐标原点O 不在正方形内部，且→--OP =（0，3），→
--OS =（4，0），则→
--RM =
A 、（21,27--）
B 、
（21,27） C 、（7，4） D 、（2
7
,27） 答案:
1. B 2、A 3、A。