因式分解的常用方法第一部分：方法介绍因式分解：因式分解是指将一个多项式化成几个整式的积的形式，主要有提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，换元法等因式分解的一般步骤是：（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。

即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；。

注意：将一个多项式进行因式分解应分解到不能再分解为止。

一、提公因式法.:ma+mb+mc=m（a+b+c）二、运用公式法•在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因F 面再补充两个常用的公式:⑸a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2;(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a2+b 2+c 2-ab-bc-ca);例.已知a, b, c 是 ABC 的三边，且a 2 b 2c 2则ABC 的形状是() A.直角三角形B 等腰三角形C 等边三角形D 等腰直角三角形2 2 2 2 2 2解：a b c ab bc ca 2a 2b 2c 2ab 2bc 2ca(a b)2 (b c)2 (c a)2 0 a b c三、分组分解法.(一)分组后能直接提公因式 例1、分解因式：am an bm bn分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用 公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考 虑两组之间的联系。

式分解中常用的公式，例如：(1) (a+b)(a-b) = a2-b 2 ------------ a(2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ---------------- a⑶(a+b)(a2-ab+b 2) =a 3+b 3⑷(a-b)(a2+ab+b 2) = a 3-b 3 2-b 2=(a+b)(a-b) ；2±2ab+b 2=(a ±b)2；a3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；a 3_b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2).ab bc ca ,解：原式=(am an) (bm bn)=a(m n) b(m n) 每组之间还有公因式!=(m n )(a b)例2、分解因式：2ax 10ay 5by bx解法一：第一、二项为一组；解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。

第二、三项为一组。

解：原式 = (2ax 1 0ay) (5by bx) 原式=(2ax bx) ( 10ay 5by)=2a(x 5y) b(x 5y) =x(2a b) 5y(2a b)=(x 5y)(2a b) =(2 a b)(x 5y)2练习：分解因式 1、a ab ac bc 2、xy x y 1（二）分组后能直接运用公式2 2例3、分解因式：x y ax ay分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。

解: 原式= (x2 2y ) (ax ay)=(x y)(x y) a(x y)=(x y)(x y a)例4、分解因式: 2 a 2ab b2 2 c解: 原式= (a2 22ab b ) 2 c=(a 2 2b) c=(a b c)(a b c)练习: 分解因式3、x 2 2 x 9y 3y 4、2 x 2 y 2 z 2yz综合练乐习： (i) x3x2y xy2 3 y (2) 2 ax bx2bx ax a b (3) 2 x 6xy 9y2 216a28a 1 (4) 2 a 6ab 12b 9b24a (5) 4 a 2a3 2 a 9 (6) 4a2x 4a 2 y b2x b 2 y(7) 2 x 2xy xz 2yz y (8) 2 a 2a b 22b 2ab 1(9) y(y 2) (m 1)(m 1) (10 )(a c)(a c) b(b 2a) ( ii ) a2(b c) b2(a c) c2(a b) 2abc (12 )3 a b3c33abc四、十字相乘法•（一）二次项系数为 1的二次三项式2直接利用公式——x （p q）x pq （x p）（x q）进行分解。

特点：（1）二次项系数是1 ；（2）常数项是两个数的乘积；（3 ）一次项系数是常数项的两因数的和。

思考：十字相乘有什么基本规律？例.已知0 v a W5，且a为整数，若2x23x a能用十字相乘法分解因式，求符合条件的a.解析：凡是能十字相乘的二次三项式ax2+bx+c，都要求b2 4ac >0而且是一个完全平方数。

于是9 8a为完全平方数，a 12例5、分解因式：x 5x 6分析: 将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于x(-6)，从中可以发现只有 2一:讨二2由于 6=2 X 3=(-2) x (-3)=1X 3的分解适合，即2+3=5。

2 2解：x 5x 6= x (2=(x 2)( x X6=(-1)3)x 23)1 X 2+1 X 3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积, 且这两个因数 的代数和要等于一次项的系数。

例6、分解因式：x 2 7x 6解：原式=x 2[( 1) ( 6)]x ( 1)( 6)=(x 1)( x 6)1 -1 m 11 -6(-1 ) + (-6 ) = -72 2 2练习 5、分解因式(1) x 14x 24(2) a 15a 36 (3) x 4x 52 2 2练习 6、分解因式(1) x x 2 (2) y 2y 15 (3) x 10x 24条件：(1) aa ?a1X C 1(2) ca 2C2(3) ba 〔C 2 a ?"b a 1C 2 a 2c1分解结果： 2ax bx c = (a 1x c 1)(a 2xC 2)(-6 ) + (-5 ) = -112解：3x 11x 10= (x 2)(3x5)2练习7、分解因式：(1 ) 5x 7x 62(3) 10x 17x 3(三)二次项系数为 1的齐次多项式a 8ab 128b 2(2) 3x7x 22(4) 6y 11y 10分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于 乘法进行分解。

a 的二次三项式，利用十字相1A<8b(二)二次项系数不为 1的二次三项式 ---- a x 2 bx c 2例7、分解因式：3x 11x 10分析：1；：v ：：〔-23 -5-16b8b+(-16b)= -8b2 28ab 128b = a [8b=(a 8b)(a 16b) 练习8、分解因式(1) x 23xy 2y 22 22 2(2) m 6mn 8n (3) a ab 6b(四)二次项系数不为 1的齐次多项式2 2例 9、2x 7xy 6y1 一 -2y2-3y(-3y)+(-4y)= -7y-32 2例 10、x y 3xy 2把xy 看作一个整体1 _-11 -2 (-1)+(-2)=解：原式=（x 2y ）（2x 3y ）2 2练习9、分解因式：（1）15x 7xy 4y63综合练习10、（ 1）8x 7x 1（1）、换单项式例1分解因式x 6+ 14x 3y + 49y 2分析：注意到x 6=（x 3）2，若把单项式x 3换元，设x 3 = m ，则x 6= m 2(3)(xy)23(x y) 10（4）（a b)2 4a4b 3(5)x 2y 2 5x 2 y 6x 22(6)m 4mn4n 23m 6n 2(7)x 24xy 4y 22x 4y2 3( 8)5(a b) 23(a 2 b 2 ) 10(a b)22(9)4x4xy6x 3y 2y210( 10)12(x y)11(x2y 2) 2(x y)2思考：分解因式:五、换元法。

“ 2解：a(16b)]a 8b ( 16b)解：原式=(xy 1)(xy2)2 2(2) a x 6ax 82 2(2)12x 11xy 15y2 2 2 2abcx (a b c )x abc原式变形为m 2 + 14m y + 49y 2= (m + 7y) 2 = ( x 3 + 7y) 2（2）、换多项式例 2 分解因式(x 2+4x+6) + (x 2+6x+6) +x 2.分析：本题前面的两个多项式有相同的部分，我们可以只把相同部分换元，设 x2 +6= m ，贝U x2+4x+6= m+4x ，x2+6x+6= m+6x ，原式变(m+4x)(m+6x)+x m2+10mx+24x 2+x 2=形为+10mx+25x 2=(m+5x) 2= ( x 2 +6+5x) 2=[(x+2)(x+3)] 2= (x+2) 2 (x+3) 2.以上这种换元法，只换了多项式的一部分，所以称为“局部换元法”当然，我们还可以把前两个多项式中的任何一个全部换元，就成了“整体换元法”.比如，设x2+4x+6=m ，贝U x2+6x+6=m+2x ，原式变形为m(m+2x)+ x2 = m 2+2mx+x 2= (m+x) 2= ( x2+4x+6+x) 2=(x2+5x+6) 2=[(x+2)(x+3)] 2= (x+2) 2 (x+3) 2.另外，还可以取前两个多项式的平均数进行换元，这种换元的方法被1 称为“均值换元法”，可以借用平方差公式简化运算.对于本例，设m=-[(x 2+4x+6) + (x2+6x+6)]= x2+5x+6 ,贝 V x2+4x+6=m-x ,x2+6x+6=m+x ,(m+x)(m-x)+x 2= m 2-x2 +x 2 = m 2= (x 2+5x+6) 2= [(x+2)(x+3)]=(x+2) 2 (x+3) 2.例 3 分解因式(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24.分析：这道题的前面是四个多项式的乘积，可以把它们分成两组相乘，使之转化成为两个多项式的乘积•无论如何分组，最高项都是x2,常数项不相等，所以只能设法使一次项相同•因此，把(x-1)(x+2)(x-3)(x+4) 分组为[(x-1) (x+2)][(x-3)(x+4)] = (x 2+x-2) (x 2+x-12)，从而转化成例 2 形式加以解决•1我们采用"均值换元法”，设 m= [ (x 2+x-2)+ (x 2+x-12)]=x 2+x-7 ，则 x2+x-2=m+5 ，x2+x-2= m-5 ，原式变形为(m+5)(m-5)+24=m 2-25+24=m 2-1=(m+1)(m-1)=( x2+x-7+1)(x2+x-7-1)=(x 2+x-6)( x 2+x-8)= (x-2)(x+3)( x 2+x-8).⑶、换常数例 1 分解因式 x2(x+1)-2003 X2004x.分析：此题若按照一般思路解答，很难奏效•注意到2003、2004两个数字之间的关系，把其中一个常数换元•比如，设 m=2003 ，则2004=m+1. 于是，原式变形为=x[(x 2 -m 2) +(x-m)]= x[(x+m) (x-m)+(x-m)] =x(x-m)(x+m+1)= x(x-2003)(x+2003+1)= x(x-2003)(x+2004).2 2例 13、分解因式(1 ) 2005x2(200521)x 2005(2) (x 1)(x 2)(x 3)(x 6) x22 2解：(1 )设 2005= a，则原式=ax (a 1)x a=(ax 1)(x a)=(2005x 1)(x 2005)(2)型如abed e的多项式,分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。