Numerical eigenvalue of matrix 矩阵特征值问题的解法
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给出 A (aij )nn .若有 使得： Ax x, x 0
则称 为矩阵 A 的特征值, x 为相应的特征向量。 特征值 为特征方程的根。
det(A I ) 0
2
与矩阵想干的一些重要结果: eigenvalueofmarix.doc
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第二圆盘定理
设 A 为n 阶实方阵，如果 A 的 k 个Gerschgorin
圆盘与其他圆盘不相连，则恰好有 A的 k 个特征 值落在该 k 个圆盘的并集之中，即：
k
n
S
j 1
Di
j
,
T
D jk 1 i j
{i1,, ik , ik1,, in }为{1,2,, n}的一个重新排
列, S T , 则 S 中含有 A 的 k 个特征值.
||
Ak z0 Ak z0 ||
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zk
1k | 1k
|
b1v1 || b1v1
b2
(
2 1
)
k
v2
b2
(
2 1
)
k
v2
bn
(
n 1
)k
vn
bn
( n 1
)k
vn
||
当1>0时
|
1k 1k
|
1
zk
b1v1 || b1v1 ||
当1<0时 1k 1 | 1k |
zk
b1v1 || b1v1 ||
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特征值的估计与扰动问题
特征值的估计
Di ( A) {z c :| z aii | | aij | i }, i 1,2,, n ji
称之为Gerschgorin圆盘（盖尔圆）. Gerschgorin 圆盘定理
设A (aij )nn为n阶实方阵,则 A 的任一特征值必落 在的某个Gerschgorin圆盘之中.
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于是
n
n
R(x)
( Ax, x) (x, x)
( ii ui , i ui )
i 1
i 1
n
n
( i ui , i ui )
i 1
i 1
n
n
i
2 i
/
2 i
,, x) (x, x)
n
,特别地，若取
x
u1
，这时
从而
( Au1 , u1 ) (u1 , u1 )
(1u1 , u1 )
min R( x) x0
min( Ax,
x 2 1
x)
n
max x0
R( x)
max ( Ax, , x 2 1
x)
由于R(x) R( x) ，对于任意 x ，可以取 ，使
得：||x ||2 1 .
证明: 假设 u1, u2 ,, un 为 A 的规范正交特征向量
组，则对任何向量 x Rn ，有 n x iui i 1
A 为 n 阶实对称矩阵，则其特征值皆为实数， 记做： 1 2 n 并且存在规范正交特征向量系，满足：
Aui iui , i 1,2,, n , (ui , u j ) ij , i, j 1,2,, n
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定理 设 A 为 n 阶实对称矩阵，其特征值
为 1 2 n ，则
1
1
1
min x0
R(
x).同理可证
n
max R( x) X 0
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按模最大特征值和特征向量的乘幂法
• 设A是n阶矩阵，其n个特征值按模从大到小 排序为
1 2 3 n
又假设关于λ1，λ2，…，λn的特征向量 v1，v2，…，vn线性无关.
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任意取定初始向量x0
x0 a1v1 a2v2 anvn (a1 0)
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算法: 乘幂法
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在实际计算时，须按规范法计算，每步先 对向量xk进行“规范化”。迭代格式改 为
zk
xk xk
xk 1 Azk , k 0,1,
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对任意给定的初始向量x0
z0
x0 x0
b1v1 b2v2
bnvn
x1
Az0 , z1
x1 || x1 ||
||
Az0 Az0 ||
类似地
zk
建立迭代公式 ： xk Axk1
x1 Ax0 a1Av1 a2 Av2 an Avn
a11v1 a22v2 annvn
x2 Ax1 A2 x0 a112v1 a222v2 ann2vn
…………..
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xk Axk1 Ak x0 a11k v1 a22k v2 annkvn
1k [a1v1
a2
(
2 1
)k
v2
(
n 1
)k
vn
]
因为
i 1(i 2,3,, n) 1
故当k→∞时， xk→λ1ka1v1.
因此，xk可看成是关于特征值λ1的近似特征向量
有一严重缺点，当|1|>1 （或| 1 |<1时）{Vk}中不 为零的分量将随K的增大而无限增大，计算机就可 能出现上溢（或随K的增大而很快出现下溢）
0
)
敛到1。
每个不同的特征根
注： 结论对重根 1 = 2 = … = r 成立。
只对应一个Jordan 块
(k)
1k
r
i xi
i1
n i
i r 1
i 1
k
xi
1k
r
i xi
i 1
若有 1 = 2 ，则此法不收敛。
(
(
0
)
,
xm
)
任0取的1初第始一0，向个故量x所m时，求，同得因时之为得不(到k )知不的道一特定x征1 ，是根所是x1以，m不而。能是保使证得
特别地：孤立圆盘仅含有一个特征值.
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例 1 设矩阵
4 1 0 A 1 0 1
1 1 4
试讨论A的特征值的分布.
解 由A确定的3个圆盘分别为
R1=-41, R2=2, R3=+42
所以
y
315 -2<22 -63<-2
-6 -4 -2 0 2 3 4 5 x
实际上， 1=4.20308 , 2=-0.442931 , 3=-3.76010 6
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按模最大特征值λ1及其相应的特征向量v1 的乘幂法的计算公式：
zk
xk xk
xk 1 Azk
k 1 1
zkT xk 1 zkT zk
z
T k
Azk
z
T k
zk
,
k 0,1,
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定理
且|1| 出发,
>迭|设代2| A…(kR) |nAnnk|为。(0) 非则收亏从敛损任到矩意主阵非特，零征其向向主量量特x(01征) ，(满根(足(k1)1)1为i /((实v((k0)根)),ix收1，)
关于实对称矩阵的极大—极小定理
定义 设 A 为 n 阶实矩阵，x ( x1 ,, xn )T 0, x Rn .
我们称
R(x)
( Ax, x) (x, x)
xT Ax xT x
n i 1
n
aij xi x j
j 1
/
n i 1
xi2
为矩阵 A 关于向量 x 的Rayleigh（雷利）商.