摘要特征值与特征向量是代数中一个重要的部分，并在理论和学习和实际生活，特别是现代科学技术方面都有很重要的作用.本文主要讨论并归纳了特征值与特征向量的性质，通过实例展现特征值与特征向量的优越性，探讨特征值与特征向量及其应用有着非常重要的价值.正文共分四章来写，其中第一章介绍了写作背景以及研究目的.第二章介绍了特征值与特征向量的定义以及性质，并且写出了线性空间中线性变换的特征值、特征向量与矩阵的特征值、特征向量之间的关系.第三章介绍了特征值与特征向量的几种解法：利用特征方程求特征值进而求特征向量、列行互逆变换法、利用矩阵的初等变换求特征值和特征向量.第四章重点介绍了特征值特征向量的应用，如n阶矩阵的高次幂的求解以及矩阵特征值反问题的求解等等.本文充分利用特征值与特征向量的特性求解相关问题，这带有一定的技巧性，但并不难想象，特别是跟其它方法相比，计算显得非常简洁，在解决具体问题上具有很大的优越性.当然关于矩阵的特征值和特征向量的内容很广，本文仅就特征向量的性质以及一些应用展开研究.关键词：特征值；特征向量；矩阵；递推关系；初等变换AbstractAs an important part of algebra,Eigenvalue and Eigenvector of a Matrix have very important applications in theoretical study and practical life, especially in modern science and technology. In this paper,some properties of eigenvalue and eigenvector are discussed and summarized,it shows the superiority of eigenvalue and eigenvector through examples.It has a very important value of exploring eigenvalue and eigenvector and its application.The text is divided into four chapters to write,Among them,the first chapter presents the background and research purposes.The second chapter presents the definition of eigenvalue and eigenvector and their properties, it writes the relationship between the eigenvalue, eigenvector of the linear transform of the linear space and eigenvalues and eigenvectors of matrix. The third chapter presents several solutions of the eigenvalue and eigenvector:the characteristic equation for eigenvalue and eigenvector;the method of reversible transform on Rows and columns;the elementary transformation of matrix inverse for eigenvalues and eigenvectors. The fourth chapter introduces the application of eigenvalue eigenvector, such as solving the high power of n order matrix ,dealing with the inverse problem of matrix eigenvalues and etc. This paper fully utilize eigenvalue and eigenvector to solve related issues, this approach needs certain skills，but it is not hard to imagine that it has the great superiority in sovling specific issues, comparing with other methods.Of course, the content about matrix eigenvalues and eigenvectors is very wide, this article mainly deals with the properties of eigenvector and some application.Key words:eigenvalue；eigenvector；matrix；recursive relations；elementary；transformation目 录摘 要....................................................................................................................................... I Abstract .. (II)1 引 言 (1)1.1 研究背景 (1)1.2 研究现状 (1)1.3 本文研究目的及意义 (2)2 特征值与特征向量 (3)2.1 特征值与特征向量的定义和性质 (3)2.1.1 线性变换的特征值与特征向量 (3)2.1.2 n 阶方阵的特征值与特征向量 (3)2.2 (),V p n 中线性变换ℜ的特征值、特征向量与矩阵R 的特征值与特征向量之间的关系 (3)3 特征值与特征向量的解法 (5)3.1 求数字方阵的特征值与特征向量 (5)3.2 列行互逆变换法 (6)3.3 利用矩阵的初等变换解特征值特征向量 (10)4 矩阵的特征值与特征向量的应用研究 (15)4.1 n 阶矩阵()1*,,,,,m kA aA bI A A A f A -+的特征值和特征向量. (15)4.2 n 阶矩阵的高次幂的求解 (16)4.3 矩阵特征值反问题的求解 (17)4.4 特征值与特征向量在线性递推关系中的应用 (18)4.5 特征值法求解二次型的条件最值问题 (22)4.5.1 二次型的条件最值问题及求解该问题的特征值方法 (22)4.5.2 应用举例 (25)4.6 特征值与特征向量在矩阵运算中的作用 (26)4.6.1 特征值与特征向量在矩阵运算中使用的性质 (26)4.6.2 特征值与特征向量在矩阵运算中的应用 (26)总 结 (30)参考文献 (31)致 谢 (32)1 引言1.1研究背景矩阵是数学中的一个重要的基本概念之一,是代数学的一个主要研究对象,也是数学研究和应用的一个重要工具. 矩阵的特征值与特征向量问题是矩阵理论的重要组成部分，它在高等代数和其他科技领域中占有重要的位置.同时它又贯穿了高等代数的许多重要方面，对于该课题的研究加深了我们对高等代数各个部分的认识，从而使我们更深刻的了解高等代数的相关理论.对矩阵的特征值与特征向量的理论研究和及其应用探究，不仅对提高高等代数以及相关课程的理解有很大帮助，而且在理论上也很重要，可以直接用来解决实际问题.现在矩阵已成为独立的一门数学分支，矩阵特征值与特征向量的应用是多方面的，不仅在数学领域里，而且在力学、物理、科技方面都有十分广泛的应用.1.2研究现状在此之前已有很多专家学者涉足此领域研究该问题.吴江、孟世才、许耿在《浅谈<线性代数>中“特征值与特征向量”的引入》中从线性空间V中线性变换在不同基下的矩阵具有相似关系出发引入矩阵的特征值与特征向量的定义.郭华、刘小明在《特征值与特征向量在矩阵运算中的作用》中从方阵的特征值与特征向量的性质出发，结合具体的例子阐述了特征值与特征向量在简化矩阵运算中所起的作用.矩阵的特征值与特征向量在结构动力分析中有重要作用，矩阵迭代法是求矩阵的第一阶特征值与特征向量的一种数值方法,但是选取不同的初始向量使结果可能收敛于不同阶的特征值与特征向量，而不一定收敛与第一阶,陈建兵在《矩阵迭代法求矩阵特征值与特征向量初始向量选取的讨论》中讨论了初始向量的选取问题.特征值理论是线性代数中的一个重要的内容，当方阵阶数很高时实际计算比较繁琐，赵娜、吕剑峰在《特征值问题的MATLAB 实践》中从实际案例入手，利用MATLAB软件讨论了求解特征值问题的全过程.汪庆丽在《用矩阵的初等变换求矩阵的特征值与特征向量》中研究了一种只对矩阵作适当的初等行变换就能求到矩阵的特征值与特征向量的方法，论证其方法的合理性，并阐述此方法的具体求解步骤.岳嵘在《由特征值特征向量去顶矩阵的方法证明及应用》中探究了已知n阶对称矩阵A的k个互不相等的特征值及k-1个特征向量计算出矩阵A的计算方法.张红玉在《矩阵特征值的理论及应用》中讨论了通过n阶方阵A的特征值得出一系列相关矩阵的特征值,再由特征值与正定矩阵的关系得出正定矩阵的结论.刘学鹏、杨军在《矩阵的特征值、特征向量和应用》一文中讨论了矩阵的特征值和特征向量的一些特殊情况，以及在矩阵对角化方面的应用.冯俊艳、马丽在《讨论矩阵的特征值与行列式的关系》中讨论了利用矩阵的特征值解决行列式的问题.1.3本文研究目的及意义在前人研究的基础上，本文给出了特征值与特征向量的概念及其性质，特征值与特征向量性质是最基本的内容，特征值与特征向量的讨论使得这一工具的使用更加便利，解决问题的作用更强有力，其应用也就更广泛.在此基础上，对矩阵的特征值与特征向量的计算进行详尽的阐述和说明. 利用特征方程求特征值进而求特征向量法、列行互逆变换法、矩阵的初等变换求特征值和特征向量.由于特征值与特征向量的应用是多方面的，本文重点介绍了对特征值与特征向量的应用探究,阐述了特征值和特征向量在矩阵运算中的作用，利用特征值法求解二次型最值问题以及矩阵的高次幂和反求解问题的应用.在例题解析中运用一些特征值与特征向量的性质和方法，可以使问题更简单，运算上更方便，是简化有关复杂问题的一种有效途径.本文就是通过大量的例子加以说明运用特征值与特征向量的性质可以使问题更加清楚，从而使高等代数中的大量习题迎刃而解，把特征值与特征向量在解决实际问题中的优越性表现出来.2 特征值与特征向量2.1 特征值与特征向量的定义和性质2.1.1 线性变换的特征值与特征向量定义1：设．ℜ是数域．．．P 上的线性空间．．．．．V 的一个线性变换．．．．．．．，如果对于数域．．．．．．P 中一数．．．0λ，存在一个非零向量．．．．．．．．ξ，使得．．0ξλξℜ=那么．．0λ称为．．ℜ的一个．．．特征值．．．，而．ξ称为．．ℜ的属于特征值．．．．．．0λ的一个．．．特征向量．．．．. 2.1.2 n 阶方阵的特征值与特征向量定义2：设R 是n 阶方阵，如果存在数0λ和n 维非零向量X ，使得0RX X λ=成立，则称0λ为R 的特征值，X 是R 的对应特征值0λ的特征向量.性质1若i λ是R 的i r 重特征值，R 对应特征值i λ有i s 个线性无关的特征向量，则i i s r ≤.性质2 如果12,x x 都是矩阵R 的属于特征值0λ的特征向量,则当11220k x k x +≠时, 11220k x k x +≠仍是R 的属于特征值0λ的特征向量．性质3 如果12,,,n λλλ是矩阵R 的互不相同的特征值，其对应的特征向量分别是12,,,n x x x ，则12,,,n x x x 线性无关．性质4 若()ij n n R r ⨯=的特征值为12,,,n λλλ，则 121122n nn r r r λλλ+++=+++，12n R λλλ=． 性质5 实对称矩阵R 的特征值都是实数，属于不同特征值的特征向量正交． 性质 6 若i λ 是实对称矩阵R 的i r 重特征值，则对应特征值i λ恰有i r 个线性无关的特征向量，或()i i r R E n r λ-=-．性质7设λ为矩阵R 的特征值，()P x 为多项式函数，则()P λ为矩阵多项式()P R 的特征值．2.2 (),V p n 中线性变换ℜ的特征值、特征向量与矩阵R 的特征值与特征向量之间的关系定理：设12,,,n εεε是(),V p n 的一组基()L V ℜ∈,()()1212,,,,,,n n R εεεεεεℜ= 1）ℜ的特征值0λ必是R 的特征值，ℜ的属于0λ的特征向量1122n n x x x ξεεε=+++，则()12,,,n x x x 必是R 的属于特征值0λ的特征向量.2）设0λ是R 的一个特征值，且0λ∈P ，则0λ是ℜ的一个特征值.若()12,,,n x x x 是R 的一个属于特征值0λ的一个特征向量，则1122n n x x x ξεεε=+++是ℜ的一个属于0λ的特征向量.证明：1）设0λ是ℜ的特征值，于是有ξ≠0使得0ξλξℜ=，其中0λ∈P ，设1122n n x x x ξεεε=+++，则()12112212,,,n n n n x x x x x R x ξεεεεεε⎛⎫ ⎪ ⎪ℜ=ℜ+ℜ++ℜ ⎪ ⎪⎝⎭ = ， 又0ξλξℜ=，所以有()()112212120,,,,,,n n n n x x x x R x x εεεεεελ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=， 由他们的坐标列相等可得 ()120000n x x E R x λ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以其次线性方程组()00E R X λ-=有非零解，于是00E R λ-=，故0λ是R 的特征多项式的根，即0λ是R 的特征值，从而ξ的坐标是R 的属于0λ的特征向量.2）设0λ是R 的一个特征值，0λ∈P ，且00E R λ-=，于是()00E R X λ-=有非零解，()120,,,n n x x x ≠∈P ，令n n x x x V ξεεε≠=+++∈11220，()120000n x x E R x λ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即11220=n n x x x x R x x λ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，于是0ξλξℜ=，故0λ是ℜ的一个特征值，且ξ是ℜ的属于0λ的特征向量.3 特征值与特征向量的解法3.1 求数字方阵的特征值与特征向量由方阵的特征值和特征向量的定义知:a ≠0是A 的属于λ的特征向量 因为Aa a λ=所以a 是齐次线性方程组()0E A x λ-=的非零解，所以λ是特征方程()0A f E A λλ-=的根。