关于原点对称
28
基本几何变换——对称变换
(4)关于y=x 对称
x=y p(x,y) p'(y,x) X
关于x＝y对称
0 1 0 1 0 0 0 0 1
Y
29
基本几何变换——对称变换
(5)关于y=-x 对称
x=-y
Y
0 1 0 1 0 0 0 0 1
0 cos 0
1 0 tg 1 0
0
tg 1 0
0 1
0
0 1
0
43
几何逆变换
所有的几何变换都有逆变换，所谓逆变换就是 指与原变换操作相反的操作过程。
平移变换的逆变换：反方向平移
旋转变换的逆变换：反方向旋转
缩放变换（sx,sy)逆变换：缩放变换（1/sx,1/sy) 镜面反射变换的逆变换与原变换一样
37
二维图形几何变换的计算
3. 多边形的变换
x x x ... x' n
' 1 ' 2 ' 3
y y y y
' 1 ' 2 ' 3
...
' n
1 x1 1 x2 1 x3 ... ... 1 xn
y1 y2 y3 ... yn
R R(1 ) R( 2 ) R(1 2 )
42
复合变换
cos sin 0 cos R sin cos 0 0 0 1 0 0 1 tg 0 cos 0 tg 1 0 0 cos 0 0 0 1 0
到另一个坐标位置的重定位过程。
Y
P' T P Tx Ty
X
图6-1 平移变换
9
基本几何变换——平移变换
推导：
x ' x Tx y ' y Ty
矩阵形式：
x'
y ' x
y Tx

Ty

10
Tx，Ty称为平移矢量。
平移变换 X’=X+Tx，Y’= Y+Ty
（X’ Y’ 1）=（X Y Y B A （0，0） A* 1） 1 0 0 0 1 0 Tx Ty 1
错切变换
0 1 1 0 0 2 3 1 1 1 1 1
=
1 0
1 1
Y
1 1
沿哪个方 向错切？
C O
B A
X
错切变换
3) 当b0且c0时， (x* y* 1)=(x+cy bx+y 1) ：图形沿x,y两个方向 作错切位移。
二维图形几何变换的计算
几何变换均可表示成P’=P*T的形式。 1. 点的变换
这两种方法本质上是一样的， 是相对的关系。
图形的几何变换
图形的几何变换是指对图形的几何 信息经过平移、比例、旋转等变换 后产生新的图形，是图形在方向、 尺寸和形状方面的变换。
在几何变换过程中图形的拓扑信息保持不变 对于线框图，只对线段的端点作变换，连接 变换后的端点产生新的图形。
几何变换的作用
把用户坐标系与设备坐标系联系起来； 可由简单图形生成复杂图形； 动态显示。…………
比例变换（缩放变换）
1 0 0 S
(x′ y′ 1)=(x y 1)
0
1 0
0 0
它的缩放的比例因子是什么？
基本几何变换——比例变换
Sx=Sy>1 ÔÍ ¼ ÔÍ ¼ Sx<Sy
Sx=Sy<1
Sx>Sy
(a) Sx=Sy比例
图6-3 比例变换
(b) Sx<>Sy比例
14
基本几何变换——比例变换
B*
C*
C
X
物体上的每个 点平移相同的 步长
平移变换只改变图形的位置，不改变图形的 大小和形状。
比例变换（缩放变换）
x ′=Sx.x, y′=Sy.y Sx (x′ y′ 1)=(x y 1) 0 Sy 0 0 0 0 0 1
–以坐标原点为缩放参照点(只有原点是保持
位置不变的) –当Sx=Sy=1时：物体尺寸不变 –当 Sx=Sy>1时：沿 x,y 方向等比例 放大。 –当SxSy时：沿x,y方向作非均匀比 例变换，图形变形。
齐次坐标的主要作用
----将各种变换用阶数统一的矩阵来表示。
提供了用矩阵运算把二维、三维甚至高维空间上 的一个点从一个坐标系变换到另一坐标系的有效 方法。便于变换合成。
6.2 基本几何变换
基本几何变换都是相对于坐标原点和坐标轴进
行的几何变换。
8
基本几何变换——平移变换
平移是指将p点沿直线路径从一个坐标位置移
26
基本几何变换——对称变换
(2)关于y轴对称
1 0 0 0 1 0 0 0 1
Y
P'(-x,y)
p(x,y) X
关于y轴对称
27
基本几何变换——对称变换
(3)关于原点对称
Y
P(x,y) X
1 0 0 0 1 0 0 0 1
40
0 0 1
复合变换——二维复合比例
S x1 0 Ts Ts1 Ts 2 0 S y1 0 0 0 S x1 S x 2 0 S y1 S y 2 0 0 0 S x 2 0 0 1 0 0 0 1 0 Sy2 0 0 0 1
第六章 二维变换及二维观察
如何对二维图形进行方向、尺寸和形状方面的
变换。 如何进行二维观察。
1
6.1
基本概念
图形变换的两种形式：
几何变换：对象本身在固定的坐标系或背景下变换。它 是对对象的每个点进行变换。
(1)图形变动，坐标系不动。
坐标变换：对象本身不动，坐标系相对物体进行变 换。
(2)图形不动，坐标系变动；

错切变换
2)当c=0 (b≠0)时， (x* y* 1)=(x bx+y 1)：沿y方 向错切，图形的x坐标不变；
•当b>0：图 形沿+y方向 错切。 ABCD→ A1B1C1D1
•当b<0：图 形沿-y方向 错切。 ABCD→ A2B2C2D2
例
O A B C
0 1 0 0 1 1 1 0 0 2 1 0 0 0 1
比例变换是指对p点相对于坐标原点沿x方向放 缩Sx倍，沿y方向放缩Sy倍。其中Sx和Sy称为 比例系数。
Y
P'(4,3) P(2,1)
X
图6-2 比例变换(Sx=2,Sy=3)
15
产生压缩或拉伸的效果。 Y Y
X Sx=Sy=2 Sx=2，Sy=1
X
Y
B(3,4)
相对坐标原 点缩放变换 (以坐标原点 为缩放中心)。 当 Sx=2,Sy=2 时,变换后的 各顶点坐标 是多少?
P(x,y) X
P'(-y,-x)
关于x＝－y对称
30
基本几何变换——错切变换
错切变换，也称为剪切、错位变换，用于产 生弹性物体的变形处理。
y y y
O O (a) 原图 x O (b) 沿x 正方向错切 x
x
错切变换
(c) 沿y 正方向错切
31
错切变换
x*=x+c.y,
(x* y*
y*=b.x+y
齐次坐标 齐次坐标表示法就是由n+1维向量表示一个n维向量。
如n维向量(P1,P2, … ,Pn)表示为 （hP1,hP2,…,hPn,h），其中h称为哑坐标。 1.h可以取不同的值，所以同一点的齐次坐标不是唯 一的。普通坐标与齐次坐标的关系为“一对多”。 例如：将普通坐标系下的点（2,3）变换为齐次坐标 （2，3，1），(1,1.5,0.5)，(4,6,2)，(6,9,3)， 等等 2.当h=1时的齐次坐标称为 规格化坐标
基本几何变换——旋转变换
二维旋转是指将p点绕坐标原点转动某个角度
（逆时针为正，顺时针为负）得到新的点p’
Y
的重定位过程。
P' r θ r
α
P X
20
图6-4 旋转变换
基本几何变换——旋转变换
推导： （极坐标）
x r cos
y r sin
x ' r cos( ) x cos y sin y ' r sin( ) x sin y cos
C(4,2)
A(1,1) (0,0) X
Y
B(3,4)
相对坐 标原点 缩放变 换。 Sx=2, Sy=2
C(4,2) A(1,1) (0,0) X
Y
B(3,4)
相对A点的 缩放变换(以 A点为缩放 中心)。当 Sx=2,Sy=2 时,变换后的 各顶点坐标 是多少?
C(4,2)
A(1,1) (0,0) X
39
复合变换——二维复合平移
1 0 0 1 0 Tt Tt1 Tt 2 0 1 0 0 1 Tx1 Ty1 1 Tx 2 Ty 2 1 0 Tx1 Tx 2 0 1 Ty1 Ty 2 0 0 1
x'
y ' 1 x
a b c d y 1 l m
p q r
36
二维图形几何变换的计算
2. 直线的变换
x x
' 1 ' 2
y y
' 1 ' 2
1 x1 1 x2
y1 y2
a b 1 c d 1 l m